Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyss 24837
 Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyss ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇))

Proof of Theorem plyss
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑛 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ⊆ ℂ)
2 cnex 10622 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
3 ssexg 5194 . . . . . . . 8 ((𝑇 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
41, 2, 3sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ∈ V)
5 snex 5300 . . . . . . 7 {0} ∈ V
6 unexg 7462 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ {0} ∈ V) → (𝑇 ∪ {0}) ∈ V)
74, 5, 6sylancl 589 . . . . . 6 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑇 ∪ {0}) ∈ V)
8 unss1 4108 . . . . . . 7 (𝑆𝑇 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0}))
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0}))
10 mapss 8451 . . . . . 6 (((𝑇 ∪ {0}) ∈ V ∧ (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0})) → ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0))
117, 9, 10syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0))
12 ssrexv 3983 . . . . 5 (((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1413reximdv 3232 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1514ss2abdv 3992 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))} ⊆ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
16 sstr 3924 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
17 plyval 24831 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
19 plyval 24831 . . 3 (𝑇 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑇) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
2019adantl 485 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑇) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
2115, 18, 203sstr4d 3963 1 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∪ cun 3880   ⊆ wss 3882  {csn 4527   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142   ↑m cmap 8404  ℂcc 10539  0cc0 10541   · cmul 10546  ℕ0cn0 11900  ...cfz 12902  ↑cexp 13442  Σcsu 15051  Polycply 24822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-1cn 10599  ax-addcl 10601 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-map 8406  df-nn 11641  df-n0 11901  df-ply 24826 This theorem is referenced by:  plyssc  24838  elqaa  24959  aacjcl  24964  aalioulem3  24971  itgoss  40194  cnsrplycl  40198
 Copyright terms: Public domain W3C validator