Theorem coe1mul 22138

Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1mul.s	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1mul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
coe1mul.u	⊢ · = (.r‘𝑅)
coe1mul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
coe1mul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑥) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑘 − 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝑅,𝑘,𝑥   ∙ ,𝑘   · ,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)   ∙ (𝑥)   𝑌(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem coe1mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1mul.s	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3		coe1mul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	ply1bascl 22070	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
5	2, 3	ply1bascl 22070	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
9		coe1mul.t	. . . . . 6 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
10	2, 7, 9	ply1mulr 22092	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
11	7, 8, 10	mplmulr 21899	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
12		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(PwSer1‘𝑅))
13	6, 8, 12	psr1mulr 22089	. . . 4 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
14	11, 13	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘(PwSer1‘𝑅))
15		coe1mul.u	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
17	6, 14, 15, 16	coe1mul2 22137	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅))) → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑥) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑘 − 𝑥)))))))
18	1, 4, 5, 17	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑥) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑘 − 𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5169  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  1_oc1o 8372  0cc0 10997   − cmin 11335  ℕ₀cn0 12372  ...cfz 13398  Basecbs 17107  ._rcmulr 17149   Σ_g cgsu 17331  Ringcrg 20105   mPwSer cmps 21795   mPoly cmpl 21797  PwSer₁cps1 22041  Poly₁cpl1 22043  coe₁cco1 22044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-of 7604  df-ofr 7605  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8616  df-map 8746  df-pm 8747  df-ixp 8816  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-sup 9320  df-oi 9390  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-seq 13897  df-hash 14226  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-hom 17172  df-cco 17173  df-0g 17332  df-gsum 17333  df-prds 17338  df-pws 17340  df-mre 17475  df-mrc 17476  df-acs 17478  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-mhm 18644  df-submnd 18645  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-mulg 18934  df-ghm 19079  df-cntz 19183  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ur 20054  df-ring 20107  df-psr 21800  df-mpl 21802  df-opsr 21804  df-psr1 22046  df-ply1 22048  df-coe1 22049

This theorem is referenced by:  coe1tmmul2  22144  coe1tmmul  22145  cply1mul  22165  decpmatmullem  22640  pm2mpmhmlem2  22688  coe1mul3  25985  ply1mulgsum  48389