Theorem ons2ind 28288

Description: Double induction schema for surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 22-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ons2ind.1	⊢ (𝑥 = 𝑥𝑂 → (𝜑 ↔ 𝜓))
ons2ind.2	⊢ (𝑦 = 𝑦𝑂 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ons2ind.3	⊢ (𝑥 = 𝑥𝑂 → (𝜃 ↔ 𝜒))
ons2ind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
ons2ind.5	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜏 ↔ 𝜂))
ons2ind.6	⊢ ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝑦 ∈ Ons) → ((∀𝑥𝑂 ∈ Ons ∀𝑦𝑂 ∈ Ons ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒) ∧ ∀𝑥𝑂 ∈ Ons (𝑥𝑂 <s 𝑥 → 𝜓) ∧ ∀𝑦𝑂 ∈ Ons (𝑦𝑂 <s 𝑦 → 𝜃)) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
ons2ind	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑥_𝑂,𝑦,𝑦_𝑂   𝜓,𝑥,𝑦_𝑂   𝜏,𝑥   𝜒,𝑦   𝜂,𝑦   𝜑,𝑥_𝑂   𝜃,𝑥_𝑂   𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑦_𝑂)   𝜓(𝑦,𝑥_𝑂)   𝜒(𝑥,𝑥_𝑂,𝑦_𝑂)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑦_𝑂)   𝜏(𝑦,𝑥_𝑂,𝑦_𝑂)   𝜂(𝑥,𝑥_𝑂,𝑦_𝑂)   𝐴(𝑥_𝑂,𝑦_𝑂)   𝐵(𝑥,𝑥_𝑂,𝑦_𝑂)

Proof of Theorem ons2ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onswe 28285	. . 3 ⊢ <s We Ons
2		wefr 5624	. . 3 ⊢ ( <s We Ons → <s Fr Ons)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ <s Fr Ons
4		weso 5625	. . 3 ⊢ ( <s We Ons → <s Or Ons)
5		sopo 5561	. . 3 ⊢ ( <s Or Ons → <s Po Ons)
6	1, 4, 5	mp2b 10	. 2 ⊢ <s Po Ons
7		onsse 28286	. 2 ⊢ <s Se Ons
8		ons2ind.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑥𝑂 → (𝜑 ↔ 𝜓))
9		ons2ind.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑦𝑂 → (𝜓 ↔ 𝜒))
10		ons2ind.3	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑥𝑂 → (𝜃 ↔ 𝜒))
11		ons2ind.4	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
12		ons2ind.5	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜏 ↔ 𝜂))
13		vex 3446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥𝑂 ∈ V
14	13	elpred 6286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑥𝑂 <s 𝑥)))
15	14	elv 3447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑥𝑂 <s 𝑥))
16		vex 3446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦𝑂 ∈ V
17	16	elpred 6286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦) ↔ (𝑦𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)))
18	17	elv 3447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦) ↔ (𝑦𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦))
19	15, 18	anbi12i 629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ∧ 𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦)) ↔ ((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑥𝑂 <s 𝑥) ∧ (𝑦𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)))
20		an4 657	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑥𝑂 <s 𝑥) ∧ (𝑦𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)) ↔ ((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) ∧ (𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)))
21	19, 20	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ∧ 𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦)) ↔ ((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) ∧ (𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)))
22	21	imbi1i 349	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ∧ 𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦)) → 𝜒) ↔ (((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) ∧ (𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)) → 𝜒))
23		impexp 450	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) ∧ (𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦)) → 𝜒) ↔ ((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) → ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒)))
24	22, 23	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ∧ 𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦)) → 𝜒) ↔ ((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) → ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒)))
25	24	2albii 1822	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥𝑂∀𝑦𝑂((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ∧ 𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦)) → 𝜒) ↔ ∀𝑥𝑂∀𝑦𝑂((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) → ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒)))
26		r2al 3174	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜒 ↔ ∀𝑥𝑂∀𝑦𝑂((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ∧ 𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦)) → 𝜒))
27		r2al 3174	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥𝑂 ∈ Ons ∀𝑦𝑂 ∈ Ons ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒) ↔ ∀𝑥𝑂∀𝑦𝑂((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 ∈ Ons) → ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒)))
28	25, 26, 27	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ (∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜒 ↔ ∀𝑥𝑂 ∈ Ons ∀𝑦𝑂 ∈ Ons ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒))
29	15	imbi1i 349	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ ((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑥𝑂 <s 𝑥) → 𝜓))
30		impexp 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑥𝑂 <s 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑥𝑂 ∈ Ons → (𝑥𝑂 <s 𝑥 → 𝜓)))
31	29, 30	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑥𝑂 ∈ Ons → (𝑥𝑂 <s 𝑥 → 𝜓)))
32	31	ralbii2 3080	. . . 4 ⊢ (∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑥𝑂 ∈ Ons (𝑥𝑂 <s 𝑥 → 𝜓))
33	18	imbi1i 349	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦) → 𝜃) ↔ ((𝑦𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜃))
34		impexp 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦𝑂 ∈ Ons ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜃) ↔ (𝑦𝑂 ∈ Ons → (𝑦𝑂 <s 𝑦 → 𝜃)))
35	33, 34	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑦𝑂 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑦) → 𝜃) ↔ (𝑦𝑂 ∈ Ons → (𝑦𝑂 <s 𝑦 → 𝜃)))
36	35	ralbii2 3080	. . . 4 ⊢ (∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜃 ↔ ∀𝑦𝑂 ∈ Ons (𝑦𝑂 <s 𝑦 → 𝜃))
37	28, 32, 36	3anbi123i 1156	. . 3 ⊢ ((∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜒 ∧ ∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 ∧ ∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜃) ↔ (∀𝑥𝑂 ∈ Ons ∀𝑦𝑂 ∈ Ons ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒) ∧ ∀𝑥𝑂 ∈ Ons (𝑥𝑂 <s 𝑥 → 𝜓) ∧ ∀𝑦𝑂 ∈ Ons (𝑦𝑂 <s 𝑦 → 𝜃)))
38		ons2ind.6	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝑦 ∈ Ons) → ((∀𝑥𝑂 ∈ Ons ∀𝑦𝑂 ∈ Ons ((𝑥𝑂 <s 𝑥 ∧ 𝑦𝑂 <s 𝑦) → 𝜒) ∧ ∀𝑥𝑂 ∈ Ons (𝑥𝑂 <s 𝑥 → 𝜓) ∧ ∀𝑦𝑂 ∈ Ons (𝑦𝑂 <s 𝑦 → 𝜃)) → 𝜑))
39	37, 38	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝑦 ∈ Ons) → ((∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜒 ∧ ∀𝑥𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 ∧ ∀𝑦𝑂 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑦)𝜃) → 𝜑))
40	3, 6, 7, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 39	xpord2ind 8102	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   class class class wbr 5100   Po wpo 5540   Or wor 5541   Fr wfr 5584   We wwe 5586  Predcpred 6268   <s clts 27625  On_scons 28264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-1o 8409  df-2o 8410  df-no 27627  df-lts 27628  df-bday 27629  df-les 27730  df-slts 27771  df-cuts 27773  df-made 27840  df-old 27841  df-left 27843  df-right 27844  df-ons 28265

This theorem is referenced by:  addonbday  28292