Theorem orrvccel 32333

Description: If the relation produces closed sets, preimage maps are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
orrvccel.5	⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Assertion

Ref	Expression
orrvccel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvccel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		domprobsiga 32278	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		retop 23831	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6		orrvccel.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7	1	rrvmbfm 32309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
8	6, 7	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
9		df-brsiga 32050	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
10	9	oveq2i 7266	. . 3 ⊢ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
11	8, 10	eleqtrdi 2849	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12		orrvccel.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		uniretop 23832	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
14		rabeq 3408	. . . 4 ⊢ (ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
16		orrvccel.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
17	15, 16	eqeltrrid 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
18	3, 5, 11, 12, 17	orvccel 32329	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  (,)cioo 13008  topGenctg 17065  Topctop 21950  Clsdccld 22075  sigAlgebracsiga 31976  sigaGencsigagen 32006  𝔅_ℝcbrsiga 32049  MblFnMcmbfm 32117  Probcprb 32274  rRndVarcrrv 32307  ∘_RV/𝑐corvc 32322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-ioo 13012  df-topgen 17071  df-top 21951  df-bases 22004  df-cld 22078  df-esum 31896  df-siga 31977  df-sigagen 32007  df-brsiga 32050  df-meas 32064  df-mbfm 32118  df-prob 32275  df-rrv 32308  df-orvc 32323

This theorem is referenced by:  orvcgteel  32334  orvclteel  32339