Theorem onsse 28212

Description: Surreal less-than is set-like over the surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onsse	⊢ <s Se Ons

Proof of Theorem onsse

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epse 5613	. 2 ⊢ E Se On
2		onsiso 28210	. . 3 ⊢ ( bday ↾ Ons) Isom <s , E (Ons, On)
3		isose 7300	. . 3 ⊢ (( bday ↾ Ons) Isom <s , E (Ons, On) → ( <s Se Ons ↔ E Se On))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( <s Se Ons ↔ E Se On)
5	1, 4	mpbir 231	1 ⊢ <s Se Ons

Syntax hints:   ↔ wb 206   E cep 5530   Se wse 5582   ↾ cres 5633  Oncon0 6320   Isom wiso 6500   <s cslt 27586   bday cbday 27587  On_scons 28193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-1o 8411  df-2o 8412  df-no 27588  df-slt 27589  df-bday 27590  df-sle 27691  df-sslt 27728  df-scut 27730  df-made 27793  df-old 27794  df-left 27796  df-right 27797  df-ons 28194

This theorem is referenced by:  onsis  28213