Theorem pmapojoinN 38504

Description: For orthogonal elements, projective map of join equals projective sum. Compare pmapjoin 38388 where only one direction holds. (Contributed by NM, 11-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapojoin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapojoin.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pmapojoin.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapojoin.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapojoin.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pmapojoin.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapojoinN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))

Proof of Theorem pmapojoinN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapojoin.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pmapojoin.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		pmapojoin.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4		pmapojoin.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmapj2N 38465	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
7	6	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
8		simpl1 1191	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (PSubCl‘𝐾) = (PSubCl‘𝐾)
11	1, 3, 10	pmapsubclN 38482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
12	8, 9, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
13		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 3, 10	pmapsubclN 38482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
15	8, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
16		hlop 37897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		pmapojoin.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
20	1, 19	opoccl 37729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
21	17, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
22		pmapojoin.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
23	1, 22, 3	pmaple 38297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌))))
24	21, 23	syld3an3 1409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌))))
25	24	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
26	1, 19, 3, 5	polpmapN 38448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
27	8, 13, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
28	25, 27	sseqtrrd 3988	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)))
29	4, 5, 10	osumclN 38503	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾) ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾)) ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌))) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
30	8, 12, 15, 28, 29	syl31anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
31	5, 10	psubcli2N 38475	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))
32	8, 30, 31	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))
33	7, 32	eqtrd 2771	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17094  lecple 17154  occoc 17155  joincjn 18214  OPcops 37707  HLchlt 37885  pmapcpmap 38033  +_𝑃cpadd 38331  ⊥_𝑃cpolN 38438  PSubClcpscN 38470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-proset 18198  df-poset 18216  df-plt 18233  df-lub 18249  df-glb 18250  df-join 18251  df-meet 18252  df-p0 18328  df-p1 18329  df-lat 18335  df-clat 18402  df-oposet 37711  df-ol 37713  df-oml 37714  df-covers 37801  df-ats 37802  df-atl 37833  df-cvlat 37857  df-hlat 37886  df-psubsp 38039  df-pmap 38040  df-padd 38332  df-polarityN 38439  df-psubclN 38471

This theorem is referenced by:  pl42lem1N  38515