MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyco0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyco0 25569
Description: Two ways to say that a function on the nonnegative integers has finite support. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyco0 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑁

Proof of Theorem plyco0
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 772 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)
2 ffun 6676 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ β†’ Fun 𝐴)
32adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ Fun 𝐴)
4 peano2nn0 12460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
54adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
6 eluznn0 12849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
76ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0))
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0))
98ssrdv 3955 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† β„•0)
10 fdm 6682 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐴 = β„•0)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ dom 𝐴 = β„•0)
129, 11sseqtrrd 3990 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† dom 𝐴)
13 funfvima2 7186 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐴 ∧ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† dom 𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
143, 12, 13syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
16 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1817peano2zd 12617 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
20 nn0z 12531 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
2120ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
22 eluz 12784 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜))
2319, 21, 22syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜))
24 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
2524eleq2d 2824 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ↔ (π΄β€˜π‘˜) ∈ {0}))
26 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 (π΄β€˜π‘˜) ∈ V
2726elsn 4606 . . . . . . . . . 10 ((π΄β€˜π‘˜) ∈ {0} ↔ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
2825, 27bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ↔ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
2915, 23, 283imtr3d 293 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
3029necon3ad 2957 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜))
311, 30mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)
32 nn0re 12429 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3332ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3418zred 12614 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3534ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3633, 35ltnled 11309 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (π‘˜ < (𝑁 + 1) ↔ Β¬ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜))
3731, 36mpbird 257 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ π‘˜ < (𝑁 + 1))
3817ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
39 zleltp1 12561 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ π‘˜ < (𝑁 + 1)))
4021, 38, 39syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ π‘˜ < (𝑁 + 1)))
4137, 40mpbird 257 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0)) β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)
4241expr 458 . . 3 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
4342ralrimiva 3144 . 2 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0}) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
44 simpr 486 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
45 eluznn0 12849 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
465, 44, 45syl2an 597 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
47 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4847adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4948adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5034adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5146nn0red 12481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
5249ltp1d 12092 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑁 < (𝑁 + 1))
53 eluzle 12783 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 + 1) ≀ 𝑛)
5453ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑁 + 1) ≀ 𝑛)
5549, 50, 51, 52, 54ltletrd 11322 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑁 < 𝑛)
5649, 51ltnled 11309 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑁 < 𝑛 ↔ Β¬ 𝑛 ≀ 𝑁))
5755, 56mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑛 ≀ 𝑁)
58 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘›))
5958neeq1d 3004 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ (π΄β€˜π‘›) β‰  0))
60 breq1 5113 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ 𝑛 ≀ 𝑁))
6159, 60imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ↔ ((π΄β€˜π‘›) β‰  0 β†’ 𝑛 ≀ 𝑁)))
62 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
6361, 62, 46rspcdva 3585 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ ((π΄β€˜π‘›) β‰  0 β†’ 𝑛 ≀ 𝑁))
6463necon1bd 2962 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 𝑛 ≀ 𝑁 β†’ (π΄β€˜π‘›) = 0))
6557, 64mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (π΄β€˜π‘›) = 0)
66 ffn 6673 . . . . . . . . 9 (𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ β†’ 𝐴 Fn β„•0)
6766ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝐴 Fn β„•0)
68 fniniseg 7015 . . . . . . . 8 (𝐴 Fn β„•0 β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ {0}) ↔ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘›) = 0)))
6967, 68syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ {0}) ↔ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘›) = 0)))
7046, 65, 69mpbir2and 712 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ {0}))
7170expr 458 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ 𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ {0})))
7271ssrdv 3955 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† (◑𝐴 β€œ {0}))
73 funimass3 7009 . . . . . 6 ((Fun 𝐴 ∧ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† dom 𝐴) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βŠ† {0} ↔ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† (◑𝐴 β€œ {0})))
743, 12, 73syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βŠ† {0} ↔ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† (◑𝐴 β€œ {0})))
7574adantr 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βŠ† {0} ↔ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† (◑𝐴 β€œ {0})))
7672, 75mpbird 257 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βŠ† {0})
7748ltp1d 12092 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ 𝑁 < (𝑁 + 1))
7848, 34ltnled 11309 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ Β¬ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁))
7977, 78mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁)
8079adantr 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁)
81 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜(𝑁 + 1)))
8281neeq1d 3004 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) β‰  0))
83 breq1 5113 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁))
8482, 83imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ↔ ((π΄β€˜(𝑁 + 1)) β‰  0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁)))
8584rspcva 3582 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ ((π΄β€˜(𝑁 + 1)) β‰  0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁))
865, 85sylan 581 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ ((π΄β€˜(𝑁 + 1)) β‰  0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁))
8786necon1bd 2962 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (Β¬ (𝑁 + 1) ≀ 𝑁 β†’ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) = 0))
8880, 87mpd 15 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) = 0)
89 uzid 12785 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ β„€ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
9018, 89syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
91 funfvima2 7186 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴 ∧ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† dom 𝐴) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
923, 12, 91syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
9390, 92mpd 15 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
9493adantr 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (π΄β€˜(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
9588, 94eqeltrrd 2839 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ 0 ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
9695snssd 4774 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ {0} βŠ† (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
9776, 96eqssd 3966 . 2 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
9843, 97impbida 800 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3915  {csn 4591   class class class wbr 5110  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771
This theorem is referenced by:  elply2  25573  plyeq0lem  25587  coeeulem  25601  dgrlem  25606  dgrub2  25612  dgrlb  25613  coeeq2  25619  dgrle  25620  coeaddlem  25626  coemullem  25627  coe1termlem  25635  dgreq0  25642  coecj  25655  basellem2  26447
  Copyright terms: Public domain W3C validator