Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem8N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem8N 37245
Description: Lemma for pexmidN 37237. The contradiction of pexmidlem6N 37243 and pexmidlem7N 37244 shows that there can be no atom 𝑝 that is not in 𝑋 + ( 𝑋), which is therefore the whole atom space. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidALT.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidALT.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidALT.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pexmidlem8N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴)

Proof of Theorem pexmidlem8N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nonconne 3026 . 2 ¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)
2 simpll 766 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simplr 768 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋𝐴)
4 pexmidALT.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 pexmidALT.o . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
64, 5polssatN 37176 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
76adantr 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
8 pexmidALT.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
94, 8paddssat 37082 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
102, 3, 7, 9syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
11 df-pss 3938 . . . . . . 7 ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊊ 𝐴 ↔ ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴))
12 pssnel 4403 . . . . . . 7 ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊊ 𝐴 → ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
1311, 12sylbir 238 . . . . . 6 (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
14 df-rex 3139 . . . . . 6 (∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)) ↔ ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
1513, 14sylibr 237 . . . . 5 (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
16 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
17 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋𝐴)
18 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑝𝐴)
19 simplrl 776 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
20 simplrr 777 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋 ≠ ∅)
21 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
22 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
2522, 23, 4, 8, 5, 24pexmidlem6N 37243 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
2622, 23, 4, 8, 5, 24pexmidlem7N 37244 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
2725, 26jca 515 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 27syl33anc 1382 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
29 nonconne 3026 . . . . . . . 8 ¬ ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
3029, 12false 379 . . . . . . 7 (((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋) ↔ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
3128, 30sylib 221 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
3231rexlimdvaa 3277 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3315, 32syl5 34 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3410, 33mpand 694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴 → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3534necon1bd 3032 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴))
361, 35mpi 20 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  wss 3919  wpss 3920  c0 4276  {csn 4550  cfv 6345  (class class class)co 7151  lecple 16574  joincjn 17556  Atomscatm 36531  HLchlt 36618  +𝑃cpadd 37063  𝑃cpolN 37170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-riotaBAD 36221
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-undef 7937  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36444  df-ol 36446  df-oml 36447  df-covers 36534  df-ats 36535  df-atl 36566  df-cvlat 36590  df-hlat 36619  df-psubsp 36771  df-pmap 36772  df-padd 37064  df-polarityN 37171  df-psubclN 37203
This theorem is referenced by:  pexmidALTN  37246
  Copyright terms: Public domain W3C validator