Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnn0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnn0val 46566
Description: The value of a (multidimensional) Lebesgue outer measure, defined on a nonzero-dimensional space of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnn0val.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnn0val.2 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ovnn0val.3 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnn0val.4 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
Assertion
Ref Expression
ovnn0val (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑧   𝑖,𝑋,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem ovnn0val
StepHypRef Expression
1 ovnn0val.1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 ovnn0val.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3 ovnn0val.4 . . 3 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
41, 2, 3ovnval2 46560 . 2 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )))
5 ovnn0val.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
65neneqd 2945 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 = ∅)
76iffalsed 4536 . 2 (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
84, 7eqtrd 2777 1 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525   ciun 4991  cmpt 5225   × cxp 5683  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Xcixp 8937  Fincfn 8985  infcinf 9481  cr 11154  0cc0 11155  *cxr 11294   < clt 11295  cn 12266  [,)cico 13389  cprod 15939  volcvol 25498  Σ^csumge0 46377  voln*covoln 46551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-mulcl 11217  ax-i2m1 11223  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-seq 14043  df-prod 15940  df-ovoln 46552
This theorem is referenced by:  ovnlecvr  46573  ovnsslelem  46575  ovnlerp  46577  ovnhoilem2  46617  ovnlecvr2  46625
  Copyright terms: Public domain W3C validator