Theorem ply1bascl 22189

Description: A univariate polynomial is a univariate power series. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1bascl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1bascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bascl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1bascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bascl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		ply1bascl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
4	2, 3	ply1val 22180	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
5		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
6	4, 5	ressbasss 17201	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	1, 6	eqsstri 3961	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
8	7	sseli 3911	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  1_oc1o 8389  Basecbs 17171   mPoly cmpl 21882  PwSer₁cps1 22161  Poly₁cpl1 22163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-1cn 11088  ax-addcl 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-nn 12167  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-ply1 22168

This theorem is referenced by:  coe1fval2  22196  coe1f  22197  ply1opprmul  22224  coe1mul  22257