Theorem ply1basf 19932

Description: Univariate polynomial base set elements are functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1rcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1rcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1basf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1basf	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1o)⟶𝐾)

Proof of Theorem ply1basf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2825	. 2 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		ply1basf.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2825	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		psr1baslem 19915	. 2 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		ply1rcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
8		ply1rcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	6, 7, 8	ply1bas 19925	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
10	5, 9	syl6eleq 2916	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
11	1, 2, 3, 4, 10	mplelf 19794	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1o)⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  1_oc1o 7819   ↑_𝑚 cmap 8122  ℕ₀cn0 11618  Basecbs 16222   mPoly cmpl 19714  PwSer₁cps1 19905  Poly₁cpl1 19907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-tset 16324  df-ple 16325  df-psr 19717  df-mpl 19719  df-opsr 19721  df-psr1 19910  df-ply1 19912

This theorem is referenced by:  00ply1bas  19970  coe1add  19994