Theorem orrvccel 34465

Description: If the relation produces closed sets, preimage maps are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
orrvccel.5	⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Assertion

Ref	Expression
orrvccel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvccel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		domprobsiga 34409	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		retop 24656	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6		orrvccel.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7	1	rrvmbfm 34440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
8	6, 7	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
9		df-brsiga 34179	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
10	9	oveq2i 7401	. . 3 ⊢ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
11	8, 10	eleqtrdi 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12		orrvccel.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		uniretop 24657	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
14		rabeq 3423	. . . 4 ⊢ (ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
16		orrvccel.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
17	15, 16	eqeltrrid 2834	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
18	3, 5, 11, 12, 17	orvccel 34461	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ran crn 5642  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  (,)cioo 13313  topGenctg 17407  Topctop 22787  Clsdccld 22910  sigAlgebracsiga 34105  sigaGencsigagen 34135  𝔅_ℝcbrsiga 34178  MblFnMcmbfm 34246  Probcprb 34405  rRndVarcrrv 34438  ∘_RV/𝑐corvc 34454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ioo 13317  df-topgen 17413  df-top 22788  df-bases 22840  df-cld 22913  df-esum 34025  df-siga 34106  df-sigagen 34136  df-brsiga 34179  df-meas 34193  df-mbfm 34247  df-prob 34406  df-rrv 34439  df-orvc 34455

This theorem is referenced by:  orvcgteel  34466  orvclteel  34471