Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orrvccel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orrvccel 33465
Description: If the relation produces closed sets, preimage maps are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orrvccel.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
orrvccel.5 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
Assertion
Ref Expression
orrvccel (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvccel
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 domprobsiga 33410 . . 3 (𝑃 ∈ Prob β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 retop 24278 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
6 orrvccel.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
71rrvmbfm 33441 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
86, 7mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
9 df-brsiga 33180 . . . 4 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
109oveq2i 7420 . . 3 (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
118, 10eleqtrdi 2844 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))))
12 orrvccel.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
13 uniretop 24279 . . . 4 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
14 rabeq 3447 . . . 4 (ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
1513, 14ax-mp 5 . . 3 {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
16 orrvccel.5 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
1715, 16eqeltrrid 2839 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
183, 5, 11, 12, 17orvccel 33461 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  (,)cioo 13324  topGenctg 17383  Topctop 22395  Clsdccld 22520  sigAlgebracsiga 33106  sigaGencsigagen 33136  π”…ℝcbrsiga 33179  MblFnMcmbfm 33247  Probcprb 33406  rRndVarcrrv 33439  βˆ˜RV/𝑐corvc 33454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-cld 22523  df-esum 33026  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-brsiga 33180  df-meas 33194  df-mbfm 33248  df-prob 33407  df-rrv 33440  df-orvc 33455
This theorem is referenced by:  orvcgteel  33466  orvclteel  33471
  Copyright terms: Public domain W3C validator