MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oa1suc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oa1suc 8482
Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. Remark 2.4 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
oa1suc (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)

Proof of Theorem oa1suc
StepHypRef Expression
1 df-1o 8417 . . . 4 1o = suc ∅
21oveq2i 7373 . . 3 (𝐴 +o 1o) = (𝐴 +o suc ∅)
3 peano1 7830 . . . 4 ∅ ∈ ω
4 onasuc 8479 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
53, 4mpan2 690 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
62, 5eqtrid 2789 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc (𝐴 +o ∅))
7 oa0 8467 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
8 suceq 6388 . . 3 ((𝐴 +o ∅) = 𝐴 → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
97, 8syl 17 . 2 (𝐴 ∈ On → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
106, 9eqtrd 2777 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  c0 4287  Oncon0 6322  suc csuc 6324  (class class class)co 7362  ωcom 7807  1oc1o 8410   +o coa 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421
This theorem is referenced by:  o1p1e2  8491  o2p2e4  8492  o2p2e4OLD  8493  om1r  8495  omlimcl  8530  oneo  8533  oeeui  8554  nnneo  8606  nneob  8607  oancom  9594  ttrcltr  9659  indpi  10850  oaabsb  41658  oa1un  41792  tr3dom  41874  sucomisnotcard  41890  nna1iscard  41891
  Copyright terms: Public domain W3C validator