MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyco0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyco0 26231
Description: Two ways to say that a function on the nonnegative integers has finite support. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyco0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem plyco0
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 773 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
2 ffun 6739 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → Fun 𝐴)
32adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → Fun 𝐴)
4 peano2nn0 12566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6 eluznn0 12959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
98ssrdv 3989 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ℕ0)
10 fdm 6745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → dom 𝐴 = ℕ0)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → dom 𝐴 = ℕ0)
129, 11sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
13 funfvima2 7251 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
143, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
16 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1817peano2zd 12725 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
20 nn0z 12638 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
2120ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
22 eluz 12892 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘))
2319, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘))
24 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
2524eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ((𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴𝑘) ∈ {0}))
26 fvex 6919 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑘) ∈ V
2726elsn 4641 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) ∈ {0} ↔ (𝐴𝑘) = 0)
2825, 27bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ((𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2915, 23, 283imtr3d 293 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 → (𝐴𝑘) = 0))
3029necon3ad 2953 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘))
311, 30mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
32 nn0re 12535 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
3332ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3418zred 12722 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3534ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3633, 35ltnled 11408 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘))
3731, 36mpbird 257 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑘 < (𝑁 + 1))
3817ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 zleltp1 12668 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘𝑁𝑘 < (𝑁 + 1)))
4021, 38, 39syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑘𝑁𝑘 < (𝑁 + 1)))
4137, 40mpbird 257 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑘𝑁)
4241expr 456 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
4342ralrimiva 3146 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
44 simpr 484 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
45 eluznn0 12959 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
465, 44, 45syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
47 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4948adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
5034adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5146nn0red 12588 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
5249ltp1d 12198 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
53 eluzle 12891 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑛)
5453ad2antll 729 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑛)
5549, 50, 51, 52, 54ltletrd 11421 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑁 < 𝑛)
5649, 51ltnled 11408 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝑁 < 𝑛 ↔ ¬ 𝑛𝑁))
5755, 56mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑛𝑁)
58 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑛))
5958neeq1d 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑛) ≠ 0))
60 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝑁𝑛𝑁))
6159, 60imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ ((𝐴𝑛) ≠ 0 → 𝑛𝑁)))
62 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
6361, 62, 46rspcdva 3623 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → ((𝐴𝑛) ≠ 0 → 𝑛𝑁))
6463necon1bd 2958 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 𝑛𝑁 → (𝐴𝑛) = 0))
6557, 64mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝐴𝑛) = 0)
66 ffn 6736 . . . . . . . . 9 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
6766ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝐴 Fn ℕ0)
68 fniniseg 7080 . . . . . . . 8 (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑛 ∈ (𝐴 “ {0}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) = 0)))
6967, 68syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝑛 ∈ (𝐴 “ {0}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) = 0)))
7046, 65, 69mpbir2and 713 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (𝐴 “ {0}))
7170expr 456 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑛 ∈ (𝐴 “ {0})))
7271ssrdv 3989 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (𝐴 “ {0}))
73 funimass3 7074 . . . . . 6 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ {0} ↔ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (𝐴 “ {0})))
743, 12, 73syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ {0} ↔ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (𝐴 “ {0})))
7574adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ {0} ↔ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (𝐴 “ {0})))
7672, 75mpbird 257 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ {0})
7748ltp1d 12198 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
7848, 34ltnled 11408 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
7977, 78mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
8079adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
81 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴𝑘) = (𝐴‘(𝑁 + 1)))
8281neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴‘(𝑁 + 1)) ≠ 0))
83 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8482, 83imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ ((𝐴‘(𝑁 + 1)) ≠ 0 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
8584rspcva 3620 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ((𝐴‘(𝑁 + 1)) ≠ 0 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
865, 85sylan 580 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ((𝐴‘(𝑁 + 1)) ≠ 0 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8786necon1bd 2958 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁 → (𝐴‘(𝑁 + 1)) = 0))
8880, 87mpd 15 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) = 0)
89 uzid 12893 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
9018, 89syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
91 funfvima2 7251 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
923, 12, 91syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
9390, 92mpd 15 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9493adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9588, 94eqeltrrd 2842 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → 0 ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9695snssd 4809 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → {0} ⊆ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9776, 96eqssd 4001 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
9843, 97impbida 801 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879
This theorem is referenced by:  elply2  26235  plyeq0lem  26249  coeeulem  26263  dgrlem  26268  dgrub2  26274  dgrlb  26275  coeeq2  26281  dgrle  26282  coeaddlem  26288  coemullem  26289  coe1termlem  26297  dgreq0  26305  coecj  26318  coecjOLD  26320  basellem2  27125
  Copyright terms: Public domain W3C validator