Theorem coe1mul 22412

Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1mul.s	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1mul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
coe1mul.u	⊢ · = (.r‘𝑅)
coe1mul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
coe1mul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑥) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑘 − 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝑅,𝑘,𝑥   ∙ ,𝑘   · ,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)   ∙ (𝑥)   𝑌(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem coe1mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1mul.s	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3		coe1mul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	ply1bascl 22344	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
5	2, 3	ply1bascl 22344	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
9		coe1mul.t	. . . . . 6 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
10	2, 7, 9	ply1mulr 22366	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
11	7, 8, 10	mplmulr 22138	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
12		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(PwSer1‘𝑅))
13	6, 8, 12	psr1mulr 22363	. . . 4 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
14	11, 13	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘(PwSer1‘𝑅))
15		coe1mul.u	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
17	6, 14, 15, 16	coe1mul2 22411	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅))) → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑥) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑘 − 𝑥)))))))
18	1, 4, 5, 17	syl3an 1178	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑥) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑘 − 𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  1_oc1o 8447  0cc0 11101   − cmin 11442  ℕ₀cn0 12505  ...cfz 13536  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312   Σ_g cgsu 17494  Ringcrg 20316   mPwSer cmps 22035   mPoly cmpl 22037  PwSer₁cps1 22316  Poly₁cpl1 22318  coe₁cco1 22319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-mulg 19135  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-psr 22040  df-mpl 22042  df-opsr 22044  df-psr1 22321  df-ply1 22323  df-coe1 22324

This theorem is referenced by:  coe1tmmul2  22418  coe1tmmul  22419  cply1mul  22437  decpmatmullem  22909  pm2mpmhmlem2  22957  coe1mul3  26237  ply1mulgsum  49147