Theorem pmapojoinN 39143

Description: For orthogonal elements, projective map of join equals projective sum. Compare pmapjoin 39027 where only one direction holds. (Contributed by NM, 11-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapojoin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapojoin.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pmapojoin.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapojoin.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapojoin.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pmapojoin.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapojoinN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))

Proof of Theorem pmapojoinN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapojoin.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pmapojoin.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		pmapojoin.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4		pmapojoin.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmapj2N 39104	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
8		simpl1 1190	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9		simpl2 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (PSubCl‘𝐾) = (PSubCl‘𝐾)
11	1, 3, 10	pmapsubclN 39121	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
12	8, 9, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
13		simpl3 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 3, 10	pmapsubclN 39121	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
15	8, 13, 14	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
16		hlop 38536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
17	16	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		pmapojoin.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
20	1, 19	opoccl 38368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
21	17, 18, 20	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
22		pmapojoin.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
23	1, 22, 3	pmaple 38936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌))))
24	21, 23	syld3an3 1408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌))))
25	24	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
26	1, 19, 3, 5	polpmapN 39087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
27	8, 13, 26	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
28	25, 27	sseqtrrd 4024	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)))
29	4, 5, 10	osumclN 39142	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾) ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾)) ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌))) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
30	8, 12, 15, 28, 29	syl31anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
31	5, 10	psubcli2N 39114	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))
32	8, 30, 31	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))
33	7, 32	eqtrd 2771	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  occoc 17210  joincjn 18269  OPcops 38346  HLchlt 38524  pmapcpmap 38672  +_𝑃cpadd 38970  ⊥_𝑃cpolN 39077  PSubClcpscN 39109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-polarityN 39078  df-psubclN 39110

This theorem is referenced by:  pl42lem1N  39154