Theorem ovnn0val 47379

Description: The value of a (multidimensional) Lebesgue outer measure, defined on a nonzero-dimensional space of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnn0val.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnn0val.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
ovnn0val.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnn0val.4	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}

Assertion

Ref	Expression
ovnn0val	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑧   𝑖,𝑋,𝑗,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧, 𝑖, 𝑗, 𝑘)   𝐴(𝑗, 𝑘)   𝑀(𝑧, 𝑖, 𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem ovnn0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnn0val.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		ovnn0val.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3		ovnn0val.4	. . 3 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
4	1, 2, 3	ovnval2 47373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )))
5		ovnn0val.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
6	5	neneqd 2960	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = ∅)
7	6	iffalsed 4493	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
8	4, 7	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482  ∪ ciun 4951   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  Xcixp 8904  Fincfn 8952  infcinf 9411  ℝcr 11123  0cc0 11124  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  ℕcn 12257  [,)cico 13400  ∏cprod 15992  volcvol 25691  Σ^{^}csumge0 47190  voln*covoln 47364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-mulcl 11186  ax-i2m1 11192  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-seq 14066  df-prod 15993  df-ovoln 47365

This theorem is used by:  ovnlecvr  47386  ovnsslelem  47388  ovnlerp  47390  ovnhoilem2  47430  ovnlecvr2  47438