MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyco0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyco0 25697
Description: Two ways to say that a function on the nonnegative integers has finite support. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyco0 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑁

Proof of Theorem plyco0
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)
2 ffun 6717 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ β†’ Fun 𝐴)
32adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ Fun 𝐴)
4 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
54adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
6 eluznn0 12897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
76ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0))
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0))
98ssrdv 3987 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† β„•0)
10 fdm 6723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐴 = β„•0)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ dom 𝐴 = β„•0)
129, 11sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† dom 𝐴)
13 funfvima2 7229 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐴 ∧ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† dom 𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
143, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
1514ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
16 nn0z 12579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1817peano2zd 12665 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
20 nn0z 12579 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
2120ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
22 eluz 12832 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜))
2319, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜))
24 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
2524eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ↔ (π΄β€˜π‘˜) ∈ {0}))
26 fvex 6901 . . . . . . . . . . 11 (π΄β€˜π‘˜) ∈ V
2726elsn 4642 . . . . . . . . . 10 ((π΄β€˜π‘˜) ∈ {0} ↔ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
2825, 27bitrdi 286 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ↔ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
2915, 23, 283imtr3d 292 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
3029necon3ad 2953 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜))
311, 30mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)
32 nn0re 12477 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3332ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3418zred 12662 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3534ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3633, 35ltnled 11357 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (π‘˜ < (𝑁 + 1) ↔ Β¬ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜))
3731, 36mpbird 256 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ π‘˜ < (𝑁 + 1))
3817ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
39 zleltp1 12609 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ π‘˜ < (𝑁 + 1)))
4021, 38, 39syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ π‘˜ < (𝑁 + 1)))
4137, 40mpbird 256 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)
4241expr 457 . . 3 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
4342ralrimiva 3146 . 2 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
44 simpr 485 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
45 eluznn0 12897 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
465, 44, 45syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
47 nn0re 12477 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4948adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5034adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5146nn0red 12529 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
5249ltp1d 12140 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑁 < (𝑁 + 1))
53 eluzle 12831 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 + 1) ≀ 𝑛)
5453ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑁 + 1) ≀ 𝑛)
5549, 50, 51, 52, 54ltletrd 11370 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑁 < 𝑛)
5649, 51ltnled 11357 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑁 < 𝑛 ↔ Β¬ 𝑛 ≀ 𝑁))
5755, 56mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑛 ≀ 𝑁)
58 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘›))
5958neeq1d 3000 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ (π΄β€˜π‘›) β‰  0))
60 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ 𝑛 ≀ 𝑁))
6159, 60imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ↔ ((π΄β€˜π‘›) β‰  0 β†’ 𝑛 ≀ 𝑁)))
62 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
6361, 62, 46rspcdva 3613 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ ((π΄β€˜π‘›) β‰  0 β†’ 𝑛 ≀ 𝑁))
6463necon1bd 2958 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 𝑛 ≀ 𝑁 β†’ (π΄β€˜π‘›) = 0))
6557, 64mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (π΄β€˜π‘›) = 0)
66 ffn 6714 . . . . . . . . 9 (𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ β†’ 𝐴 Fn β„•0)
6766ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝐴 Fn β„•0)
68 fniniseg 7058 . . . . . . . 8 (𝐴 Fn β„•0 β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ {0}) ↔ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘›) = 0)))
6967, 68syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ {0}) ↔ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘›) = 0)))
7046, 65, 69mpbir2and 711 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ {0}))
7170expr 457 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ 𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ {0})))
7271ssrdv 3987 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† (◑𝐴 β€œ {0}))
73 funimass3 7052 . . . . . 6 ((Fun 𝐴 ∧ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† dom 𝐴) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βŠ† {0} ↔ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† (◑𝐴 β€œ {0})))
743, 12, 73syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βŠ† {0} ↔ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† (◑𝐴 β€œ {0})))
7574adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βŠ† {0} ↔ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† (◑𝐴 β€œ {0})))
7672, 75mpbird 256 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βŠ† {0})
7748ltp1d 12140 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ 𝑁 < (𝑁 + 1))
7848, 34ltnled 11357 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ Β¬ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁))
7977, 78mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁)
8079adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁)
81 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜(𝑁 + 1)))
8281neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) β‰  0))
83 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁))
8482, 83imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ↔ ((π΄β€˜(𝑁 + 1)) β‰  0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁)))
8584rspcva 3610 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ ((π΄β€˜(𝑁 + 1)) β‰  0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁))
865, 85sylan 580 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ ((π΄β€˜(𝑁 + 1)) β‰  0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁))
8786necon1bd 2958 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (Β¬ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁 β†’ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) = 0))
8880, 87mpd 15 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) = 0)
89 uzid 12833 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ β„€ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
9018, 89syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
91 funfvima2 7229 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴 ∧ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† dom 𝐴) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
923, 12, 91syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
9390, 92mpd 15 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
9493adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
9588, 94eqeltrrd 2834 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ 0 ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
9695snssd 4811 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ {0} βŠ† (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
9776, 96eqssd 3998 . 2 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
9843, 97impbida 799 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≀ cle 11245  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819
This theorem is referenced by:  elply2  25701  plyeq0lem  25715  coeeulem  25729  dgrlem  25734  dgrub2  25740  dgrlb  25741  coeeq2  25747  dgrle  25748  coeaddlem  25754  coemullem  25755  coe1termlem  25763  dgreq0  25770  coecj  25783  basellem2  26575
  Copyright terms: Public domain W3C validator