Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orrvccel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orrvccel 33763
Description: If the relation produces closed sets, preimage maps are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orrvccel.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
orrvccel.5 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
Assertion
Ref Expression
orrvccel (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvccel
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 domprobsiga 33708 . . 3 (𝑃 ∈ Prob β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 retop 24498 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
6 orrvccel.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
71rrvmbfm 33739 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
86, 7mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
9 df-brsiga 33478 . . . 4 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
109oveq2i 7422 . . 3 (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
118, 10eleqtrdi 2841 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))))
12 orrvccel.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
13 uniretop 24499 . . . 4 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
14 rabeq 3444 . . . 4 (ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
1513, 14ax-mp 5 . . 3 {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
16 orrvccel.5 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
1715, 16eqeltrrid 2836 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
183, 5, 11, 12, 17orvccel 33759 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  (,)cioo 13328  topGenctg 17387  Topctop 22615  Clsdccld 22740  sigAlgebracsiga 33404  sigaGencsigagen 33434  π”…ℝcbrsiga 33477  MblFnMcmbfm 33545  Probcprb 33704  rRndVarcrrv 33737  βˆ˜RV/𝑐corvc 33752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13332  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-cld 22743  df-esum 33324  df-siga 33405  df-sigagen 33435  df-brsiga 33478  df-meas 33492  df-mbfm 33546  df-prob 33705  df-rrv 33738  df-orvc 33753
This theorem is referenced by:  orvcgteel  33764  orvclteel  33769
  Copyright terms: Public domain W3C validator