Theorem ply1bascl 21947

Description: A univariate polynomial is a univariate power series. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1bascl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1bascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bascl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1bascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bascl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		ply1bascl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
4	2, 3	ply1val 21938	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
6	4, 5	ressbasss 17188	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	1, 6	eqsstri 4017	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
8	7	sseli 3979	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  1_oc1o 8462  Basecbs 17149   mPoly cmpl 21679  PwSer₁cps1 21919  Poly₁cpl1 21921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-1cn 11171  ax-addcl 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-nn 12218  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-ply1 21926

This theorem is referenced by:  coe1fval2  21954  coe1f  21955  ply1opprmul  21982  coe1mul  22013