Theorem ply1opprmul 22464

Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1opprmul.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1opprmul.s	⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
ply1opprmul.z	⊢ 𝑍 = (Poly1‘𝑆)
ply1opprmul.t	⊢ · = (.r‘𝑌)
ply1opprmul.u	⊢ ∙ = (.r‘𝑍)
ply1opprmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1opprmul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))

Proof of Theorem ply1opprmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1opprmul.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1opprmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	ply1bascl 22429	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	psr1bascl 22426	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
8	4, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
9	2, 3	ply1bascl 22429	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
10	5, 6	psr1bascl 22426	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
13		ply1opprmul.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
14		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑆) = (1o mPwSer 𝑆)
15		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
16		ply1opprmul.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑌)
17	2, 15, 16	ply1mulr 22451	. . . 4 ⊢ · = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
18	15, 12, 17	mplmulr 22223	. . 3 ⊢ · = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
19		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
20		ply1opprmul.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Poly1‘𝑆)
21		ply1opprmul.u	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘𝑍)
22	20, 19, 21	ply1mulr 22451	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPoly 𝑆))
23	19, 14, 22	mplmulr 22223	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPwSer 𝑆))
24		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
25	12, 13, 14, 18, 23, 24	psropprmul 22463	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅))) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))
26	1, 8, 11, 25	syl3an 1178	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1_oc1o 8449  Basecbs 17302  ._rcmulr 17344  Ringcrg 20373  opp_rcoppr 20478   mPwSer cmps 22120   mPoly cmpl 22122  PwSer₁cps1 22401  Poly₁cpl1 22403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-tset 17362  df-ple 17363  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-psr 22125  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-ply1 22408

This theorem is used by:  ply1divalg2  26365