MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyss 25558
Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyss ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇))

Proof of Theorem plyss
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑛 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ⊆ ℂ)
2 cnex 11131 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
3 ssexg 5280 . . . . . . . 8 ((𝑇 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
41, 2, 3sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ∈ V)
5 snex 5388 . . . . . . 7 {0} ∈ V
6 unexg 7682 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ {0} ∈ V) → (𝑇 ∪ {0}) ∈ V)
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑇 ∪ {0}) ∈ V)
8 unss1 4139 . . . . . . 7 (𝑆𝑇 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0}))
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0}))
10 mapss 8826 . . . . . 6 (((𝑇 ∪ {0}) ∈ V ∧ (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0})) → ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0))
117, 9, 10syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0))
12 ssrexv 4011 . . . . 5 (((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1413reximdv 3167 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1514ss2abdv 4020 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))} ⊆ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
16 sstr 3952 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
17 plyval 25552 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
19 plyval 25552 . . 3 (𝑇 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑇) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
2019adantl 482 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑇) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
2115, 18, 203sstr4d 3991 1 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wrex 3073  Vcvv 3445  cun 3908  wss 3910  {csn 4586  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7356  m cmap 8764  cc 11048  0cc0 11050   · cmul 11055  0cn0 12412  ...cfz 13423  cexp 13966  Σcsu 15569  Polycply 25543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-1cn 11108  ax-addcl 11110
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-map 8766  df-nn 12153  df-n0 12413  df-ply 25547
This theorem is referenced by:  plyssc  25559  elqaa  25680  aacjcl  25685  aalioulem3  25692  itgoss  41467  cnsrplycl  41471
  Copyright terms: Public domain W3C validator