MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyss 26238
Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyss ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇))

Proof of Theorem plyss
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑛 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ⊆ ℂ)
2 cnex 11236 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
3 ssexg 5323 . . . . . . . 8 ((𝑇 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
41, 2, 3sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ∈ V)
5 snex 5436 . . . . . . 7 {0} ∈ V
6 unexg 7763 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ {0} ∈ V) → (𝑇 ∪ {0}) ∈ V)
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑇 ∪ {0}) ∈ V)
8 unss1 4185 . . . . . . 7 (𝑆𝑇 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0}))
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0}))
10 mapss 8929 . . . . . 6 (((𝑇 ∪ {0}) ∈ V ∧ (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0})) → ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0))
117, 9, 10syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0))
12 ssrexv 4053 . . . . 5 (((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1413reximdv 3170 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1514ss2abdv 4066 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))} ⊆ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
16 sstr 3992 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
17 plyval 26232 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
19 plyval 26232 . . 3 (𝑇 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑇) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
2019adantl 481 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑇) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
2115, 18, 203sstr4d 4039 1 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951  {csn 4626  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  cc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160  0cn0 12526  ...cfz 13547  cexp 14102  Σcsu 15722  Polycply 26223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-map 8868  df-nn 12267  df-n0 12527  df-ply 26227
This theorem is referenced by:  plyssc  26239  elqaa  26364  aacjcl  26369  aalioulem3  26376  itgoss  43175  cnsrplycl  43179
  Copyright terms: Public domain W3C validator