Theorem pexmidlem8N 38848

Description: Lemma for pexmidN 38840. The contradiction of pexmidlem6N 38846 and pexmidlem7N 38847 shows that there can be no atom 𝑝 that is not in 𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋), which is therefore the whole atom space. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidALT.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidALT.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidALT.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem8N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)

Proof of Theorem pexmidlem8N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2953	. 2 ⊢ ¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)
2		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		pexmidALT.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		pexmidALT.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	4, 5	polssatN 38779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
7	6	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
8		pexmidALT.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
9	4, 8	paddssat 38685	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
10	2, 3, 7, 9	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
11		df-pss 3968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝐴 ↔ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴))
12		pssnel 4471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝐴 → ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
13	11, 12	sylbir 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
14		df-rex 3072	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
15	13, 14	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
16		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
17		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
18		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
19		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
20		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑋 ≠ ∅)
21		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
22		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
25	22, 23, 4, 8, 5, 24	pexmidlem6N 38846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
26	22, 23, 4, 8, 5, 24	pexmidlem7N 38847	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
27	25, 26	jca 513	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
28	16, 17, 18, 19, 20, 21, 27	syl33anc 1386	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
29		nonconne 2953	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
30	29, 1	2false 376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋) ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
31	28, 30	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
32	31	rexlimdvaa 3157	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
33	15, 32	syl5 34	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
34	10, 33	mpand 694	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴 → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
35	34	necon1bd 2959	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴))
36	1, 35	mpi 20	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949   ⊊ wpss 3950  ∅c0 4323  {csn 4629  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  lecple 17204  joincjn 18264  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  +_𝑃cpadd 38666  ⊥_𝑃cpolN 38773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-polarityN 38774  df-psubclN 38806

This theorem is referenced by:  pexmidALTN  38849