Theorem ovnn0val 46536

Description: The value of a (multidimensional) Lebesgue outer measure, defined on a nonzero-dimensional space of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnn0val.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnn0val.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
ovnn0val.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnn0val.4	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}

Assertion

Ref	Expression
ovnn0val	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑧   𝑖,𝑋,𝑗,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem ovnn0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnn0val.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		ovnn0val.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3		ovnn0val.4	. . 3 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
4	1, 2, 3	ovnval2 46530	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )))
5		ovnn0val.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
6	5	neneqd 2930	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = ∅)
7	6	iffalsed 4489	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
8	4, 7	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3396   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ifcif 4478  ∪ ciun 4944   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621   ∘ ccom 5627  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  Xcixp 8831  Fincfn 8879  infcinf 9350  ℝcr 11027  0cc0 11028  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  ℕcn 12146  [,)cico 13268  ∏cprod 15828  volcvol 25380  Σ^{^}csumge0 46347  voln*covoln 46521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-mulcl 11090  ax-i2m1 11096  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-seq 13927  df-prod 15829  df-ovoln 46522

This theorem is referenced by:  ovnlecvr  46543  ovnsslelem  46545  ovnlerp  46547  ovnhoilem2  46587  ovnlecvr2  46595