Theorem ressbasss 17335

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by SN, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasss	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem ressbasss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		ressbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbasssg 17333	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
4		inss2 4186	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	sstri 3943	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-1cn 11185  ax-addcl 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-nn 12261  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327

This theorem is used by:  funcres2c  17996  resscatc  18202  idressidex0  18777  submnd0OLD  18872  resscntz  19461  subcmn  19965  rngqiprng1elbas  21490  rng2idl1cntr  21509  evpmss  21800  phlssphl  21873  frlmplusgval  21978  frlmvscafval  21980  lsslindf  22044  islinds3  22048  resspsrvsca  22192  subrgpsr  22193  mplsubrgcl  22249  ply1bascl  22429  evls1fvcl  22601  ressprdsds  24598  cphsubrglem  25406  cphsscph  25480  ressply1mon1p  33965  unitscyglem5  43052