MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyss 26258
Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyss ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇))

Proof of Theorem plyss
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑛 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ⊆ ℂ)
2 cnex 11265 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
3 ssexg 5341 . . . . . . . 8 ((𝑇 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
41, 2, 3sylancl 585 . . . . . . 7 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ∈ V)
5 snex 5451 . . . . . . 7 {0} ∈ V
6 unexg 7778 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ {0} ∈ V) → (𝑇 ∪ {0}) ∈ V)
74, 5, 6sylancl 585 . . . . . 6 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑇 ∪ {0}) ∈ V)
8 unss1 4208 . . . . . . 7 (𝑆𝑇 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0}))
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0}))
10 mapss 8947 . . . . . 6 (((𝑇 ∪ {0}) ∈ V ∧ (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0})) → ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0))
117, 9, 10syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0))
12 ssrexv 4078 . . . . 5 (((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1413reximdv 3176 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1514ss2abdv 4089 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))} ⊆ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
16 sstr 4017 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
17 plyval 26252 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
19 plyval 26252 . . 3 (𝑇 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑇) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
2019adantl 481 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑇) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
2115, 18, 203sstr4d 4056 1 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  {cab 2717  wrex 3076  Vcvv 3488  cun 3974  wss 3976  {csn 4648  cmpt 5249  cfv 6573  (class class class)co 7448  m cmap 8884  cc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189  0cn0 12553  ...cfz 13567  cexp 14112  Σcsu 15734  Polycply 26243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-map 8886  df-nn 12294  df-n0 12554  df-ply 26247
This theorem is referenced by:  plyssc  26259  elqaa  26382  aacjcl  26387  aalioulem3  26394  itgoss  43120  cnsrplycl  43124
  Copyright terms: Public domain W3C validator