Theorem onswe 28286

Description: Surreal less-than well-orders the surreal ordinals. Part of Theorem 15 of [Conway] p. 28. (Contributed by Scott Fenton, 6-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onswe	⊢ <s We Ons

Proof of Theorem onswe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 7722	. 2 ⊢ E We On
2		oniso 28285	. . 3 ⊢ ( bday ↾ Ons) Isom <s , E (Ons, On)
3		isowe 7297	. . 3 ⊢ (( bday ↾ Ons) Isom <s , E (Ons, On) → ( <s We Ons ↔ E We On))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( <s We Ons ↔ E We On)
5	1, 4	mpbir 233	1 ⊢ <s We Ons

Syntax hints:   ↔ wb 208   E cep 5520   We wwe 5573   ↾ cres 5623  Oncon0 6314   Isom wiso 6490   <s clts 27626   bday cbday 27627  On_scons 28265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27628  df-lts 27629  df-bday 27630  df-les 27731  df-slts 27772  df-cuts 27774  df-made 27841  df-old 27842  df-left 27844  df-right 27845  df-ons 28266

This theorem is referenced by:  onsis  28288  ons2ind  28289