Theorem coe1fval2 21725

Description: Univariate polynomial coefficient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1fval2.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))

Assertion

Ref	Expression
coe1fval2	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))

Distinct variable group:   𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem coe1fval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1f.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		coe1f.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bascl 21718	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
4		coe1fval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
5		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
6		eqid 2732	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		coe1fval2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
8	4, 5, 6, 7	coe1fval3 21723	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))
9	3, 8	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   × cxp 5673   ∘ ccom 5679  ‘cfv 6540  1_oc1o 8455  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  PwSer₁cps1 21690  Poly₁cpl1 21692  coe₁cco1 21693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-ple 17213  df-psr 21453  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-ply1 21697  df-coe1 21698

This theorem is referenced by:  coe1sfi  21728  coe1z  21776  coe1add  21777  coe1tm  21786  deg1val  25605