Theorem ressbasss 16999

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasss	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem ressbasss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		ressbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbas 16996	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
4		inss2 4169	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstrrdi 3981	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
6		reldmress 16992	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↾s
7	6	ovprc2 7347	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
9	8	fveq2d 6808	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10		base0 16966	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
11		0ss 4336	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
12	10, 11	eqsstrri 3961	. . 3 ⊢ (Base‘∅) ⊆ 𝐵
13	9, 12	eqsstrdi 3980	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
14	5, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16961   ↾_s cress 16990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-1cn 10979  ax-addcl 10981

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-nn 12024  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991

This theorem is referenced by:  funcres2c  17666  resscatc  17873  submnd0  18463  resscntz  18987  subcmn  19487  evpmss  20840  phlssphl  20913  frlmplusgval  21020  frlmvscafval  21022  lsslindf  21086  islinds3  21090  resspsrvsca  21236  subrgpsr  21237  ply1bascl  21423  ressprdsds  23573  cphsubrglem  24390  cphsscph  24464