Theorem onsis 28661

Description: Transfinite induction schema for surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
onsis.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
onsis.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
onsis.3	⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
onsis	⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem onsis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onswe 28659	. 2 ⊢ <s We Ons
2		onsse 28660	. 2 ⊢ <s Se Ons
3		onsis.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		onsis.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5		vex 3455	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	elpred 6322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥)))
7	6	elv 3456	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥))
8	7	imbi1i 352	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ ((𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥) → 𝜓))
9		impexp 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ Ons ∧ 𝑦 <s 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑦 ∈ Ons → (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓)))
10	8, 9	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Pred( <s , Ons, 𝑥) → 𝜓) ↔ (𝑦 ∈ Ons → (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓)))
11	10	ralbii2 3105	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓))
12		onsis.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Ons (𝑦 <s 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
13	11, 12	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → (∀𝑦 ∈ Pred ( <s , Ons, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
14	1, 2, 3, 4, 13	wfis3 6361	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝜒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  Predcpred 6304   <s clts 27999  On_scons 28638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-1o 8477  df-2o 8478  df-no 28001  df-lts 28002  df-bday 28003  df-les 28103  df-slts 28145  df-cuts 28147  df-made 28214  df-old 28215  df-left 28217  df-right 28218  df-ons 28639

This theorem is used by:  bdayons  28663