Theorem ressbasss 17446

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by SN, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasss	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem ressbasss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		ressbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbasssg 17444	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
4		inss2 4137	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	sstri 3922	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416   ↾_s cress 17437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-1cn 11285  ax-addcl 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-nn 12363  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438

This theorem is used by:  funcres2c  18107  resscatc  18313  idressidex0  18889  submnd0OLD  18986  resscntz  19577  subcmn  20081  rngqiprng1elbas  21612  rng2idl1cntr  21631  evpmss  21922  phlssphl  21995  frlmplusgval  22100  frlmvscafval  22102  lsslindf  22166  islinds3  22170  resspsrvsca  22314  subrgpsr  22315  mplsubrgcl  22371  ply1bascl  22551  evls1fvcl  22723  ressprdsds  24720  cphsubrglem  25528  cphsscph  25602  ressply1mon1p  34170  unitscyglem5  43441