Theorem onsis 28433

Description: Transfinite induction schema for surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
onsis.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
onsis.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
onsis.3	⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
onsis	⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem onsis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onswe 28431	. 2 ⊢ <s We Ons
2		onsse 28432	. 2 ⊢ <s Se Ons
3		onsis.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		onsis.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5		vex 3465	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	elpred 6320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥)))
7	6	elv 3466	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥))
8	7	imbi1i 352	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ ((𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥) → 𝜓))
9		impexp 455	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑦 ∈ Ons → (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓)))
10	8, 9	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑦 ∈ Ons → (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓)))
11	10	ralbii2 3113	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓))
12		onsis.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
13	11, 12	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
14	1, 2, 3, 4, 13	wfis3 6359	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3461   class class class wbr 5111  Predcpred 6302   <s clts 27771  On_scons 28410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-1o 8453  df-2o 8454  df-no 27773  df-lts 27774  df-bday 27775  df-les 27875  df-slts 27917  df-cuts 27919  df-made 27986  df-old 27987  df-left 27989  df-right 27990  df-ons 28411

This theorem is referenced by:  bdayons  28435