Theorem ply1bascl 21696

Description: A univariate polynomial is a univariate power series. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1bascl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1bascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bascl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1bascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bascl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		ply1bascl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
4	2, 3	ply1val 21687	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
6	4, 5	ressbasss 17170	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	1, 6	eqsstri 4014	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
8	7	sseli 3976	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  1_oc1o 8446  Basecbs 17131   mPoly cmpl 21430  PwSer₁cps1 21668  Poly₁cpl1 21670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-1cn 11155  ax-addcl 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-nn 12200  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-ply1 21675

This theorem is referenced by:  coe1fval2  21703  coe1f  21704  ply1opprmul  21732  coe1mul  21763