MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbasss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbasss 16545
Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbasss (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem ressbasss
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
2 ressbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
31, 2ressbas 16543 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
4 inss2 4189 . . 3 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
53, 4eqsstrrdi 4006 . 2 (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
6 reldmress 16539 . . . . . 6 Rel dom ↾s
76ovprc2 7178 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
81, 7syl5eq 2871 . . . 4 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
98fveq2d 6655 . . 3 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10 base0 16525 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
11 0ss 4331 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐵
1210, 11eqsstrri 3986 . . 3 (Base‘∅) ⊆ 𝐵
139, 12eqsstrdi 4005 . 2 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
145, 13pm2.61i 185 1 (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3479  cin 3917  wss 3918  c0 4274  cfv 6336  (class class class)co 7138  Basecbs 16472  s cress 16473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-1cn 10580  ax-addcl 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-nn 11624  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480
This theorem is referenced by:  funcres2c  17160  resscatc  17354  submnd0  17929  resscntz  18451  subcmn  18946  resspsrvsca  20184  subrgpsr  20185  ply1bascl  20357  evpmss  20716  phlssphl  20789  frlmplusgval  20894  frlmvscafval  20896  lsslindf  20960  islinds3  20964  ressprdsds  22967  cphsubrglem  23771  cphsscph  23844
  Copyright terms: Public domain W3C validator