Theorem onsis 28661

Description: Transfinite induction schema for surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
onsis.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
onsis.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
onsis.3	⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
onsis	⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem onsis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onswe 28659	. 2 ⊢ <s We Ons
2		onsse 28660	. 2 ⊢ <s Se Ons
3		onsis.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		onsis.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	elpred 6321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥)))
7	6	elv 3455	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥))
8	7	imbi1i 352	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ ((𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥) → 𝜓))
9		impexp 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑦 ∈ Ons → (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓)))
10	8, 9	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑦 ∈ Ons → (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓)))
11	10	ralbii2 3104	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓))
12		onsis.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
13	11, 12	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
14	1, 2, 3, 4, 13	wfis3 6360	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝜒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  Predcpred 6303   <s clts 27999  On_scons 28638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-1o 8477  df-2o 8478  df-no 28001  df-lts 28002  df-bday 28003  df-les 28103  df-slts 28145  df-cuts 28147  df-made 28214  df-old 28215  df-left 28217  df-right 28218  df-ons 28639

This theorem is used by:  bdayons  28663