MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul 21539
Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul.s ๐‘Œ = (Poly1โ€˜๐‘…)
coe1mul.t โˆ™ = (.rโ€˜๐‘Œ)
coe1mul.u ยท = (.rโ€˜๐‘…)
coe1mul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
coe1mul ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ (coe1โ€˜(๐น โˆ™ ๐บ)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐น   ๐‘˜,๐บ,๐‘ฅ   ๐‘…,๐‘˜,๐‘ฅ   โˆ™ ,๐‘˜   ยท ,๐‘˜,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘˜)   โˆ™ (๐‘ฅ)   ๐‘Œ(๐‘ฅ,๐‘˜)

Proof of Theorem coe1mul
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 coe1mul.s . . 3 ๐‘Œ = (Poly1โ€˜๐‘…)
3 coe1mul.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
42, 3ply1bascl 21472 . 2 (๐น โˆˆ ๐ต โ†’ ๐น โˆˆ (Baseโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…)))
52, 3ply1bascl 21472 . 2 (๐บ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐บ โˆˆ (Baseโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…)))
6 eqid 2736 . . 3 (PwSer1โ€˜๐‘…) = (PwSer1โ€˜๐‘…)
7 eqid 2736 . . . . 5 (1o mPoly ๐‘…) = (1o mPoly ๐‘…)
8 eqid 2736 . . . . 5 (1o mPwSer ๐‘…) = (1o mPwSer ๐‘…)
9 coe1mul.t . . . . . 6 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘Œ)
102, 7, 9ply1mulr 21496 . . . . 5 โˆ™ = (.rโ€˜(1o mPoly ๐‘…))
117, 8, 10mplmulr 21490 . . . 4 โˆ™ = (.rโ€˜(1o mPwSer ๐‘…))
12 eqid 2736 . . . . 5 (.rโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…))
136, 8, 12psr1mulr 21493 . . . 4 (.rโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(1o mPwSer ๐‘…))
1411, 13eqtr4i 2767 . . 3 โˆ™ = (.rโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…))
15 coe1mul.u . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
16 eqid 2736 . . 3 (Baseโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…))
176, 14, 15, 16coe1mul2 21538 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ (Baseโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…)) โˆง ๐บ โˆˆ (Baseโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…))) โ†’ (coe1โ€˜(๐น โˆ™ ๐บ)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
181, 4, 5, 17syl3an 1159 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ (coe1โ€˜(๐น โˆ™ ๐บ)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ†ฆ cmpt 5172  โ€˜cfv 6473  (class class class)co 7329  1oc1o 8352  0cc0 10964   โˆ’ cmin 11298  โ„•0cn0 12326  ...cfz 13332  Basecbs 17001  .rcmulr 17052   ฮฃg cgsu 17240  Ringcrg 19870   mPwSer cmps 21205   mPoly cmpl 21207  PwSer1cps1 21444  Poly1cpl1 21446  coe1cco1 21447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-ofr 7588  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-hash 14138  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-tset 17070  df-ple 17071  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-submnd 18520  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-mulg 18789  df-ghm 18920  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-psr 21210  df-mpl 21212  df-opsr 21214  df-psr1 21449  df-ply1 21451  df-coe1 21452
This theorem is referenced by:  coe1tmmul2  21545  coe1tmmul  21546  cply1mul  21563  decpmatmullem  22018  pm2mpmhmlem2  22066  coe1mul3  25362  ply1mulgsum  46071
  Copyright terms: Public domain W3C validator