Theorem plydivalg 25659

Description: The division algorithm on polynomials over a subfield 𝑆 of the complex numbers. If 𝐹 and 𝐺 ≠ 0 are polynomials over 𝑆, then there is a unique quotient polynomial 𝑞 such that the remainder 𝐹 − 𝐺 · 𝑞 is either zero or has degree less than 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
plydivalg	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivalg

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.pl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2		plydiv.tm	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
3		plydiv.rc	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
4		plydiv.m1	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
5		plydiv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6		plydiv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
7		plydiv.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
8		plydiv.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	plydivex 25657	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
10		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝜑)
11	10, 1	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12	10, 2	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
13	10, 3	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
14	10, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → -1 ∈ 𝑆)
15	10, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
16	10, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
17	10, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
18		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))
19		simplrr 776	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
20		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
21		simplrl 775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
22		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
23	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 8, 21, 22	plydiveu 25658	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑞 = 𝑝)
24	23	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) → (((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝))
25	24	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)∀𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝))
26		oveq2 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · 𝑝))
27	26	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
28	8, 27	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
29	28	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝))
30	28	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))))
31	30	breq1d 5115	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
32	29, 31	orbi12d 917	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
33	32	reu4 3689	. 2 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)∀𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝)))
34	9, 25, 33	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  ∃!wreu 3351   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   − cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  0_𝑝c0p 25033  Polycply 25545  degcdgr 25548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-0p 25034  df-ply 25549  df-coe 25551  df-dgr 25552

This theorem is referenced by:  quotlem  25660