Theorem plydivalg 26365

Description: The division algorithm on polynomials over a subfield 𝑆 of the complex numbers. If 𝐹 and 𝐺 ≠ 0 are polynomials over 𝑆, then there is a unique quotient polynomial 𝑞 such that the remainder 𝐹 − 𝐺 · 𝑞 is either zero or has degree less than 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
plydivalg	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivalg

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.pl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2		plydiv.tm	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
3		plydiv.rc	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
4		plydiv.m1	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
5		plydiv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6		plydiv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
7		plydiv.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
8		plydiv.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	plydivex 26363	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
10		simpll 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝜑)
11	10, 1	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12	10, 2	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
13	10, 3	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
14	10, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → -1 ∈ 𝑆)
15	10, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
16	10, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
17	10, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
18		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))
19		simplrr 787	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
20		simprr 782	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
21		simplrl 786	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
22		simprl 780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
23	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 8, 21, 22	plydiveu 26364	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑞 = 𝑝)
24	23	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) → (((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝))
25	24	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)∀𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝))
26		oveq2 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · 𝑝))
27	26	oveq2d 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
28	8, 27	eqtrid 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
29	28	eqeq1d 2766	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝))
30	28	fveq2d 6873	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))))
31	30	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
32	29, 31	orbi12d 929	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
33	32	reu4 3696	. 2 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)∀𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝)))
34	9, 25, 33	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ∃!wreu 3367   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∘_f cof 7660  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11218   − cmin 11416  -cneg 11417   / cdiv 11846  0_𝑝c0p 25733  Polycply 26246  degcdgr 26249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-0p 25734  df-ply 26250  df-coe 26252  df-dgr 26253

This theorem is referenced by:  quotlem  26366