Theorem ons2ind 28594

Description: Double induction schema for surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 22-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ons2ind.1	⊢ (𝑥 = 𝑥𝑂 → (𝜑 ↔ 𝜓))
ons2ind.2	⊢ (𝑦 = 𝑦𝑂 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ons2ind.3	⊢ (𝑥 = 𝑥𝑂 → (𝜃 ↔ 𝜒))
ons2ind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
ons2ind.5	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜏 ↔ 𝜂))
ons2ind.6	⊢ ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝑦 ∈ Ons) → ((∀𝑥𝑂 ∈ Ons ∀𝑦𝑂 ∈ Ons ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒) ∧ ∀𝑥𝑂 ∈ Ons (𝑥𝑂 <s 𝑥 → 𝜓) ∧ ∀𝑦𝑂 ∈ Ons (𝑦𝑂 <s 𝑦 → 𝜃)) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
ons2ind	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑥_𝑂,𝑦,𝑦_𝑂   𝜓,𝑥,𝑦_𝑂   𝜏,𝑥   𝜒,𝑦   𝜂,𝑦   𝜑,𝑥_𝑂   𝜃,𝑥_𝑂   𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑦_𝑂)   𝜓(𝑦, 𝑥_𝑂)   𝜒(𝑥, 𝑥_𝑂, 𝑦_𝑂)   𝜃(𝑥, 𝑦, 𝑦_𝑂)   𝜏(𝑦, 𝑥_𝑂, 𝑦_𝑂)   𝜂(𝑥, 𝑥_𝑂, 𝑦_𝑂)   𝐴(𝑥_𝑂, 𝑦_𝑂)   𝐵(𝑥, 𝑥_𝑂, 𝑦_𝑂)

Proof of Theorem ons2ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onswe 28591	. . 3 ⊢ <s We Ons
2		wefr 5637	. . 3 ⊢ ( <s We Ons → <s Fr Ons)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ <s Fr Ons
4		weso 5638	. . 3 ⊢ ( <s We Ons → <s Or Ons)
5		sopo 5574	. . 3 ⊢ ( <s Or Ons → <s Po Ons)
6	1, 4, 5	mp2b 10	. 2 ⊢ <s Po Ons
7		onsse 28592	. 2 ⊢ <s Se Ons
8		ons2ind.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑥𝑂 → (𝜑 ↔ 𝜓))
9		ons2ind.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑦𝑂 → (𝜓 ↔ 𝜒))
10		ons2ind.3	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑥𝑂 → (𝜃 ↔ 𝜒))
11		ons2ind.4	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
12		ons2ind.5	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜏 ↔ 𝜂))
13		vex 3454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥𝑂 ∈ V
14	13	elpred 6310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑥𝑂 <s 𝑥)))
15	14	elv 3455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑥𝑂 <s 𝑥))
16		vex 3454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦𝑂 ∈ V
17	16	elpred 6310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦) ↔ (𝑦𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)))
18	17	elv 3455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦) ↔ (𝑦𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦))
19	15, 18	anbi12i 640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ∧ 𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦)) ↔ ((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑥𝑂 <s 𝑥) ∧ (𝑦𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)))
20		an4 669	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑥𝑂 <s 𝑥) ∧ (𝑦𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)) ↔ ((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) ∧ (𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)))
21	19, 20	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ∧ 𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦)) ↔ ((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) ∧ (𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)))
22	21	imbi1i 352	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ∧ 𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦)) → 𝜒) ↔ (((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) ∧ (𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)) → 𝜒))
23		impexp 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) ∧ (𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)) → 𝜒) ↔ ((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) → ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒)))
24	22, 23	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ∧ 𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦)) → 𝜒) ↔ ((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) → ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒)))
25	24	2albii 1853	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥𝑂∀𝑦𝑂((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ∧ 𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦)) → 𝜒) ↔ ∀𝑥𝑂∀𝑦𝑂((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) → ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒)))
26		r2al 3198	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜒 ↔ ∀𝑥𝑂∀𝑦𝑂((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ∧ 𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦)) → 𝜒))
27		r2al 3198	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥𝑂 ∈ Ons ∀𝑦𝑂 ∈ Ons ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒) ↔ ∀𝑥𝑂∀𝑦𝑂((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) → ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒)))
28	25, 26, 27	3bitr4i 306	. . . 4 ⊢ (∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜒 ↔ ∀𝑥𝑂 ∈ Ons ∀𝑦𝑂 ∈ Ons ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒))
29	15	imbi1i 352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ ((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑥𝑂 <s 𝑥) → 𝜓))
30		impexp 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑥𝑂 <s 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑥𝑂 ∈ Ons → (𝑥𝑂 <s 𝑥 → 𝜓)))
31	29, 30	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑥𝑂 ∈ Ons → (𝑥𝑂 <s 𝑥 → 𝜓)))
32	31	ralbii2 3104	. . . 4 ⊢ (∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑥𝑂 ∈ Ons (𝑥𝑂 <s 𝑥 → 𝜓))
33	18	imbi1i 352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦) → 𝜃) ↔ ((𝑦𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜃))
34		impexp 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜃) ↔ (𝑦𝑂 ∈ Ons → (𝑦𝑂 <s 𝑦 → 𝜃)))
35	33, 34	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦) → 𝜃) ↔ (𝑦𝑂 ∈ Ons → (𝑦𝑂 <s 𝑦 → 𝜃)))
36	35	ralbii2 3104	. . . 4 ⊢ (∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜃 ↔ ∀𝑦𝑂 ∈ Ons (𝑦𝑂 <s 𝑦 → 𝜃))
37	28, 32, 36	3anbi123i 1173	. . 3 ⊢ ((∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜒 ∧ ∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 ∧ ∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜃) ↔ (∀𝑥𝑂 ∈ Ons ∀𝑦𝑂 ∈ Ons ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒) ∧ ∀𝑥𝑂 ∈ Ons (𝑥𝑂 <s 𝑥 → 𝜓) ∧ ∀𝑦𝑂 ∈ Ons (𝑦𝑂 <s 𝑦 → 𝜃)))
38		ons2ind.6	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝑦 ∈ Ons) → ((∀𝑥𝑂 ∈ Ons ∀𝑦𝑂 ∈ Ons ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒) ∧ ∀𝑥𝑂 ∈ Ons (𝑥𝑂 <s 𝑥 → 𝜓) ∧ ∀𝑦𝑂 ∈ Ons (𝑦𝑂 <s 𝑦 → 𝜃)) → 𝜑))
39	37, 38	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝑦 ∈ Ons) → ((∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜒 ∧ ∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 ∧ ∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜃) → 𝜑))
40	3, 6, 7, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 39	xpord2ind 8143	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → 𝜂)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   Po wpo 5553   Or wor 5554   Fr wfr 5597   We wwe 5599  Predcpred 6292   <s clts 27931  On_scons 28570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-1o 8454  df-2o 8455  df-no 27933  df-lts 27934  df-bday 27935  df-les 28035  df-slts 28077  df-cuts 28079  df-made 28146  df-old 28147  df-left 28149  df-right 28150  df-ons 28571

This theorem is used by:  addonbday  28598