MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plyss 25948
Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyss ((๐‘† โŠ† ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โŠ† โ„‚) โ†’ (Polyโ€˜๐‘†) โŠ† (Polyโ€˜๐‘‡))
Proof of Theorem plyss
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘Ž ๐‘› ๐‘ง ๐‘“ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐‘† โŠ† ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โŠ† โ„‚) โ†’ ๐‘‡ โŠ† โ„‚)
2 cnex 11193 . . . . . . . 8 โ„‚ โˆˆ V
3 ssexg 5322 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โŠ† โ„‚ โˆง โ„‚ โˆˆ V) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
41, 2, 3sylancl 584 . . . . . . 7 ((๐‘† โŠ† ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โŠ† โ„‚) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
5 snex 5430 . . . . . . 7 {0} โˆˆ V
6 unexg 7738 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ V โˆง {0} โˆˆ V) โ†’ (๐‘‡ โˆช {0}) โˆˆ V)
74, 5, 6sylancl 584 . . . . . 6 ((๐‘† โŠ† ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โŠ† โ„‚) โ†’ (๐‘‡ โˆช {0}) โˆˆ V)
8 unss1 4178 . . . . . . 7 (๐‘† โŠ† ๐‘‡ โ†’ (๐‘† โˆช {0}) โŠ† (๐‘‡ โˆช {0}))
98adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘† โŠ† ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โŠ† โ„‚) โ†’ (๐‘† โˆช {0}) โŠ† (๐‘‡ โˆช {0}))
10 mapss 8885 . . . . . 6 (((๐‘‡ โˆช {0}) โˆˆ V โˆง (๐‘† โˆช {0}) โŠ† (๐‘‡ โˆช {0})) โ†’ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โŠ† ((๐‘‡ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))
117, 9, 10syl2anc 582 . . . . 5 ((๐‘† โŠ† ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โŠ† โ„‚) โ†’ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โŠ† ((๐‘‡ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))
12 ssrexv 4050 . . . . 5 (((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โŠ† ((๐‘‡ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘‡ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((๐‘† โŠ† ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โŠ† โ„‚) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘‡ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
1413reximdv 3168 . . 3 ((๐‘† โŠ† ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โŠ† โ„‚) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘‡ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
1514ss2abdv 4059 . 2 ((๐‘† โŠ† ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โŠ† โ„‚) โ†’ {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))} โŠ† {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘‡ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))})
16 sstr 3989 . . 3 ((๐‘† โŠ† ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โŠ† โ„‚) โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
17 plyval 25942 . . 3 (๐‘† โŠ† โ„‚ โ†’ (Polyโ€˜๐‘†) = {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))})
1816, 17syl 17 . 2 ((๐‘† โŠ† ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โŠ† โ„‚) โ†’ (Polyโ€˜๐‘†) = {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))})
19 plyval 25942 . . 3 (๐‘‡ โŠ† โ„‚ โ†’ (Polyโ€˜๐‘‡) = {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘‡ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))})
2019adantl 480 . 2 ((๐‘† โŠ† ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โŠ† โ„‚) โ†’ (Polyโ€˜๐‘‡) = {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘‡ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))})
2115, 18, 203sstr4d 4028 1 ((๐‘† โŠ† ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โŠ† โ„‚) โ†’ (Polyโ€˜๐‘†) โŠ† (Polyโ€˜๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  {cab 2707  โˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   โˆช cun 3945   โŠ† wss 3947  {csn 4627   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โ†‘m cmap 8822  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   ยท cmul 11117  โ„•0cn0 12476  ...cfz 13488  โ†‘cexp 14031  ฮฃcsu 15636  Polycply 25933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-map 8824  df-nn 12217  df-n0 12477  df-ply 25937
This theorem is referenced by:  plyssc  25949  elqaa  26071  aacjcl  26076  aalioulem3  26083  itgoss  42207  cnsrplycl  42211
  Copyright terms: Public domain W3C validator