Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnlerp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnlerp 42275
Description: The Lebesgue outer measure of a subset of multidimensional real numbers can always be approximated by the total outer measure of a cover of half-open (multidimensional) intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnlerp.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnlerp.n0 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ovnlerp.a (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
ovnlerp.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ovnlerp.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
Assertion
Ref Expression
ovnlerp (𝜑 → ∃𝑧𝑀 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑧   𝑧,𝐸   𝑖,𝑋,𝑗,𝑘,𝑧   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem ovnlerp
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1873 . . . 4 𝑥𝜑
2 ovnlerp.m . . . . . 6 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
3 ssrab2 3940 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ ℝ*
42, 3eqsstri 3885 . . . . 5 𝑀 ⊆ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑀 ⊆ ℝ*)
6 ovnlerp.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
7 ovnlerp.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
86, 7, 2ovnpnfelsup 42272 . . . . 5 (𝜑 → +∞ ∈ 𝑀)
98ne0d 4181 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ ∅)
10 0red 10437 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
116, 7, 2ovnsupge0 42270 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ⊆ (0[,]+∞))
12 0xr 10481 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑀) → 0 ∈ ℝ*)
14 pnfxr 10488 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑀) → +∞ ∈ ℝ*)
16 ssel2 3847 . . . . . . . 8 ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑀) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
17 iccgelb 12603 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑦)
1813, 15, 16, 17syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑀) → 0 ≤ 𝑦)
1918ralrimiva 3126 . . . . . 6 (𝑀 ⊆ (0[,]+∞) → ∀𝑦𝑀 0 ≤ 𝑦)
2011, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦𝑀 0 ≤ 𝑦)
21 breq1 4926 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
2221ralbidv 3141 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (∀𝑦𝑀 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑀 0 ≤ 𝑦))
2322rspcev 3529 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑀 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑀 𝑥𝑦)
2410, 20, 23syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑀 𝑥𝑦)
25 ovnlerp.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
261, 5, 9, 24, 25infrpge 41048 . . 3 (𝜑 → ∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
27 nfv 1873 . . . 4 𝑤𝜑
28 simp3 1118 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑀𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸)) → 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
29 ovnlerp.n0 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
306, 29, 7, 2ovnn0val 42264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
3130eqcomd 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) = ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
3231oveq1d 6985 . . . . . . 7 (𝜑 → (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
33323ad2ant1 1113 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑀𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸)) → (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
3428, 33breqtrd 4949 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑀𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸)) → 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
35343exp 1099 . . . 4 (𝜑 → (𝑤𝑀 → (𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) → 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))))
3627, 35reximdai 3248 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) → ∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸)))
3726, 36mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
38 nfcv 2926 . . 3 𝑤𝑀
39 nfrab1 3318 . . . 4 𝑧{𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
402, 39nfcxfr 2924 . . 3 𝑧𝑀
41 nfv 1873 . . 3 𝑧 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸)
42 nfv 1873 . . 3 𝑤 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸)
43 breq1 4926 . . 3 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸) ↔ 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸)))
4438, 40, 41, 42, 43cbvrexf 3372 . 2 (∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸) ↔ ∃𝑧𝑀 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
4537, 44sylib 210 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑀 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  wral 3082  wrex 3083  {crab 3086  wss 3823  c0 4172   ciun 4786   class class class wbr 4923  cmpt 5002   × cxp 5399  ccom 5405  cfv 6182  (class class class)co 6970  𝑚 cmap 8200  Xcixp 8253  Fincfn 8300  infcinf 8694  cr 10328  0cc0 10329  +∞cpnf 10465  *cxr 10467   < clt 10468  cle 10469  cn 11433  +crp 12198   +𝑒 cxad 12316  [,)cico 12550  [,]cicc 12551  cprod 15113  volcvol 23761  Σ^csumge0 42075  voln*covoln 42249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-2o 7900  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-pm 8203  df-ixp 8254  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-fi 8664  df-sup 8695  df-inf 8696  df-oi 8763  df-dju 9118  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-q 12157  df-rp 12199  df-xneg 12318  df-xadd 12319  df-xmul 12320  df-ioo 12552  df-ico 12554  df-icc 12555  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-fl 12971  df-seq 13179  df-exp 13239  df-hash 13500  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-clim 14700  df-rlim 14701  df-sum 14898  df-prod 15114  df-rest 16546  df-topgen 16567  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-met 20235  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-top 21200  df-topon 21217  df-bases 21252  df-cmp 21693  df-ovol 23762  df-vol 23763  df-sumge0 42076  df-ovoln 42250
This theorem is referenced by:  ovncvrrp  42277
  Copyright terms: Public domain W3C validator