Theorem pexmidlem8N 39944

Description: Lemma for pexmidN 39936. The contradiction of pexmidlem6N 39942 and pexmidlem7N 39943 shows that there can be no atom 𝑝 that is not in 𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋), which is therefore the whole atom space. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidALT.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidALT.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidALT.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem8N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)

Proof of Theorem pexmidlem8N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2937	. 2 ⊢ ¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)
2		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		pexmidALT.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		pexmidALT.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	4, 5	polssatN 39875	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
8		pexmidALT.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
9	4, 8	paddssat 39781	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
10	2, 3, 7, 9	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
11		df-pss 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝐴 ↔ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴))
12		pssnel 4430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝐴 → ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
13	11, 12	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
14		df-rex 3054	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
15	13, 14	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
16		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
17		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
18		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
19		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
20		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑋 ≠ ∅)
21		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
22		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
25	22, 23, 4, 8, 5, 24	pexmidlem6N 39942	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
26	22, 23, 4, 8, 5, 24	pexmidlem7N 39943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
27	25, 26	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
28	16, 17, 18, 19, 20, 21, 27	syl33anc 1387	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
29		nonconne 2937	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
30	29, 1	2false 375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋) ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
31	28, 30	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
32	31	rexlimdvaa 3135	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
33	15, 32	syl5 34	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
34	10, 33	mpand 695	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴 → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
35	34	necon1bd 2943	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴))
36	1, 35	mpi 20	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911   ⊊ wpss 3912  ∅c0 4292  {csn 4585  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  lecple 17203  joincjn 18248  Atomscatm 39229  HLchlt 39316  +_𝑃cpadd 39762  ⊥_𝑃cpolN 39869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39142  df-ol 39144  df-oml 39145  df-covers 39232  df-ats 39233  df-atl 39264  df-cvlat 39288  df-hlat 39317  df-psubsp 39470  df-pmap 39471  df-padd 39763  df-polarityN 39870  df-psubclN 39902

This theorem is referenced by:  pexmidALTN  39945