Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnn0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnn0val 46506
Description: The value of a (multidimensional) Lebesgue outer measure, defined on a nonzero-dimensional space of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnn0val.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnn0val.2 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ovnn0val.3 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnn0val.4 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
Assertion
Ref Expression
ovnn0val (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑧   𝑖,𝑋,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem ovnn0val
StepHypRef Expression
1 ovnn0val.1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 ovnn0val.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3 ovnn0val.4 . . 3 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
41, 2, 3ovnval2 46500 . 2 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )))
5 ovnn0val.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
65neneqd 2942 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 = ∅)
76iffalsed 4541 . 2 (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
84, 7eqtrd 2774 1 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  {crab 3432  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530   ciun 4995  cmpt 5230   × cxp 5686  ccom 5692  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  Xcixp 8935  Fincfn 8983  infcinf 9478  cr 11151  0cc0 11152  *cxr 11291   < clt 11292  cn 12263  [,)cico 13385  cprod 15935  volcvol 25511  Σ^csumge0 46317  voln*covoln 46491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-mulcl 11214  ax-i2m1 11220  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-seq 14039  df-prod 15936  df-ovoln 46492
This theorem is referenced by:  ovnlecvr  46513  ovnsslelem  46515  ovnlerp  46517  ovnhoilem2  46557  ovnlecvr2  46565
  Copyright terms: Public domain W3C validator