Theorem orrvccel 35147

Description: If the relation produces closed sets, preimage maps are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
orrvccel.5	⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Assertion

Ref	Expression
orrvccel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvccel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		domprobsiga 35091	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		retop 25087	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6		orrvccel.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7	1	rrvmbfm 35122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
8	6, 7	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
9		df-brsiga 34863	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
10	9	oveq2i 7433	. . 3 ⊢ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
11	8, 10	eleqtrdi 2870	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12		orrvccel.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		uniretop 25088	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
14		rabeq 3426	. . . 4 ⊢ (ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
16		orrvccel.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
17	15, 16	eqeltrrid 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
18	3, 5, 11, 12, 17	orvccel 35143	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ran crn 5651  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℝcr 11204  (,)cioo 13481  topGenctg 17615  Topctop 23218  Clsdccld 23341  sigAlgebracsiga 34788  sigaGencsigagen 34819  𝔅_ℝcbrsiga 34862  MblFnMcmbfm 34930  Probcprb 35087  rRndVarcrrv 35120  ∘_RV/𝑐corvc 35136

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-oi 9509  df-dju 9987  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-ioo 13485  df-topgen 17621  df-top 23219  df-bases 23271  df-cld 23344  df-esum 34708  df-siga 34789  df-sigagen 34820  df-brsiga 34863  df-meas 34877  df-mbfm 34931  df-prob 35088  df-rrv 35121  df-orvc 35137

This theorem is used by:  orvcgteel  35148  orvclteel  35153