Theorem ressbasss 17186

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by SN, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasss	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem ressbasss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		ressbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbasssg 17184	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
4		inss2 4197	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	sstri 3953	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1540   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17156   ↾_s cress 17177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-1cn 11104  ax-addcl 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12165  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178

This theorem is referenced by:  funcres2c  17846  resscatc  18052  submnd0  18673  resscntz  19248  subcmn  19752  rngqiprng1elbas  21229  rng2idl1cntr  21248  evpmss  21529  phlssphl  21602  frlmplusgval  21707  frlmvscafval  21709  lsslindf  21773  islinds3  21777  resspsrvsca  21920  subrgpsr  21921  ply1bascl  22122  evls1fvcl  22296  ressprdsds  24293  cphsubrglem  25111  cphsscph  25185  ressply1mon1p  33531  unitscyglem5  42181  mplsubrgcl  42530