Theorem plydivlem1 26147

Description: Lemma for plydivalg 26153. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
plydivlem1	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem plydivlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pneg1e0 12328	. 2 ⊢ (1 + -1) = 0
2		plydiv.pl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
3		neg1mulneg1e1 12422	. . . 4 ⊢ (-1 · -1) = 1
4		plydiv.tm	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
5		plydiv.m1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
6	4, 5, 5	caovcld 7593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · -1) ∈ 𝑆)
7	3, 6	eqeltrrid 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
8	2, 7, 5	caovcld 7593	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 + -1) ∈ 𝑆)
9	1, 8	eqeltrrid 2830	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  (class class class)co 7401  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  -cneg 11442   / cdiv 11868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-sub 11443  df-neg 11444

This theorem is referenced by:  plydivlem4  26150