Theorem onsis 28224

Description: Transfinite induction schema for surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
onsis.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
onsis.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
onsis.3	⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
onsis	⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem onsis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onswe 28222	. 2 ⊢ <s We Ons
2		onsse 28223	. 2 ⊢ <s Se Ons
3		onsis.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		onsis.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5		vex 3463	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	elpred 6307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥)))
7	6	elv 3464	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥))
8	7	imbi1i 349	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ ((𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥) → 𝜓))
9		impexp 450	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑦 ∈ Ons → (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓)))
10	8, 9	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑦 ∈ Ons → (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓)))
11	10	ralbii2 3078	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓))
12		onsis.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
13	11, 12	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
14	1, 2, 3, 4, 13	wfis3 6350	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459   class class class wbr 5119  Predcpred 6289   <s cslt 27604  On_scons 28204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27606  df-slt 27607  df-bday 27608  df-sle 27709  df-sslt 27745  df-scut 27747  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811  df-ons 28205

This theorem is referenced by:  bdayon  28225