Theorem pserdvlem2 26406

Description: Lemma for pserdv 26407. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s	⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m	⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b	⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))

Assertion

Ref	Expression
pserdvlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdvlem2

Dummy variables 𝑚 𝑠 𝑤 𝑧 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12817	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		cnelprrecn 11122	. . 3 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4		0zd 12527	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
5		fzfid 13926	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0...𝑘) ∈ Fin)
6		pserf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
7		pserf.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
8	7	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9		pserdv.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
10		cnxmet 24747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
11		0cnd 11128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℂ)
12		pserf.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
13		pserf.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
14		psercn.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
15		psercn.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
16	6, 12, 7, 13, 14, 15	pserdvlem1 26405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
17	16	simp1d 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
18	17	rpxrd 12978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
19		blssm 24393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
20	10, 11, 18, 19	mp3an2i 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
21	9, 20	eqsstrid 3961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
23	22	sselda 3922	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
24	6, 8, 23	psergf 26390	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
25		elfznn0 13565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑘) → 𝑖 ∈ ℕ0)
26		ffvelcdm 7027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺‘𝑦):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
27	24, 25, 26	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
28	5, 27	fsumcl 15686	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 7061	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
30		cnex 11110	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
31	9	ovexi 7394	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
32	30, 31	elmap 8812	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
33	29, 32	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
34	33	fmpttd 7061	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
35	6, 12, 7, 13, 14, 15	psercn 26404	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ))
36		cncff 24870	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
39	6, 12, 7, 13, 14, 16	psercnlem2 26402	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
40	39	simp2d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
41	9, 40	eqsstrid 3961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ⊆ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
42	39	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆)
43	41, 42	sstrd 3933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ⊆ 𝑆)
44	38, 43	fssresd 6701	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
45		0zd 12527	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℤ)
46		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑗) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
47	7	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48	21	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℂ)
49	6, 47, 48	psergf 26390	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧):ℕ0⟶ℂ)
50	49	ffvelcdmda 7030	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑗) ∈ ℂ)
51	48	abscld 15392	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
52	51	rexrd 11186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ*)
53	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
54		iccssxr 13374	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
55	6, 7, 13	radcnvcl 26395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
56	54, 55	sselid 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
57	56	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ ℝ*)
58		0cn 11127	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
59		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
60	59	cnmetdval 24745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
61	48, 58, 60	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
62	48	subid1d 11485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
63	62	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘(𝑧 − 0)) = (abs‘𝑧))
64	61, 63	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑧))
65		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
66	65, 9	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
67	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
68		0cnd 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℂ)
69		elbl3 24367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
70	67, 53, 68, 48, 69	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
71	66, 70	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
72	64, 71	eqbrtrrd 5110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑧) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
73	16	simp3d 1145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
74	73	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
75	52, 53, 57, 72, 74	xrlttrd 13101	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑧) < 𝑅)
76	6, 47, 13, 48, 75	radcnvlt2 26397	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → seq0( + , (𝐺‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
77	1, 45, 46, 50, 76	isumclim2 15711	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → seq0( + , (𝐺‘𝑧)) ⇝ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
78	43	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝑆)
79		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
80	79	fveq1d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
81	80	sumeq2sdv 15656	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
82		sumex 15641	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗) ∈ V
83	81, 12, 82	fvmpt 6941	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
84	78, 83	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
85	77, 84	breqtrrd 5114	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → seq0( + , (𝐺‘𝑧)) ⇝ (𝐹‘𝑧))
86		oveq2 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (0...𝑘) = (0...𝑚))
87	86	sumeq1d 15653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))
88	87	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
89		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
90	31	mptex 7171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) ∈ V
91	88, 89, 90	fvmpt 6941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
92	91	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
93	92	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))‘𝑧))
94	79	fveq1d 6836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
95	94	sumeq2sdv 15656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
96		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))
97		sumex 15641	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖) ∈ V
98	95, 96, 97	fvmpt 6941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
99	98	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
100		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑖) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
101		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
102	101, 1	eleqtrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0))
103	49	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑧):ℕ0⟶ℂ)
104		elfznn0 13565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
105		ffvelcdm 7027	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑧):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
106	103, 104, 105	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
107	100, 102, 106	fsumser 15683	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖) = (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚))
108	93, 99, 107	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚))
109	108	mpteq2dva 5179	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚)))
110		0z 12526	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
111		seqfn 13966	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn (ℤ≥‘0))
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn (ℤ≥‘0)
113	1	fneq2i 6590	. . . . . 6 ⊢ (seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn (ℤ≥‘0))
114	112, 113	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn ℕ0
115		dffn5 6892	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚)))
116	114, 115	mpbi 230	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚))
117	109, 116	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = seq0( + , (𝐺‘𝑧)))
118		fvres 6853	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
119	118	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
120	85, 117, 119	3brtr4d 5118	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) ⇝ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧))
121	91	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
122	121	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))))
123		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
124	123	cnfldtopon 24757	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
125	124	toponrestid 22896	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
126	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
127	123	cnfldtopn 24756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
128	127	blopn 24475	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
129	10, 11, 18, 128	mp3an2i 1469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
130	9, 129	eqeltrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
131	130	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
132		fzfid 13926	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (0...𝑚) ∈ Fin)
133	7	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
134	133	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
135	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
136	135	sselda 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
137	136	3adant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
138	6, 134, 137	psergf 26390	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
139	104	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
140	138, 139	ffvelcdmd 7031	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
141	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
142		ffvelcdm 7027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
143	133, 104, 142	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
144	143	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
145	136	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
146		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
147	104	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
148		expcl 14032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
149	146, 147, 148	syl2anr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
150	145, 149	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
151	144, 150	mulcld 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
152		ovexd 7395	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ V)
153		c0ex 11129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
154		ovex 7393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ V
155	153, 154	ifex 4518	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V
156	155	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
157	155	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
158		dvexp2 25931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
159	147, 158	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
160	21	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
161	130	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
162	141, 149, 157, 159, 160, 125, 123, 161	dvmptres 25940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦↑𝑖))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
163	141, 150, 156, 162, 143	dvmptcmul 25941	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
164	141, 151, 152, 163	dvmptcl 25936	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
165	164	3impa 1110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
166	104	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
167	6	pserval2 26389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
168	145, 166, 167	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
169	168	mpteq2dva 5179	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
170	169	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑖))) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))))
171	170, 163	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑖))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
172	125, 123, 126, 131, 132, 140, 165, 171	dvmptfsum 25952	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
173	122, 172	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
174	173	mpteq2dva 5179	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
175		nnssnn0 12431	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
176		resmpt 5996	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
177	175, 176	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
178		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎↑𝑖) = (𝑥↑𝑖))
179	178	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖)))
180	179	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖))))
181		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 + 1) = (𝑛 + 1))
182		fvoveq1 7383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
183	181, 182	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
184		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑥↑𝑖) = (𝑥↑𝑛))
185	183, 184	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥↑𝑛)))
186	185	cbvmptv 5190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥↑𝑛)))
187		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
188		fvoveq1 7383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑚 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
189	187, 188	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
190		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
191		ovex 7393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) ∈ V
192	189, 190, 191	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
193	192	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥↑𝑛)))
194	193	mpteq2ia 5181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥↑𝑛)))
195	186, 194	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
196	180, 195	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
197	196	cbvmptv 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
198		fveq2 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))
199	198	fveq1d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
200	199	sumeq2sdv 15656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
201	200	cbvmptv 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
202		peano2nn0 12468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
203	202	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
204	203	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
205	133, 203	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
206	204, 205	mulcld 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
207	206	fmpttd 7061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))):ℕ0⟶ℂ)
208		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗))
209	208	seqeq3d 13962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗)))
210	209	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ ))
211	210	cbvrabv 3400	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }
212	211	supeq1i 9353	. . . . . . . 8 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
213	198	seqeq3d 13962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧)))
214	213	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
215	214	cbvmptv 5190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
216		fveq2 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑚))
217	216	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
218	215, 217	eqtrid 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
219	218	cbvmptv 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
220	17	rpred 12977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ)
221	6, 12, 7, 13, 14, 15	psercnlem1 26403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
222	221	simp1d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
223	222	rpxrd 12978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
224	197, 207, 212	radcnvcl 26395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
225	54, 224	sselid 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
226	221	simp2d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
227		cnvimass 6041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
228		absf 15291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
229	228	fdmi 6673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom abs = ℂ
230	227, 229	sseqtri 3971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
231	14, 230	eqsstri 3969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
232	231	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
233	232	sselda 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
234	233	abscld 15392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
235	222	rpred 12977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
236		avglt2 12407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
237	234, 235, 236	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
238	226, 237	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀)
239	222	rpge0d 12981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ≤ 𝑀)
240	235, 239	absidd 15376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
241	222	rpcnd 12979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℂ)
242		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝑤↑𝑖) = (𝑀↑𝑖))
243	242	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖)))
244	243	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))))
245		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑤 → (𝑎↑𝑖) = (𝑤↑𝑖))
246	245	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑤 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖)))
247	246	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑤 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖))))
248	247	cbvmptv 5190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖))))
249		nn0ex 12434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ∈ V
250	249	mptex 7171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))) ∈ V
251	244, 248, 250	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))))
252	241, 251	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))))
253	252	seqeq3d 13962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑀)) = seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖)))))
254		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑖))
255		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑖))
256	254, 255	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
257	256	cbvmptv 5190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
258		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑𝑖) = (𝑦↑𝑖))
259	258	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
260	259	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
261	257, 260	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
262	261	cbvmptv 5190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
263	6, 262	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
264		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑠))
265	264	seqeq3d 13962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → seq0( + , (𝐺‘𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘𝑠)))
266	265	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ))
267	266	cbvrabv 3400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ }
268	267	supeq1i 9353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
269	13, 268	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
270		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖)))
271	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
272	221	simp3d 1145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
273	240, 272	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑀) < 𝑅)
274	263, 269, 270, 271, 241, 273	dvradcnv 26399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
275	253, 274	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑀)) ∈ dom ⇝ )
276	197, 207, 212, 241, 275	radcnvle 26398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑀) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
277	240, 276	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
278	18, 223, 225, 238, 277	xrltletrd 13103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
279	197, 201, 207, 212, 219, 220, 278, 41	pserulm 26400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)))
280	21	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
281		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎↑𝑖) = (𝑦↑𝑖))
282	281	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))
283	282	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
284		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)))) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))
285	249	mptex 7171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))) ∈ V
286	283, 284, 285	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
287	280, 286	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
288	287	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
289	288	fveq1d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘))
290		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 + 1) = (𝑘 + 1))
291		fvoveq1 7383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
292	290, 291	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
293		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑦↑𝑖) = (𝑦↑𝑘))
294	292, 293	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
295		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))
296		ovex 7393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V
297	294, 295, 296	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
298	297	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
299	289, 298	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
300	299	sumeq2dv 15655	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
301	300	mpteq2dva 5179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
302	279, 301	breqtrd 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
303		nnuz 12818	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
304		1e0p1 12677	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0 + 1)
305	304	fveq2i 6837	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘(0 + 1))
306	303, 305	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
307		1zzd 12549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℤ)
308		0zd 12527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℤ)
309		peano2nn0 12468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
310	309	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
311	310	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
312	7	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
313		ffvelcdm 7027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
314	312, 309, 313	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
315	311, 314	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
316	280, 148	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
317	315, 316	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
318	287, 317	fmpt3d 7062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
319	318	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑚) ∈ ℂ)
320	1, 308, 319	serf 13983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)):ℕ0⟶ℂ)
321	320	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
322	321	an32s 653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
323	322	fmpttd 7061	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
324	30, 31	elmap 8812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
325	323, 324	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
326	325	fmpttd 7061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
327		elfznn 13498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ)
328	327	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ≠ 0)
329	328	neneqd 2938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ¬ 𝑖 = 0)
330	329	iffalsed 4478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
331	330	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
332	331	sumeq2i 15651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
333		1zzd 12549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
334		nnz 12536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
335	334	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ ℤ)
336	271	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
337	327	nnnn0d 12489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
338	336, 337, 142	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
339	327	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ)
340	339	nncnd 12181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℂ)
341	280	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
342		nnm1nn0 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
343	327, 342	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
344		expcl 14032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑖 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
345	341, 343, 344	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
346	340, 345	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ ℂ)
347	338, 346	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ ℂ)
348		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
349		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
350		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
351	350	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) = (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))
352	349, 351	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
353	348, 352	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
354	333, 333, 335, 347, 353	fsumshftm 15734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
355	332, 354	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
356		fz1ssfz0 13568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚)
357	356	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
358	331	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
359	358, 347	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
360		eldif 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) ↔ (𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
361		elfzuz2 13474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0))
362		elfzp12 13548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
363	361, 362	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
364	363	ibi 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
365	364	ord 865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 = 0 → 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
366	365	con1d 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚) → 𝑖 = 0))
367	366	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
368	360, 367	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
369	304	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...𝑚) = ((0 + 1)...𝑚)
370	369	difeq2i 4064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) = ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚))
371	368, 370	eleq2s 2855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 = 0)
372	371	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → 𝑖 = 0)
373	372	iftrued 4475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = 0)
374	373	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴‘𝑖) · 0))
375		eldifi 4072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ (0...𝑚))
376	375, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
377	336, 376, 142	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
378	377	mul01d 11336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴‘𝑖) · 0) = 0)
379	374, 378	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = 0)
380		fzfid 13926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
381	357, 359, 379, 380	fsumss 15678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
382		1m1e0 12244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − 1) = 0
383	382	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 1)...(𝑚 − 1)) = (0...(𝑚 − 1))
384	383	sumeq1i 15650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
385		elfznn0 13565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
386	385	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
387	386, 297	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
388	341	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
389	388, 286	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
390	389	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘))
391	336	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
392		peano2nn0 12468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
393	386, 392	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
394	391, 393	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
395	393	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
396		expcl 14032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
397	341, 385, 396	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
398	394, 395, 397	mul12d 11346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑𝑘))) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦↑𝑘))))
399	386	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
400		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
401		pncan 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
402	399, 400, 401	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
403	402	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑦↑𝑘))
404	403	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦↑𝑘)))
405	404	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑𝑘))))
406	395, 394, 397	mulassd 11159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦↑𝑘))))
407	398, 405, 406	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
408	387, 390, 407	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
409		nnm1nn0 12469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
410	409	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
411	410	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
412	411, 1	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
413	403, 397	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) ∈ ℂ)
414	395, 413	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℂ)
415	394, 414	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) ∈ ℂ)
416	408, 412, 415	fsumser 15683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
417	384, 416	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
418	355, 381, 417	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
419	418	mpteq2dva 5179	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
420		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑚 − 1) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
421	420	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑚 − 1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
422		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))
423	31	mptex 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))) ∈ V
424	421, 422, 423	fvmpt 6941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
425	410, 424	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
426	419, 425	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)))
427	426	mpteq2dva 5179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1))))
428	1, 306, 4, 307, 326, 427	ulmshft 26368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))))
429	302, 428	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
430	177, 429	eqbrtrid 5121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
431		1nn0 12444	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
432	431	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℕ0)
433		fzfid 13926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
434	164	an32s 653	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
435	433, 434	fsumcl 15686	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
436	435	fmpttd 7061	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
437	30, 31	elmap 8812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
438	436, 437	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
439	438	fmpttd 7061	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
440	1, 303, 432, 439	ulmres 26366	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) ↔ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))))
441	430, 440	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
442	174, 441	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
443	1, 3, 4, 34, 44, 120, 442	ulmdv 26381	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  {cpr 4570   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   ↾ cres 5626   “ cima 5627   ∘ ccom 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  supcsup 9346  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  [,)cico 13291  [,]cicc 13292  ...cfz 13452  seqcseq 13954  ↑cexp 14014  abscabs 15187   ⇝ cli 15437  Σcsu 15639  TopOpenctopn 17375  ∞Metcxmet 21329  ballcbl 21331  ℂ_fldccnfld 21344  –cn→ccncf 24853   D cdv 25840  ⇝_𝑢culm 26354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-cmp 23362  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-ulm 26355

This theorem is referenced by:  pserdv  26407