Theorem ovnlerp 47572

Description: The Lebesgue outer measure of a subset of multidimensional real numbers can always be approximated by the total outer measure of a cover of half-open (multidimensional) intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnlerp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnlerp.n0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
ovnlerp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnlerp.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
ovnlerp.m	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}

Assertion

Ref	Expression
ovnlerp	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑀 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑧   𝑧,𝐸   𝑖,𝑋,𝑗,𝑘,𝑧   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗, 𝑘)   𝐸(𝑖, 𝑗, 𝑘)   𝑀(𝑧, 𝑖, 𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem ovnlerp

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		ovnlerp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
3		ssrab2 4005	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ ℝ*
4	2, 3	eqsstri 3954	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ℝ*)
6		ovnlerp.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7		ovnlerp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
8	6, 7, 2	ovnpnfelsup 47569	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ 𝑀)
9	8	ne0d 4287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ ∅)
10		0red 11311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11	6, 7, 2	ovnsupge0 47567	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ (0[,]+∞))
12		0xr 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) → 0 ∈ ℝ*)
14		pnfxr 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) → +∞ ∈ ℝ*)
16		ssel2 3903	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
17		iccgelb 13533	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑦)
18	13, 15, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) → 0 ≤ 𝑦)
19	18	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ⊆ (0[,]+∞) → ∀𝑦 ∈ 𝑀 0 ≤ 𝑦)
20	11, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑀 0 ≤ 𝑦)
21		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
22	21	ralbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ 𝑀 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑀 0 ≤ 𝑦))
23	22	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑀 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑀 𝑥 ≤ 𝑦)
24	10, 20, 23	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑀 𝑥 ≤ 𝑦)
25		ovnlerp.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
26	1, 5, 9, 24, 25	infrpge 46363	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑀 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +e 𝐸))
27		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
28		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ∧ 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +e 𝐸)) → 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +e 𝐸))
29		ovnlerp.n0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
30	6, 29, 7, 2	ovnn0val 47561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
31	30	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) = ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
32	31	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (inf(𝑀, ℝ*, < ) +e 𝐸) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸))
33	32	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ∧ 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +e 𝐸)) → (inf(𝑀, ℝ*, < ) +e 𝐸) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸))
34	28, 33	breqtrd 5130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ∧ 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +e 𝐸)) → 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸))
35	34	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝑀 → (𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +e 𝐸) → 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸))))
36	27, 35	reximdai 3264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑀 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +e 𝐸) → ∃𝑤 ∈ 𝑀 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸)))
37	26, 36	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑀 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸))
38		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝑀
39		nfrab1 3431	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
40	2, 39	nfcxfr 2920	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧𝑀
41		nfv 1946	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸)
42		nfv 1946	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸)
43		breq1 5105	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸) ↔ 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸)))
44	38, 40, 41, 42, 43	cbvrexfw 3303	. 2 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑀 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑀 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸))
45	37, 44	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑀 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ∪ ciun 4950   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Xcixp 8925  Fincfn 8973  infcinf 9433  ℝcr 11199  0cc0 11200  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  ℝ⁺crp 13120   +_e cxad 13239  [,)cico 13478  [,]cicc 13479  ∏cprod 16072  volcvol 25784  Σ^{^}csumge0 47372  voln*covoln 47546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-prod 16073  df-rest 17593  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cmp 23705  df-ovol 25785  df-vol 25786  df-sumge0 47373  df-ovoln 47547

This theorem is used by:  ovncvrrp  47574