Theorem ressbasss 16931

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasss	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem ressbasss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		ressbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbas 16928	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
4		inss2 4168	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstrrdi 3980	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
6		reldmress 16924	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↾s
7	6	ovprc2 7308	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2791	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
9	8	fveq2d 6772	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10		base0 16898	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
11		0ss 4335	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
12	10, 11	eqsstrri 3960	. . 3 ⊢ (Base‘∅) ⊆ 𝐵
13	9, 12	eqsstrdi 3979	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
14	5, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   ∩ cin 3890   ⊆ wss 3891  ∅c0 4261  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893   ↾_s cress 16922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-1cn 10913  ax-addcl 10915

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-nn 11957  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923

This theorem is referenced by:  funcres2c  17598  resscatc  17805  submnd0  18395  resscntz  18919  subcmn  19419  evpmss  20772  phlssphl  20845  frlmplusgval  20952  frlmvscafval  20954  lsslindf  21018  islinds3  21022  resspsrvsca  21168  subrgpsr  21169  ply1bascl  21355  ressprdsds  23505  cphsubrglem  24322  cphsscph  24396