Theorem oa1suc 8569

Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. Remark 2.4 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
oa1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)

Proof of Theorem oa1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8506	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (𝐴 +o 1o) = (𝐴 +o suc ∅)
3		peano1 7910	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		onasuc 8566	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
6	2, 5	eqtrid 2789	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc (𝐴 +o ∅))
7		oa0 8554	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
8		suceq 6450	. . 3 ⊢ ((𝐴 +o ∅) = 𝐴 → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
10	6, 9	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  Oncon0 6384  suc csuc 6386  (class class class)co 7431  ωcom 7887  1_oc1o 8499   +_o coa 8503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510

This theorem is referenced by:  o1p1e2  8578  o2p2e4  8579  om1r  8581  omlimcl  8616  oneo  8619  oeeui  8640  nnneo  8693  nneob  8694  oancom  9691  ttrcltr  9756  indpi  10947  om2noseqlt  28305  oaabsb  43307  oa1un  43459  tr3dom  43541  sucomisnotcard  43557  nna1iscard  43558