Theorem pexmidlem8N 41034

Description: Lemma for pexmidN 41026. The contradiction of pexmidlem6N 41032 and pexmidlem7N 41033 shows that there can be no atom 𝑝 that is not in 𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋), which is therefore the whole atom space. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidALT.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidALT.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidALT.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem8N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)

Proof of Theorem pexmidlem8N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2968	. 2 ⊢ ¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)
2		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		pexmidALT.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		pexmidALT.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	4, 5	polssatN 40965	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
8		pexmidALT.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
9	4, 8	paddssat 40871	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
10	2, 3, 7, 9	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
11		df-pss 3919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝐴 ↔ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴))
12		pssnel 4424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊊ 𝐴 → ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
13	11, 12	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
14		df-rex 3088	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
15	13, 14	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
16		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
17		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
18		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
19		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
20		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑋 ≠ ∅)
21		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
22		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
25	22, 23, 4, 8, 5, 24	pexmidlem6N 41032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
26	22, 23, 4, 8, 5, 24	pexmidlem7N 41033	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
27	25, 26	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
28	16, 17, 18, 19, 20, 21, 27	syl33anc 1412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
29		nonconne 2968	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
30	29, 1	2false 378	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋) ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
31	28, 30	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
32	31	rexlimdvaa 3165	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
33	15, 32	syl5 35	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
34	10, 33	mpand 708	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝐴 → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
35	34	necon1bd 2974	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴))
36	1, 35	mpi 21	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  ∅c0 4279  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  lecple 17435  joincjn 18485  Atomscatm 40320  HLchlt 40407  +_𝑃cpadd 40852  ⊥_𝑃cpolN 40959

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-psubsp 40560  df-pmap 40561  df-padd 40853  df-polarityN 40960  df-psubclN 40992

This theorem is used by:  pexmidALTN  41035