Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapojoinN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapojoinN 39951
Description: For orthogonal elements, projective map of join equals projective sum. Compare pmapjoin 39835 where only one direction holds. (Contributed by NM, 11-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapojoin.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapojoin.l = (le‘𝐾)
pmapojoin.j = (join‘𝐾)
pmapojoin.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapojoin.o = (oc‘𝐾)
pmapojoin.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapojoinN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))

Proof of Theorem pmapojoinN
StepHypRef Expression
1 pmapojoin.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 pmapojoin.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 pmapojoin.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4 pmapojoin.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
5 eqid 2735 . . . 4 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5pmapj2N 39912 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
76adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
8 simpl1 1190 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → 𝑋𝐵)
10 eqid 2735 . . . . . 6 (PSubCl‘𝐾) = (PSubCl‘𝐾)
111, 3, 10pmapsubclN 39929 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
128, 9, 11syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
13 simpl3 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → 𝑌𝐵)
141, 3, 10pmapsubclN 39929 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
158, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
16 hlop 39344 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
17163ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
19 pmapojoin.o . . . . . . . . 9 = (oc‘𝐾)
201, 19opoccl 39176 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
2117, 18, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
22 pmapojoin.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
231, 22, 3pmaple 39744 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ( 𝑌) ↔ (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘( 𝑌))))
2421, 23syld3an3 1408 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ( 𝑌) ↔ (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘( 𝑌))))
2524biimpa 476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘( 𝑌)))
261, 19, 3, 5polpmapN 39895 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘( 𝑌)))
278, 13, 26syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘( 𝑌)))
2825, 27sseqtrrd 4037 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑋) ⊆ ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌)))
294, 5, 10osumclN 39950 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾) ∧ (𝑀𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾)) ∧ (𝑀𝑋) ⊆ ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌))) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
308, 12, 15, 28, 29syl31anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
315, 10psubcli2N 39922 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾)) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))
328, 30, 31syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))
337, 32eqtrd 2775 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  occoc 17306  joincjn 18369  OPcops 39154  HLchlt 39332  pmapcpmap 39480  +𝑃cpadd 39778  𝑃cpolN 39885  PSubClcpscN 39917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-polarityN 39886  df-psubclN 39918
This theorem is referenced by:  pl42lem1N  39962
  Copyright terms: Public domain W3C validator