Theorem plydivalg 26359

Description: The division algorithm on polynomials over a subfield 𝑆 of the complex numbers. If 𝐹 and 𝐺 ≠ 0 are polynomials over 𝑆, then there is a unique quotient polynomial 𝑞 such that the remainder 𝐹 − 𝐺 · 𝑞 is either zero or has degree less than 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
plydivalg	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivalg

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.pl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2		plydiv.tm	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
3		plydiv.rc	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
4		plydiv.m1	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
5		plydiv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6		plydiv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
7		plydiv.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
8		plydiv.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	plydivex 26357	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
10		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝜑)
11	10, 1	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12	10, 2	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
13	10, 3	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
14	10, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → -1 ∈ 𝑆)
15	10, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
16	10, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
17	10, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
18		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))
19		simplrr 777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
20		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
21		simplrl 776	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
22		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
23	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 8, 21, 22	plydiveu 26358	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑞 = 𝑝)
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) → (((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝))
25	24	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)∀𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝))
26		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · 𝑝))
27	26	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
28	8, 27	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
29	28	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝))
30	28	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))))
31	30	breq1d 5176	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
32	29, 31	orbi12d 917	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
33	32	reu4 3753	. 2 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)∀𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝)))
34	9, 25, 33	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ∃!wreu 3386   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  0_𝑝c0p 25723  Polycply 26243  degcdgr 26246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-0p 25724  df-ply 26247  df-coe 26249  df-dgr 26250

This theorem is referenced by:  quotlem  26360