Theorem pmapojoinN 41162

Description: For orthogonal elements, projective map of join equals projective sum. Compare pmapjoin 41046 where only one direction holds. (Contributed by NM, 11-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapojoin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapojoin.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pmapojoin.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapojoin.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapojoin.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pmapojoin.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapojoinN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))

Proof of Theorem pmapojoinN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapojoin.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pmapojoin.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		pmapojoin.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4		pmapojoin.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmapj2N 41123	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
7	6	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
8		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (PSubCl‘𝐾) = (PSubCl‘𝐾)
11	1, 3, 10	pmapsubclN 41140	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
12	8, 9, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
13		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 3, 10	pmapsubclN 41140	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
15	8, 13, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
16		hlop 40556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		pmapojoin.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
20	1, 19	opoccl 40388	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
21	17, 18, 20	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
22		pmapojoin.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
23	1, 22, 3	pmaple 40955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌))))
24	21, 23	syld3an3 1436	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌))))
25	24	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
26	1, 19, 3, 5	polpmapN 41106	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
27	8, 13, 26	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
28	25, 27	sseqtrrd 3946	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)))
29	4, 5, 10	osumclN 41161	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾) ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾)) ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌))) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
30	8, 12, 15, 28, 29	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
31	5, 10	psubcli2N 41133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))
32	8, 30, 31	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))
33	7, 32	eqtrd 2795	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  lecple 17444  occoc 17445  joincjn 18494  OPcops 40366  HLchlt 40544  pmapcpmap 40691  +_𝑃cpadd 40989  ⊥_𝑃cpolN 41096  PSubClcpscN 41128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-proset 18477  df-poset 18496  df-plt 18511  df-lub 18527  df-glb 18528  df-join 18529  df-meet 18530  df-p0 18606  df-p1 18607  df-lat 18615  df-clat 18682  df-oposet 40370  df-ol 40372  df-oml 40373  df-covers 40460  df-ats 40461  df-atl 40492  df-cvlat 40516  df-hlat 40545  df-psubsp 40697  df-pmap 40698  df-padd 40990  df-polarityN 41097  df-psubclN 41129

This theorem is used by:  pl42lem1N  41173