Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapojoinN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapojoinN 39970
Description: For orthogonal elements, projective map of join equals projective sum. Compare pmapjoin 39854 where only one direction holds. (Contributed by NM, 11-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapojoin.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapojoin.l = (le‘𝐾)
pmapojoin.j = (join‘𝐾)
pmapojoin.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapojoin.o = (oc‘𝐾)
pmapojoin.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapojoinN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))

Proof of Theorem pmapojoinN
StepHypRef Expression
1 pmapojoin.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 pmapojoin.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 pmapojoin.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4 pmapojoin.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
5 eqid 2737 . . . 4 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5pmapj2N 39931 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
76adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
8 simpl1 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → 𝑋𝐵)
10 eqid 2737 . . . . . 6 (PSubCl‘𝐾) = (PSubCl‘𝐾)
111, 3, 10pmapsubclN 39948 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
128, 9, 11syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
13 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → 𝑌𝐵)
141, 3, 10pmapsubclN 39948 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
158, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
16 hlop 39363 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
17163ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
19 pmapojoin.o . . . . . . . . 9 = (oc‘𝐾)
201, 19opoccl 39195 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
2117, 18, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
22 pmapojoin.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
231, 22, 3pmaple 39763 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ( 𝑌) ↔ (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘( 𝑌))))
2421, 23syld3an3 1411 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ( 𝑌) ↔ (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘( 𝑌))))
2524biimpa 476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘( 𝑌)))
261, 19, 3, 5polpmapN 39914 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘( 𝑌)))
278, 13, 26syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘( 𝑌)))
2825, 27sseqtrrd 4021 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑋) ⊆ ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌)))
294, 5, 10osumclN 39969 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾) ∧ (𝑀𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾)) ∧ (𝑀𝑋) ⊆ ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌))) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
308, 12, 15, 28, 29syl31anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
315, 10psubcli2N 39941 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾)) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))
328, 30, 31syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))
337, 32eqtrd 2777 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  occoc 17305  joincjn 18357  OPcops 39173  HLchlt 39351  pmapcpmap 39499  +𝑃cpadd 39797  𝑃cpolN 39904  PSubClcpscN 39936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-polarityN 39905  df-psubclN 39937
This theorem is referenced by:  pl42lem1N  39981
  Copyright terms: Public domain W3C validator