Theorem ply1bascl 22205

Description: A univariate polynomial is a univariate power series. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1bascl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1bascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bascl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1bascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bascl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		ply1bascl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
4	2, 3	ply1val 22195	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
6	4, 5	ressbasss 17284	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	1, 6	eqsstri 4030	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
8	7	sseli 3979	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1_oc1o 8499  Basecbs 17247   mPoly cmpl 21926  PwSer₁cps1 22176  Poly₁cpl1 22178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-ply1 22183

This theorem is referenced by:  coe1fval2  22212  coe1f  22213  ply1opprmul  22240  coe1mul  22273