MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdvlem2 26486
Description: Lemma for pserdv 26487. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdvlem2 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdvlem2
Dummy variables 𝑚 𝑠 𝑤 𝑧 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12917 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 cnelprrecn 11245 . . 3 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 0zd 12622 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℤ)
5 fzfid 14010 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑘) ∈ Fin)
6 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
7 pserf.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
87ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9 pserdv.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
10 cnxmet 24808 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
11 0cnd 11251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℂ)
12 pserf.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
13 pserf.r . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
14 psercn.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
15 psercn.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
166, 12, 7, 13, 14, 15pserdvlem1 26485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
1716simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
1817rpxrd 13075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
19 blssm 24443 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
2010, 11, 18, 19mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
219, 20eqsstrid 4043 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
2322sselda 3994 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
246, 8, 23psergf 26469 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
25 elfznn0 13656 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝑘) → 𝑖 ∈ ℕ0)
26 ffvelcdm 7100 . . . . . . 7 (((𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
2724, 25, 26syl2an 596 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
285, 27fsumcl 15765 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
2928fmpttd 7134 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
30 cnex 11233 . . . . 5 ℂ ∈ V
319ovexi 7464 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3230, 31elmap 8909 . . . 4 ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
3329, 32sylibr 234 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
3433fmpttd 7134 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
356, 12, 7, 13, 14, 15psercn 26484 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ))
36 cncff 24932 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
3735, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
3837adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
396, 12, 7, 13, 14, 16psercnlem2 26482 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
4039simp2d 1142 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
419, 40eqsstrid 4043 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
4239simp3d 1143 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆)
4341, 42sstrd 4005 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵𝑆)
4438, 43fssresd 6775 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
45 0zd 12622 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 0 ∈ ℤ)
46 eqidd 2735 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑗) = ((𝐺𝑧)‘𝑗))
477ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4821sselda 3994 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℂ)
496, 47, 48psergf 26469 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ)
5049ffvelcdmda 7103 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑗) ∈ ℂ)
5148abscld 15471 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
5251rexrd 11308 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ*)
5318adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
54 iccssxr 13466 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
556, 7, 13radcnvcl 26474 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
5654, 55sselid 3992 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
5756ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑅 ∈ ℝ*)
58 0cn 11250 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
59 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
6059cnmetdval 24806 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
6148, 58, 60sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
6248subid1d 11606 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
6362fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘(𝑧 − 0)) = (abs‘𝑧))
6461, 63eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑧))
65 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
6665, 9eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
6710a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
68 0cnd 11251 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 0 ∈ ℂ)
69 elbl3 24417 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
7067, 53, 68, 48, 69syl22anc 839 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
7166, 70mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
7264, 71eqbrtrrd 5171 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
7316simp3d 1143 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
7473adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
7552, 53, 57, 72, 74xrlttrd 13197 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) < 𝑅)
766, 47, 13, 48, 75radcnvlt2 26476 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ∈ dom ⇝ )
771, 45, 46, 50, 76isumclim2 15790 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ⇝ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
7843sselda 3994 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝑆)
79 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
8079fveq1d 6908 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦)‘𝑗) = ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8180sumeq2sdv 15735 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
82 sumex 15720 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗) ∈ V
8381, 12, 82fvmpt 7015 . . . . 5 (𝑧𝑆 → (𝐹𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8478, 83syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8577, 84breqtrrd 5175 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ⇝ (𝐹𝑧))
86 oveq2 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (0...𝑘) = (0...𝑚))
8786sumeq1d 15732 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))
8887mpteq2dv 5249 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
89 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9031mptex 7242 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ V
9188, 89, 90fvmpt 7015 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9291adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9392fveq1d 6908 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧))
9479fveq1d 6908 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐺𝑧)‘𝑖))
9594sumeq2sdv 15735 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
96 eqid 2734 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))
97 sumex 15720 . . . . . . . 8 Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ V
9895, 96, 97fvmpt 7015 . . . . . . 7 (𝑧𝐵 → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
9998ad2antlr 727 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
100 eqidd 2735 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) = ((𝐺𝑧)‘𝑖))
101 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
102101, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
10349adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ)
104 elfznn0 13656 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
105 ffvelcdm 7100 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
106103, 104, 105syl2an 596 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
107100, 102, 106fsumser 15762 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖) = (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
10893, 99, 1073eqtrd 2778 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
109108mpteq2dva 5247 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚)))
110 0z 12621 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
111 seqfn 14050 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0))
112110, 111ax-mp 5 . . . . . 6 seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0)
1131fneq2i 6666 . . . . . 6 (seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0))
114112, 113mpbir 231 . . . . 5 seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0
115 dffn5 6966 . . . . 5 (seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚)))
116114, 115mpbi 230 . . . 4 seq0( + , (𝐺𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
117109, 116eqtr4di 2792 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = seq0( + , (𝐺𝑧)))
118 fvres 6925 . . . 4 (𝑧𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
119118adantl 481 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
12085, 117, 1193brtr4d 5179 . 2 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) ⇝ ((𝐹𝐵)‘𝑧))
12191adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
122121oveq2d 7446 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))))
123 eqid 2734 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
124123cnfldtopon 24818 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
125124toponrestid 22942 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
1262a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
127123cnfldtopn 24817 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
128127blopn 24528 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
12910, 11, 18, 128mp3an2i 1465 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
1309, 129eqeltrid 2842 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
131130adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
132 fzfid 14010 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (0...𝑚) ∈ Fin)
1337ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1341333ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13521adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
136135sselda 3994 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
1371363adant2 1130 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
1386, 134, 137psergf 26469 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
1391043ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
140138, 139ffvelcdmd 7104 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
1412a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
142 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
143133, 104, 142syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
144143adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
145136adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
146 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
147104adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
148 expcl 14116 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
149146, 147, 148syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
150145, 149syldan 591 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
151144, 150mulcld 11278 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
152 ovexd 7465 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ V)
153 c0ex 11252 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
154 ovex 7463 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ V
155153, 154ifex 4580 . . . . . . . . . 10 if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V
156155a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
157155a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
158 dvexp2 26006 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
159147, 158syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
16021ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
161130ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
162141, 149, 157, 159, 160, 125, 123, 161dvmptres 26015 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
163141, 150, 156, 162, 143dvmptcmul 26016 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
164141, 151, 152, 163dvmptcl 26011 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
1651643impa 1109 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
166104ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
1676pserval2 26468 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
168145, 166, 167syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
169168mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
170169oveq2d 7446 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))))
171170, 163eqtrd 2774 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
172125, 123, 126, 131, 132, 140, 165, 171dvmptfsum 26027 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
173122, 172eqtrd 2774 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
174173mpteq2dva 5247 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
175 nnssnn0 12526 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ0
176 resmpt 6056 . . . . . 6 (ℕ ⊆ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
177175, 176ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
178 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑖) = (𝑥𝑖))
179178oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖)))
180179mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))))
181 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 + 1) = (𝑛 + 1))
182 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
183181, 182oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
184 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → (𝑥𝑖) = (𝑥𝑛))
185183, 184oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
186185cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
187 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
188 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑚 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
189187, 188oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
190 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
191 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) ∈ V
192189, 190, 191fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
193192oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
194193mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
195186, 194eqtr4i 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛)))
196180, 195eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))))
197196cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))))
198 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))
199198fveq1d 6908 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
200199sumeq2sdv 15735 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
201200cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑧𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
202 peano2nn0 12563 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
203202adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
204203nn0cnd 12586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
205133, 203ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
206204, 205mulcld 11278 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
207206fmpttd 7134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))):ℕ0⟶ℂ)
208 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑗 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗))
209208seqeq3d 14046 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑗 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)))
210209eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑗 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ ))
211210cbvrabv 3443 . . . . . . . . 9 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }
212211supeq1i 9484 . . . . . . . 8 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
213198seqeq3d 14046 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)))
214213fveq1d 6908 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
215214cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
216 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚))
217216mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
218215, 217eqtrid 2786 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
219218cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
22017rpred 13074 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ)
2216, 12, 7, 13, 14, 15psercnlem1 26483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
222221simp1d 1141 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
223222rpxrd 13075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
224197, 207, 212radcnvcl 26474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
22554, 224sselid 3992 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
226221simp2d 1142 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
227 cnvimass 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
228 absf 15372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs:ℂ⟶ℝ
229228fdmi 6747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom abs = ℂ
230227, 229sseqtri 4031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
23114, 230eqsstri 4029 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 ⊆ ℂ
232231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
233232sselda 3994 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
234233abscld 15471 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
235222rpred 13074 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
236 avglt2 12502 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
237234, 235, 236syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
238226, 237mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀)
239222rpge0d 13078 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ 𝑀)
240235, 239absidd 15457 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
241222rpcnd 13076 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℂ)
242 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑀 → (𝑤𝑖) = (𝑀𝑖))
243242oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑀 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))
244243mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑀 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
245 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑤 → (𝑎𝑖) = (𝑤𝑖))
246245oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑤 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖)))
247246mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑤 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))))
248247cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))))
249 nn0ex 12529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
250249mptex 7242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))) ∈ V
251244, 248, 250fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
252241, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
253252seqeq3d 14046 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀)) = seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))))
254 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑖))
255 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑖))
256254, 255oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)))
257256cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)))
258 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑖) = (𝑦𝑖))
259258oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
260259mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
261257, 260eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
262261cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
2636, 262eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
264 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑠 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑠))
265264seqeq3d 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑠 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑠)))
266265eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑠 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ))
267266cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }
268267supeq1i 9484 . . . . . . . . . . . . . 14 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
26913, 268eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
270 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))
2717adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
272221simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
273240, 272eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) < 𝑅)
274263, 269, 270, 271, 241, 273dvradcnv 26478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
275253, 274eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀)) ∈ dom ⇝ )
276197, 207, 212, 241, 275radcnvle 26477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
277240, 276eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
27818, 223, 225, 238, 277xrltletrd 13199 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
279197, 201, 207, 212, 219, 220, 278, 41pserulm 26479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)))
28021sselda 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
281 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑖) = (𝑦𝑖))
282281oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))
283282mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
284 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))
285249mptex 7242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))) ∈ V
286283, 284, 285fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
287280, 286syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
288287adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
289288fveq1d 6908 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘))
290 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 + 1) = (𝑘 + 1))
291 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
292290, 291oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
293 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝑦𝑖) = (𝑦𝑘))
294292, 293oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
295 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))
296 ovex 7463 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V
297294, 295, 296fvmpt 7015 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
298297adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
299289, 298eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
300299sumeq2dv 15734 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
301300mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
302279, 301breqtrd 5173 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
303 nnuz 12918 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
304 1e0p1 12772 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
305304fveq2i 6909 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
306303, 305eqtri 2762 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
307 1zzd 12645 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 1 ∈ ℤ)
308 0zd 12622 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 0 ∈ ℤ)
309 peano2nn0 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
310309nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
311310adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
3127ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
313 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
314312, 309, 313syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
315311, 314mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
316280, 148sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
317315, 316mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
318287, 317fmpt3d 7135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
319318ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑚) ∈ ℂ)
3201, 308, 319serf 14067 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)):ℕ0⟶ℂ)
321320ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
322321an32s 652 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
323322fmpttd 7134 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
32430, 31elmap 8909 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
325323, 324sylibr 234 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
326325fmpttd 7134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
327 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ)
328327nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ≠ 0)
329328neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ¬ 𝑖 = 0)
330329iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
331330oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
332331sumeq2i 15730 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
333 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 1 ∈ ℤ)
334 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
335334ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑚 ∈ ℤ)
336271ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
337327nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
338336, 337, 142syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
339327adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ)
340339nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℂ)
341280adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
342 nnm1nn0 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
343327, 342syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
344 expcl 14116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑖 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
345341, 343, 344syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
346340, 345mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ ℂ)
347338, 346mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ ℂ)
348 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑖) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
349 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
350 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
351350oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) = (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))
352349, 351oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
353348, 352oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
354333, 333, 335, 347, 353fsumshftm 15813 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
355332, 354eqtrid 2786 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
356 fz1ssfz0 13659 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚)
357356a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
358331adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
359358, 347eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
360 eldif 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) ↔ (𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
361 elfzuz2 13565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
362 elfzp12 13639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ (ℤ‘0) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
363361, 362syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
364363ibi 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
365364ord 864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 = 0 → 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
366365con1d 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚) → 𝑖 = 0))
367366imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
368360, 367sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
369304oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...𝑚) = ((0 + 1)...𝑚)
370369difeq2i 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) = ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚))
371368, 370eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 = 0)
372371adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → 𝑖 = 0)
373372iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = 0)
374373oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · 0))
375 eldifi 4140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ (0...𝑚))
376375, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
377336, 376, 142syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
378377mul01d 11457 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · 0) = 0)
379374, 378eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = 0)
380 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
381357, 359, 379, 380fsumss 15757 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
382 1m1e0 12335 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 1) = 0
383382oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 1)...(𝑚 − 1)) = (0...(𝑚 − 1))
384383sumeq1i 15729 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
385 elfznn0 13656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
386385adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
387386, 297syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
388341adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
389388, 286syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
390389fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘))
391336adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
392 peano2nn0 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
393386, 392syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
394391, 393ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
395393nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
396 expcl 14116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
397341, 385, 396syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
398394, 395, 397mul12d 11467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘))) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦𝑘))))
399386nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
400 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
401 pncan 11511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
402399, 400, 401sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
403402oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑦𝑘))
404403oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘)))
405404oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘))))
406395, 394, 397mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦𝑘))))
407398, 405, 4063eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
408387, 390, 4073eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
409 nnm1nn0 12564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
410409adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
411410adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
412411, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ (ℤ‘0))
413403, 397eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) ∈ ℂ)
414395, 413mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℂ)
415394, 414mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) ∈ ℂ)
416408, 412, 415fsumser 15762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
417384, 416eqtrid 2786 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
418355, 381, 4173eqtr3d 2782 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
419418mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
420 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑚 − 1) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
421420mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑚 − 1) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
422 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))
42331mptex 7242 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))) ∈ V
424421, 422, 423fvmpt 7015 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
425410, 424syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
426419, 425eqtr4d 2777 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)))
427426mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1))))
4281, 306, 4, 307, 326, 427ulmshft 26447 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))))
429302, 428mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
430177, 429eqbrtrid 5182 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
431 1nn0 12539 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
432431a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 1 ∈ ℕ0)
433 fzfid 14010 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
434164an32s 652 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
435433, 434fsumcl 15765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
436435fmpttd 7134 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
43730, 31elmap 8909 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
438436, 437sylibr 234 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
439438fmpttd 7134 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
4401, 303, 432, 439ulmres 26445 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) ↔ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))))
441430, 440mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
442174, 441eqbrtrd 5169 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
4431, 3, 4, 34, 44, 120, 442ulmdv 26460 1 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  Vcvv 3477  cdif 3959  wss 3962  ifcif 4530  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  dom cdm 5688  cres 5690  cima 5691  ccom 5692   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  supcsup 9477  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  ...cfz 13543  seqcseq 14038  cexp 14098  abscabs 15269  cli 15516  Σcsu 15718  TopOpenctopn 17467  ∞Metcxmet 21366  ballcbl 21368  fldccnfld 21381  cnccncf 24915   D cdv 25912  𝑢culm 26433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ulm 26434
This theorem is referenced by:  pserdv  26487
  Copyright terms: Public domain W3C validator