Theorem pexmidlem8N 39979

Description: Lemma for pexmidN 39971. The contradiction of pexmidlem6N 39977 and pexmidlem7N 39978 shows that there can be no atom 𝑝 that is not in 𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋), which is therefore the whole atom space. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidALT.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidALT.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidALT.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem8N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)

Proof of Theorem pexmidlem8N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2952	. 2 ⊢ ¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)
2		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		pexmidALT.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		pexmidALT.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	4, 5	polssatN 39910	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
8		pexmidALT.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
9	4, 8	paddssat 39816	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
10	2, 3, 7, 9	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
11		df-pss 3971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝐴 ↔ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴))
12		pssnel 4471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝐴 → ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
13	11, 12	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
14		df-rex 3071	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
15	13, 14	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
16		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
17		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
18		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
19		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
20		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑋 ≠ ∅)
21		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
22		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
25	22, 23, 4, 8, 5, 24	pexmidlem6N 39977	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
26	22, 23, 4, 8, 5, 24	pexmidlem7N 39978	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
27	25, 26	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
28	16, 17, 18, 19, 20, 21, 27	syl33anc 1387	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
29		nonconne 2952	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
30	29, 1	2false 375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋) ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
31	28, 30	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
32	31	rexlimdvaa 3156	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
33	15, 32	syl5 34	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
34	10, 33	mpand 695	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴 → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
35	34	necon1bd 2958	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴))
36	1, 35	mpi 20	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   ⊊ wpss 3952  ∅c0 4333  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  lecple 17304  joincjn 18357  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  +_𝑃cpadd 39797  ⊥_𝑃cpolN 39904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-polarityN 39905  df-psubclN 39937

This theorem is referenced by:  pexmidALTN  39980