Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapojoinN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapojoinN 35856
Description: For orthogonal elements, projective map of join equals projective sum. Compare pmapjoin 35740 where only one direction holds. (Contributed by NM, 11-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapojoin.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapojoin.l = (le‘𝐾)
pmapojoin.j = (join‘𝐾)
pmapojoin.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapojoin.o = (oc‘𝐾)
pmapojoin.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapojoinN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))

Proof of Theorem pmapojoinN
StepHypRef Expression
1 pmapojoin.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 pmapojoin.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 pmapojoin.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4 pmapojoin.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
5 eqid 2764 . . . 4 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5pmapj2N 35817 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
76adantr 472 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
8 simpl1 1242 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9 simpl2 1244 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → 𝑋𝐵)
10 eqid 2764 . . . . . 6 (PSubCl‘𝐾) = (PSubCl‘𝐾)
111, 3, 10pmapsubclN 35834 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
128, 9, 11syl2anc 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
13 simpl3 1246 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → 𝑌𝐵)
141, 3, 10pmapsubclN 35834 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
158, 13, 14syl2anc 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
16 hlop 35250 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
17163ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18 simp3 1168 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
19 pmapojoin.o . . . . . . . . 9 = (oc‘𝐾)
201, 19opoccl 35082 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
2117, 18, 20syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
22 pmapojoin.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
231, 22, 3pmaple 35649 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ( 𝑌) ↔ (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘( 𝑌))))
2421, 23syld3an3 1528 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ( 𝑌) ↔ (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘( 𝑌))))
2524biimpa 468 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘( 𝑌)))
261, 19, 3, 5polpmapN 35800 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘( 𝑌)))
278, 13, 26syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘( 𝑌)))
2825, 27sseqtr4d 3801 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑋) ⊆ ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌)))
294, 5, 10osumclN 35855 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾) ∧ (𝑀𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾)) ∧ (𝑀𝑋) ⊆ ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌))) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
308, 12, 15, 28, 29syl31anc 1492 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
315, 10psubcli2N 35827 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾)) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))
328, 30, 31syl2anc 579 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))
337, 32eqtrd 2798 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wss 3731   class class class wbr 4808  cfv 6067  (class class class)co 6841  Basecbs 16131  lecple 16222  occoc 16223  joincjn 17211  OPcops 35060  HLchlt 35238  pmapcpmap 35385  +𝑃cpadd 35683  𝑃cpolN 35790  PSubClcpscN 35822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-riotaBAD 34841
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-undef 7601  df-proset 17195  df-poset 17213  df-plt 17225  df-lub 17241  df-glb 17242  df-join 17243  df-meet 17244  df-p0 17306  df-p1 17307  df-lat 17313  df-clat 17375  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-psubsp 35391  df-pmap 35392  df-padd 35684  df-polarityN 35791  df-psubclN 35823
This theorem is referenced by:  pl42lem1N  35867
  Copyright terms: Public domain W3C validator