Theorem ply1opprmul 22261

Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1opprmul.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1opprmul.s	⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
ply1opprmul.z	⊢ 𝑍 = (Poly1‘𝑆)
ply1opprmul.t	⊢ · = (.r‘𝑌)
ply1opprmul.u	⊢ ∙ = (.r‘𝑍)
ply1opprmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1opprmul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))

Proof of Theorem ply1opprmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1opprmul.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1opprmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	ply1bascl 22226	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	psr1bascl 22223	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
9	2, 3	ply1bascl 22226	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
10	5, 6	psr1bascl 22223	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
12		eqid 2740	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
13		ply1opprmul.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
14		eqid 2740	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑆) = (1o mPwSer 𝑆)
15		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
16		ply1opprmul.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑌)
17	2, 15, 16	ply1mulr 22248	. . . 4 ⊢ · = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
18	15, 12, 17	mplmulr 22051	. . 3 ⊢ · = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
19		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
20		ply1opprmul.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Poly1‘𝑆)
21		ply1opprmul.u	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘𝑍)
22	20, 19, 21	ply1mulr 22248	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPoly 𝑆))
23	19, 14, 22	mplmulr 22051	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPwSer 𝑆))
24		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
25	12, 13, 14, 18, 23, 24	psropprmul 22260	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅))) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))
26	1, 8, 11, 25	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1_oc1o 8515  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  Ringcrg 20260  opp_rcoppr 20359   mPwSer cmps 21947   mPoly cmpl 21949  PwSer₁cps1 22197  Poly₁cpl1 22199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-ple 17331  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-psr 21952  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-ply1 22204

This theorem is referenced by:  ply1divalg2  26198