Theorem pmapojoinN 39627

Description: For orthogonal elements, projective map of join equals projective sum. Compare pmapjoin 39511 where only one direction holds. (Contributed by NM, 11-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapojoin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapojoin.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pmapojoin.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapojoin.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapojoin.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pmapojoin.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapojoinN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))

Proof of Theorem pmapojoinN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapojoin.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pmapojoin.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		pmapojoin.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4		pmapojoin.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmapj2N 39588	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
7	6	adantr 479	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
8		simpl1 1188	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (PSubCl‘𝐾) = (PSubCl‘𝐾)
11	1, 3, 10	pmapsubclN 39605	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
12	8, 9, 11	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
13		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 3, 10	pmapsubclN 39605	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
15	8, 13, 14	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
16		hlop 39020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
17	16	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18		simp3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		pmapojoin.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
20	1, 19	opoccl 38852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
21	17, 18, 20	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
22		pmapojoin.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
23	1, 22, 3	pmaple 39420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌))))
24	21, 23	syld3an3 1406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌))))
25	24	biimpa 475	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
26	1, 19, 3, 5	polpmapN 39571	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
27	8, 13, 26	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑌)))
28	25, 27	sseqtrrd 4020	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌)))
29	4, 5, 10	osumclN 39626	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾) ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾)) ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑌))) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
30	8, 12, 15, 28, 29	syl31anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
31	5, 10	psubcli2N 39598	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))
32	8, 30, 31	syl2anc 582	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))
33	7, 32	eqtrd 2765	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  Basecbs 17208  lecple 17268  occoc 17269  joincjn 18331  OPcops 38830  HLchlt 39008  pmapcpmap 39156  +_𝑃cpadd 39454  ⊥_𝑃cpolN 39561  PSubClcpscN 39593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-proset 18315  df-poset 18333  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-p1 18446  df-lat 18452  df-clat 18519  df-oposet 38834  df-ol 38836  df-oml 38837  df-covers 38924  df-ats 38925  df-atl 38956  df-cvlat 38980  df-hlat 39009  df-psubsp 39162  df-pmap 39163  df-padd 39455  df-polarityN 39562  df-psubclN 39594

This theorem is referenced by:  pl42lem1N  39638