Theorem coe1mul 21678

Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1mul.s	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1mul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
coe1mul.u	⊢ · = (.r‘𝑅)
coe1mul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
coe1mul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑥) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑘 − 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝑅,𝑘,𝑥   ∙ ,𝑘   · ,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)   ∙ (𝑥)   𝑌(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem coe1mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1mul.s	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3		coe1mul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	ply1bascl 21611	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
5	2, 3	ply1bascl 21611	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
9		coe1mul.t	. . . . . 6 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
10	2, 7, 9	ply1mulr 21635	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
11	7, 8, 10	mplmulr 21629	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
12		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(PwSer1‘𝑅))
13	6, 8, 12	psr1mulr 21632	. . . 4 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
14	11, 13	eqtr4i 2762	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘(PwSer1‘𝑅))
15		coe1mul.u	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
17	6, 14, 15, 16	coe1mul2 21677	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(PwSer1‘𝑅))) → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑥) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑘 − 𝑥)))))))
18	1, 4, 5, 17	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑥) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑘 − 𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  1_oc1o 8410  0cc0 11060   − cmin 11394  ℕ₀cn0 12422  ...cfz 13434  Basecbs 17094  ._rcmulr 17148   Σ_g cgsu 17336  Ringcrg 19978   mPwSer cmps 21343   mPoly cmpl 21345  PwSer₁cps1 21583  Poly₁cpl1 21585  coe₁cco1 21586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9387  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-hash 14241  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-hom 17171  df-cco 17172  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-prds 17343  df-pws 17345  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-mhm 18615  df-submnd 18616  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-mulg 18887  df-ghm 19020  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-abl 19579  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-ring 19980  df-psr 21348  df-mpl 21350  df-opsr 21352  df-psr1 21588  df-ply1 21590  df-coe1 21591

This theorem is referenced by:  coe1tmmul2  21684  coe1tmmul  21685  cply1mul  21702  decpmatmullem  22157  pm2mpmhmlem2  22205  coe1mul3  25501  ply1mulgsum  46591