Theorem onswe 28476

Description: Surreal less-than well-orders the surreal ordinals. Part of Theorem 15 of [Conway] p. 28. (Contributed by Scott Fenton, 6-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onswe	⊢ <s We Ons

Proof of Theorem onswe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 7772	. 2 ⊢ E We On
2		oniso 28475	. . 3 ⊢ ( bday ↾ Ons) Isom <s , E (Ons, On)
3		isowe 7347	. . 3 ⊢ (( bday ↾ Ons) Isom <s , E (Ons, On) → ( <s We Ons ↔ E We On))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( <s We Ons ↔ E We On)
5	1, 4	mpbir 234	1 ⊢ <s We Ons

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   E cep 5559   We wwe 5612   ↾ cres 5662  Oncon0 6360   Isom wiso 6537   <s clts 27816   bday cbday 27817  On_scons 28455

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-1o 8451  df-2o 8452  df-no 27818  df-lts 27819  df-bday 27820  df-les 27920  df-slts 27962  df-cuts 27964  df-made 28031  df-old 28032  df-left 28034  df-right 28035  df-ons 28456

This theorem is used by:  onsis  28478  ons2ind  28479