Theorem ovnn0val 46979

Description: The value of a (multidimensional) Lebesgue outer measure, defined on a nonzero-dimensional space of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnn0val.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnn0val.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
ovnn0val.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnn0val.4	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}

Assertion

Ref	Expression
ovnn0val	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑧   𝑖,𝑋,𝑗,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem ovnn0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnn0val.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		ovnn0val.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3		ovnn0val.4	. . 3 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
4	1, 2, 3	ovnval2 46973	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )))
5		ovnn0val.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
6	5	neneqd 2937	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = ∅)
7	6	iffalsed 4477	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
8	4, 7	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  {crab 3389   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ifcif 4466  ∪ ciun 4933   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Xcixp 8845  Fincfn 8893  infcinf 9354  ℝcr 11037  0cc0 11038  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179  ℕcn 12174  [,)cico 13300  ∏cprod 15868  volcvol 25430  Σ^{^}csumge0 46790  voln*covoln 46964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-i2m1 11106  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-seq 13964  df-prod 15869  df-ovoln 46965

This theorem is referenced by:  ovnlecvr  46986  ovnsslelem  46988  ovnlerp  46990  ovnhoilem2  47030  ovnlecvr2  47038