MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oa1suc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oa1suc 7820
Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
oa1suc (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 1𝑜) = suc 𝐴)

Proof of Theorem oa1suc
StepHypRef Expression
1 df-1o 7768 . . . 4 1𝑜 = suc ∅
21oveq2i 6857 . . 3 (𝐴 +𝑜 1𝑜) = (𝐴 +𝑜 suc ∅)
3 peano1 7287 . . . 4 ∅ ∈ ω
4 onasuc 7817 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 suc ∅) = suc (𝐴 +𝑜 ∅))
53, 4mpan2 682 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 suc ∅) = suc (𝐴 +𝑜 ∅))
62, 5syl5eq 2811 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 1𝑜) = suc (𝐴 +𝑜 ∅))
7 oa0 7805 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
8 suceq 5975 . . 3 ((𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴 → suc (𝐴 +𝑜 ∅) = suc 𝐴)
97, 8syl 17 . 2 (𝐴 ∈ On → suc (𝐴 +𝑜 ∅) = suc 𝐴)
106, 9eqtrd 2799 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 1𝑜) = suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  c0 4081  Oncon0 5910  suc csuc 5912  (class class class)co 6846  ωcom 7267  1𝑜c1o 7761   +𝑜 coa 7765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772
This theorem is referenced by:  o1p1e2  7829  o2p2e4  7830  om1r  7832  omlimcl  7867  oneo  7870  oeeui  7891  nnneo  7940  nneob  7941  oancom  8767  indpi  9986
  Copyright terms: Public domain W3C validator