MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyss 24245
Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyss ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇))

Proof of Theorem plyss
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑛 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ⊆ ℂ)
2 cnex 10269 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
3 ssexg 4964 . . . . . . . 8 ((𝑇 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
41, 2, 3sylancl 580 . . . . . . 7 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ∈ V)
5 snex 5063 . . . . . . 7 {0} ∈ V
6 unexg 7156 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ {0} ∈ V) → (𝑇 ∪ {0}) ∈ V)
74, 5, 6sylancl 580 . . . . . 6 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑇 ∪ {0}) ∈ V)
8 unss1 3943 . . . . . . 7 (𝑆𝑇 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0}))
98adantr 472 . . . . . 6 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0}))
10 mapss 8104 . . . . . 6 (((𝑇 ∪ {0}) ∈ V ∧ (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0})) → ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚0))
117, 9, 10syl2anc 579 . . . . 5 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚0))
12 ssrexv 3826 . . . . 5 (((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚0) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1413reximdv 3161 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1514ss2abdv 3834 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))} ⊆ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
16 sstr 3768 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
17 plyval 24239 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
19 plyval 24239 . . 3 (𝑇 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑇) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
2019adantl 473 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑇) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
2115, 18, 203sstr4d 3807 1 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  {cab 2750  wrex 3055  Vcvv 3349  cun 3729  wss 3731  {csn 4333  cmpt 4887  cfv 6067  (class class class)co 6841  𝑚 cmap 8059  cc 10186  0cc0 10188   · cmul 10193  0cn0 11537  ...cfz 12532  cexp 13066  Σcsu 14702  Polycply 24230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-1cn 10246  ax-addcl 10248
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-map 8061  df-nn 11274  df-n0 11538  df-ply 24234
This theorem is referenced by:  plyssc  24246  elqaa  24367  aacjcl  24372  aalioulem3  24379  itgoss  38342  cnsrplycl  38346
  Copyright terms: Public domain W3C validator