Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnn0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnn0val 44912
Description: The value of a (multidimensional) Lebesgue outer measure, defined on a nonzero-dimensional space of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnn0val.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnn0val.2 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ovnn0val.3 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnn0val.4 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
Assertion
Ref Expression
ovnn0val (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑧   𝑖,𝑋,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem ovnn0val
StepHypRef Expression
1 ovnn0val.1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 ovnn0val.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3 ovnn0val.4 . . 3 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
41, 2, 3ovnval2 44906 . 2 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )))
5 ovnn0val.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
65neneqd 2944 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 = ∅)
76iffalsed 4502 . 2 (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
84, 7eqtrd 2771 1 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wrex 3069  {crab 3405  wss 3913  c0 4287  ifcif 4491   ciun 4959  cmpt 5193   × cxp 5636  ccom 5642  cfv 6501  (class class class)co 7362  m cmap 8772  Xcixp 8842  Fincfn 8890  infcinf 9386  cr 11059  0cc0 11060  *cxr 11197   < clt 11198  cn 12162  [,)cico 13276  cprod 15799  volcvol 24864  Σ^csumge0 44723  voln*covoln 44897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-mulcl 11122  ax-i2m1 11128  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-seq 13917  df-prod 15800  df-ovoln 44898
This theorem is referenced by:  ovnlecvr  44919  ovnsslelem  44921  ovnlerp  44923  ovnhoilem2  44963  ovnlecvr2  44971
  Copyright terms: Public domain W3C validator