Theorem ply1opprmul 21982

Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1opprmul.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1opprmul.s	⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
ply1opprmul.z	⊢ 𝑍 = (Poly1‘𝑆)
ply1opprmul.t	⊢ · = (.r‘𝑌)
ply1opprmul.u	⊢ ∙ = (.r‘𝑍)
ply1opprmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1opprmul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))

Proof of Theorem ply1opprmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1opprmul.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1opprmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	ply1bascl 21947	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	psr1bascl 21944	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
9	2, 3	ply1bascl 21947	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
10	5, 6	psr1bascl 21944	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
12		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
13		ply1opprmul.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
14		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑆) = (1o mPwSer 𝑆)
15		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
16		ply1opprmul.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑌)
17	2, 15, 16	ply1mulr 21969	. . . 4 ⊢ · = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
18	15, 12, 17	mplmulr 21787	. . 3 ⊢ · = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
19		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
20		ply1opprmul.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Poly1‘𝑆)
21		ply1opprmul.u	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘𝑍)
22	20, 19, 21	ply1mulr 21969	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPoly 𝑆))
23	19, 14, 22	mplmulr 21787	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPwSer 𝑆))
24		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
25	12, 13, 14, 18, 23, 24	psropprmul 21981	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅))) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))
26	1, 8, 11, 25	syl3an 1159	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  1_oc1o 8463  Basecbs 17149  ._rcmulr 17203  Ringcrg 20128  opp_rcoppr 20225   mPwSer cmps 21677   mPoly cmpl 21679  PwSer₁cps1 21919  Poly₁cpl1 21921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-tset 17221  df-ple 17222  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-psr 21682  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-psr1 21924  df-ply1 21926

This theorem is referenced by:  ply1divalg2  25892