Theorem ply1bascl 22332

Description: A univariate polynomial is a univariate power series. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1bascl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1bascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bascl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1bascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bascl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		ply1bascl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
4	2, 3	ply1val 22323	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
6	4, 5	ressbasss 17299	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	1, 6	eqsstri 3991	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
8	7	sseli 3941	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1_oc1o 8446  Basecbs 17269   mPoly cmpl 22025  PwSer₁cps1 22304  Poly₁cpl1 22306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-1cn 11158  ax-addcl 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-nn 12234  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-ply1 22311

This theorem is referenced by:  coe1fval2  22339  coe1f  22340  ply1opprmul  22367  coe1mul  22400