Theorem oa1suc 8456

Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. Remark 2.4 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
oa1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)

Proof of Theorem oa1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8395	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	oveq2i 7367	. . 3 ⊢ (𝐴 +o 1o) = (𝐴 +o suc ∅)
3		peano1 7829	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		onasuc 8453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o suc ∅) = suc (𝐴 +o ∅))
6	2, 5	eqtrid 2781	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc (𝐴 +o ∅))
7		oa0 8441	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
8		suceq 6383	. . 3 ⊢ ((𝐴 +o ∅) = 𝐴 → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc (𝐴 +o ∅) = suc 𝐴)
10	6, 9	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4283  Oncon0 6315  suc csuc 6317  (class class class)co 7356  ωcom 7806  1_oc1o 8388   +_o coa 8392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399

This theorem is referenced by:  o1p1e2  8465  o2p2e4  8466  om1r  8468  omlimcl  8503  oneo  8506  oeeui  8528  nnneo  8581  nneob  8582  oancom  9558  ttrcltr  9623  indpi  10816  om2noseqlt  28260  oaabsb  43478  oa1un  43629  tr3dom  43711  sucomisnotcard  43727  nna1iscard  43728