Theorem ply1opprmul 22161

Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1opprmul.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1opprmul.s	⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
ply1opprmul.z	⊢ 𝑍 = (Poly1‘𝑆)
ply1opprmul.t	⊢ · = (.r‘𝑌)
ply1opprmul.u	⊢ ∙ = (.r‘𝑍)
ply1opprmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1opprmul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))

Proof of Theorem ply1opprmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1opprmul.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1opprmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	ply1bascl 22126	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
5		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	psr1bascl 22123	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
9	2, 3	ply1bascl 22126	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
10	5, 6	psr1bascl 22123	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
12		eqid 2725	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
13		ply1opprmul.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
14		eqid 2725	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑆) = (1o mPwSer 𝑆)
15		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
16		ply1opprmul.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑌)
17	2, 15, 16	ply1mulr 22148	. . . 4 ⊢ · = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
18	15, 12, 17	mplmulr 21952	. . 3 ⊢ · = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
19		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
20		ply1opprmul.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Poly1‘𝑆)
21		ply1opprmul.u	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘𝑍)
22	20, 19, 21	ply1mulr 22148	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPoly 𝑆))
23	19, 14, 22	mplmulr 21952	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPwSer 𝑆))
24		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
25	12, 13, 14, 18, 23, 24	psropprmul 22160	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅))) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))
26	1, 8, 11, 25	syl3an 1157	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  1_oc1o 8473  Basecbs 17174  ._rcmulr 17228  Ringcrg 20172  opp_rcoppr 20271   mPwSer cmps 21836   mPoly cmpl 21838  PwSer₁cps1 22097  Poly₁cpl1 22099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-tset 17246  df-ple 17247  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-psr 21841  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-ply1 22104

This theorem is referenced by:  ply1divalg2  26087