Theorem plydivalg 26205

Description: The division algorithm on polynomials over a subfield 𝑆 of the complex numbers. If 𝐹 and 𝐺 ≠ 0 are polynomials over 𝑆, then there is a unique quotient polynomial 𝑞 such that the remainder 𝐹 − 𝐺 · 𝑞 is either zero or has degree less than 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
plydivalg	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivalg

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.pl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2		plydiv.tm	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
3		plydiv.rc	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
4		plydiv.m1	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
5		plydiv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6		plydiv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
7		plydiv.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
8		plydiv.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	plydivex 26203	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
10		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝜑)
11	10, 1	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12	10, 2	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
13	10, 3	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
14	10, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → -1 ∈ 𝑆)
15	10, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
16	10, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
17	10, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
18		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))
19		simplrr 777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
20		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
21		simplrl 776	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
22		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
23	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 8, 21, 22	plydiveu 26204	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑞 = 𝑝)
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) → (((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝))
25	24	ralrimivva 3172	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)∀𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝))
26		oveq2 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · 𝑝))
27	26	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
28	8, 27	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
29	28	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝))
30	28	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))))
31	30	breq1d 5102	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
32	29, 31	orbi12d 918	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
33	32	reu4 3691	. 2 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)∀𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝)))
34	9, 25, 33	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∃!wreu 3341   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11149   − cmin 11347  -cneg 11348   / cdiv 11777  0_𝑝c0p 25568  Polycply 26087  degcdgr 26090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-0p 25569  df-ply 26091  df-coe 26093  df-dgr 26094

This theorem is referenced by:  quotlem  26206