Theorem pmapojoinN 40475

Description: For orthogonal elements, projective map of join equals projective sum. Compare pmapjoin 40359 where only one direction holds. (Contributed by NM, 11-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapojoin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapojoin.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pmapojoin.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapojoin.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapojoin.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pmapojoin.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapojoinN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))

Proof of Theorem pmapojoinN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapojoin.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pmapojoin.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		pmapojoin.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4		pmapojoin.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmapj2N 40436	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
7	6	adantr 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
8		simpl1 1199	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9		simpl2 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (PSubCl‘𝐾) = (PSubCl‘𝐾)
11	1, 3, 10	pmapsubclN 40453	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
12	8, 9, 11	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
13		simpl3 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 3, 10	pmapsubclN 40453	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
15	8, 13, 14	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
16		hlop 39869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
17	16	3ad2ant1 1140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18		simp3 1145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		pmapojoin.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
20	1, 19	opoccl 39701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
21	17, 18, 20	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
22		pmapojoin.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
23	1, 22, 3	pmaple 40268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌))))
24	21, 23	syld3an3 1418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌))))
25	24	biimpa 478	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
26	1, 19, 3, 5	polpmapN 40419	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
27	8, 13, 26	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
28	25, 27	sseqtrrd 3954	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)))
29	4, 5, 10	osumclN 40474	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾) ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾)) ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌))) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
30	8, 12, 15, 28, 29	syl31anc 1382	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
31	5, 10	psubcli2N 40446	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))
32	8, 30, 31	syl2anc 591	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))
33	7, 32	eqtrd 2776	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  lecple 17222  occoc 17223  joincjn 18272  OPcops 39679  HLchlt 39857  pmapcpmap 40004  +_𝑃cpadd 40302  ⊥_𝑃cpolN 40409  PSubClcpscN 40441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39683  df-ol 39685  df-oml 39686  df-covers 39773  df-ats 39774  df-atl 39805  df-cvlat 39829  df-hlat 39858  df-psubsp 40010  df-pmap 40011  df-padd 40303  df-polarityN 40410  df-psubclN 40442

This theorem is referenced by:  pl42lem1N  40486