Theorem pexmidlem8N 39454

Description: Lemma for pexmidN 39446. The contradiction of pexmidlem6N 39452 and pexmidlem7N 39453 shows that there can be no atom 𝑝 that is not in 𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋), which is therefore the whole atom space. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidALT.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidALT.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidALT.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem8N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)

Proof of Theorem pexmidlem8N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2948	. 2 ⊢ ¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)
2		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		pexmidALT.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		pexmidALT.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	4, 5	polssatN 39385	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
7	6	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
8		pexmidALT.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
9	4, 8	paddssat 39291	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
10	2, 3, 7, 9	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
11		df-pss 3966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝐴 ↔ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴))
12		pssnel 4472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝐴 → ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
13	11, 12	sylbir 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
14		df-rex 3067	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
15	13, 14	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
16		simplll 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
17		simpllr 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
18		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
19		simplrl 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
20		simplrr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑋 ≠ ∅)
21		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
22		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
25	22, 23, 4, 8, 5, 24	pexmidlem6N 39452	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
26	22, 23, 4, 8, 5, 24	pexmidlem7N 39453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
27	25, 26	jca 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
28	16, 17, 18, 19, 20, 21, 27	syl33anc 1382	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
29		nonconne 2948	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
30	29, 1	2false 374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋) ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
31	28, 30	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
32	31	rexlimdvaa 3152	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
33	15, 32	syl5 34	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
34	10, 33	mpand 693	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴 → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
35	34	necon1bd 2954	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴))
36	1, 35	mpi 20	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  ∃wrex 3066   ⊆ wss 3947   ⊊ wpss 3948  ∅c0 4324  {csn 4630  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  lecple 17245  joincjn 18308  Atomscatm 38739  HLchlt 38826  +_𝑃cpadd 39272  ⊥_𝑃cpolN 39379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-p0 18422  df-p1 18423  df-lat 18429  df-clat 18496  df-oposet 38652  df-ol 38654  df-oml 38655  df-covers 38742  df-ats 38743  df-atl 38774  df-cvlat 38798  df-hlat 38827  df-psubsp 38980  df-pmap 38981  df-padd 39273  df-polarityN 39380  df-psubclN 39412

This theorem is referenced by:  pexmidALTN  39455