Theorem ressbasss 17142

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by SN, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasss	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem ressbasss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		ressbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbasssg 17140	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
4		inss2 4186	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	sstri 3942	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1541   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112   ↾_s cress 17133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-1cn 11056  ax-addcl 11058

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-nn 12118  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134

This theorem is referenced by:  funcres2c  17802  resscatc  18008  submnd0  18663  resscntz  19238  subcmn  19742  rngqiprng1elbas  21216  rng2idl1cntr  21235  evpmss  21516  phlssphl  21589  frlmplusgval  21694  frlmvscafval  21696  lsslindf  21760  islinds3  21764  resspsrvsca  21907  subrgpsr  21908  ply1bascl  22109  evls1fvcl  22283  ressprdsds  24279  cphsubrglem  25097  cphsscph  25171  ressply1mon1p  33521  unitscyglem5  42211  mplsubrgcl  42560