Theorem onsis 28690

Description: Transfinite induction schema for surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
onsis.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
onsis.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
onsis.3	⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
onsis	⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem onsis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onswe 28688	. 2 ⊢ <s We Ons
2		onsse 28689	. 2 ⊢ <s Se Ons
3		onsis.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		onsis.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	elpred 6339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥)))
7	6	elv 3459	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥))
8	7	imbi1i 352	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ ((𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥) → 𝜓))
9		impexp 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑦 ∈ Ons → (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓)))
10	8, 9	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑦 ∈ Ons → (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓)))
11	10	ralbii2 3108	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓))
12		onsis.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
13	11, 12	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
14	1, 2, 3, 4, 13	wfis3 6378	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝜒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   class class class wbr 5106  Predcpred 6321   <s clts 28028  On_scons 28667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-les 28132  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247  df-ons 28668

This theorem is used by:  bdayons  28692