Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnlerp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnlerp 45979
Description: The Lebesgue outer measure of a subset of multidimensional real numbers can always be approximated by the total outer measure of a cover of half-open (multidimensional) intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnlerp.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnlerp.n0 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ovnlerp.a (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnlerp.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ovnlerp.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
Assertion
Ref Expression
ovnlerp (𝜑 → ∃𝑧𝑀 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑧   𝑧,𝐸   𝑖,𝑋,𝑗,𝑘,𝑧   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem ovnlerp
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . 4 𝑥𝜑
2 ovnlerp.m . . . . . 6 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
3 ssrab2 4077 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ ℝ*
42, 3eqsstri 4016 . . . . 5 𝑀 ⊆ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑀 ⊆ ℝ*)
6 ovnlerp.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
7 ovnlerp.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
86, 7, 2ovnpnfelsup 45976 . . . . 5 (𝜑 → +∞ ∈ 𝑀)
98ne0d 4339 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ ∅)
10 0red 11255 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
116, 7, 2ovnsupge0 45974 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ⊆ (0[,]+∞))
12 0xr 11299 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑀) → 0 ∈ ℝ*)
14 pnfxr 11306 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑀) → +∞ ∈ ℝ*)
16 ssel2 3977 . . . . . . . 8 ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑀) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
17 iccgelb 13420 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑦)
1813, 15, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑀) → 0 ≤ 𝑦)
1918ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝑀 ⊆ (0[,]+∞) → ∀𝑦𝑀 0 ≤ 𝑦)
2011, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦𝑀 0 ≤ 𝑦)
21 breq1 5155 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
2221ralbidv 3175 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (∀𝑦𝑀 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑀 0 ≤ 𝑦))
2322rspcev 3611 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑀 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑀 𝑥𝑦)
2410, 20, 23syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑀 𝑥𝑦)
25 ovnlerp.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
261, 5, 9, 24, 25infrpge 44762 . . 3 (𝜑 → ∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
27 nfv 1909 . . . 4 𝑤𝜑
28 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑀𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸)) → 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
29 ovnlerp.n0 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
306, 29, 7, 2ovnn0val 45968 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
3130eqcomd 2734 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) = ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
3231oveq1d 7441 . . . . . . 7 (𝜑 → (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
33323ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑀𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸)) → (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
3428, 33breqtrd 5178 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑀𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸)) → 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
35343exp 1116 . . . 4 (𝜑 → (𝑤𝑀 → (𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) → 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))))
3627, 35reximdai 3256 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) → ∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸)))
3726, 36mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
38 nfcv 2899 . . 3 𝑤𝑀
39 nfrab1 3450 . . . 4 𝑧{𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
402, 39nfcxfr 2897 . . 3 𝑧𝑀
41 nfv 1909 . . 3 𝑧 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸)
42 nfv 1909 . . 3 𝑤 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸)
43 breq1 5155 . . 3 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸) ↔ 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸)))
4438, 40, 41, 42, 43cbvrexfw 3300 . 2 (∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸) ↔ ∃𝑧𝑀 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
4537, 44sylib 217 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑀 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3430  wss 3949  c0 4326   ciun 5000   class class class wbr 5152  cmpt 5235   × cxp 5680  ccom 5686  cfv 6553  (class class class)co 7426  m cmap 8851  Xcixp 8922  Fincfn 8970  infcinf 9472  cr 11145  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287  cn 12250  +crp 13014   +𝑒 cxad 13130  [,)cico 13366  [,]cicc 13367  cprod 15889  volcvol 25412  Σ^csumge0 45779  voln*covoln 45953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-prod 15890  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cmp 23311  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-sumge0 45780  df-ovoln 45954
This theorem is referenced by:  ovncvrrp  45981
  Copyright terms: Public domain W3C validator