MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oa1suc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oa1suc 8258
Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
oa1suc (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)

Proof of Theorem oa1suc
StepHypRef Expression
1 df-1o 8202 . . . 4 1o = suc ∅
21oveq2i 7224 . . 3 (𝐴 +o 1o) = (𝐴 +o suc ∅)
3 peano1 7667 . . . 4 ∅ ∈ ω
4 onasuc 8255 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
53, 4mpan2 691 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
62, 5eqtrid 2789 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc (𝐴 +o ∅))
7 oa0 8243 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
8 suceq 6278 . . 3 ((𝐴 +o ∅) = 𝐴 → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
97, 8syl 17 . 2 (𝐴 ∈ On → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
106, 9eqtrd 2777 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  c0 4237  Oncon0 6213  suc csuc 6215  (class class class)co 7213  ωcom 7644  1oc1o 8195   +o coa 8199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206
This theorem is referenced by:  o1p1e2  8267  o2p2e4  8268  o2p2e4OLD  8269  om1r  8271  omlimcl  8306  oneo  8309  oeeui  8330  nnneo  8380  nneob  8381  oancom  9266  indpi  10521  ttrcltr  33515  tr3dom  40820
  Copyright terms: Public domain W3C validator