MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1bascl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1bascl 20299
Description: A univariate polynomial is a univariate power series. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1bascl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1bascl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
ply1bascl (𝐹𝐵𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1𝑅)))

Proof of Theorem ply1bascl
StepHypRef Expression
1 ply1bascl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 ply1bascl.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2818 . . . . 5 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
42, 3ply1val 20290 . . . 4 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
5 eqid 2818 . . . 4 (Base‘(PwSer1𝑅)) = (Base‘(PwSer1𝑅))
64, 5ressbasss 16544 . . 3 (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1𝑅))
71, 6eqsstri 3998 . 2 𝐵 ⊆ (Base‘(PwSer1𝑅))
87sseli 3960 1 (𝐹𝐵𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  1oc1o 8084  Basecbs 16471   mPoly cmpl 20061  PwSer1cps1 20271  Poly1cpl1 20273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-1cn 10583  ax-addcl 10585
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-nn 11627  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-ply1 20278
This theorem is referenced by:  coe1fval2  20306  coe1f  20307  ply1opprmul  20335  coe1mul  20366
  Copyright terms: Public domain W3C validator