Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orrvccel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orrvccel 31719
 Description: If the relation produces closed sets, preimage maps are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4 (𝜑𝐴𝑉)
orrvccel.5 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
Assertion
Ref Expression
orrvccel (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvccel
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 domprobsiga 31664 . . 3 (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
4 retop 23364 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6 orrvccel.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
71rrvmbfm 31695 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
86, 7mpbid 234 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
9 df-brsiga 31436 . . . 4 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
109oveq2i 7161 . . 3 (dom 𝑃MblFnM𝔅) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
118, 10eleqtrdi 2923 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12 orrvccel.4 . 2 (𝜑𝐴𝑉)
13 uniretop 23365 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
14 rabeq 3483 . . . 4 (ℝ = (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
1513, 14ax-mp 5 . . 3 {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
16 orrvccel.5 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
1715, 16eqeltrrid 2918 . 2 (𝜑 → {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
183, 5, 11, 12, 17orvccel 31715 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  ∪ cuni 4831   class class class wbr 5058  dom cdm 5549  ran crn 5550  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  (,)cioo 12732  topGenctg 16705  Topctop 21495  Clsdccld 21618  sigAlgebracsiga 31362  sigaGencsigagen 31392  𝔅ℝcbrsiga 31435  MblFnMcmbfm 31503  Probcprb 31660  rRndVarcrrv 31693  ∘RV/𝑐corvc 31708 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-ac2 9879  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-acn 9365  df-ac 9536  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ioo 12736  df-topgen 16711  df-top 21496  df-bases 21548  df-cld 21621  df-esum 31282  df-siga 31363  df-sigagen 31393  df-brsiga 31436  df-meas 31450  df-mbfm 31504  df-prob 31661  df-rrv 31694  df-orvc 31709 This theorem is referenced by:  orvcgteel  31720  orvclteel  31725
 Copyright terms: Public domain W3C validator