Theorem pserdvlem2 25320

Description: Lemma for pserdv 25321. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s	⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m	⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b	⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))

Assertion

Ref	Expression
pserdvlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdvlem2

Dummy variables 𝑚 𝑠 𝑤 𝑧 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12476	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		cnelprrecn 10822	. . 3 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4		0zd 12188	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
5		fzfid 13546	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0...𝑘) ∈ Fin)
6		pserf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
7		pserf.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
8	7	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9		pserdv.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
10		cnxmet 23670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
11		0cnd 10826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℂ)
12		pserf.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
13		pserf.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
14		psercn.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
15		psercn.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
16	6, 12, 7, 13, 14, 15	pserdvlem1 25319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
17	16	simp1d 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
18	17	rpxrd 12629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
19		blssm 23316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
20	10, 11, 18, 19	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
21	9, 20	eqsstrid 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
22	21	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
23	22	sselda 3901	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
24	6, 8, 23	psergf 25304	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
25		elfznn0 13205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑘) → 𝑖 ∈ ℕ0)
26		ffvelrn 6902	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺‘𝑦):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
27	24, 25, 26	syl2an 599	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
28	5, 27	fsumcl 15297	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 6932	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
30		cnex 10810	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
31	9	ovexi 7247	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
32	30, 31	elmap 8552	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
33	29, 32	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
34	33	fmpttd 6932	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
35	6, 12, 7, 13, 14, 15	psercn 25318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ))
36		cncff 23790	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
38	37	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
39	6, 12, 7, 13, 14, 16	psercnlem2 25316	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
40	39	simp2d 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
41	9, 40	eqsstrid 3949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ⊆ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
42	39	simp3d 1146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆)
43	41, 42	sstrd 3911	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ⊆ 𝑆)
44	38, 43	fssresd 6586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
45		0zd 12188	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℤ)
46		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑗) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
47	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48	21	sselda 3901	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℂ)
49	6, 47, 48	psergf 25304	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧):ℕ0⟶ℂ)
50	49	ffvelrnda 6904	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑗) ∈ ℂ)
51	48	abscld 15000	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
52	51	rexrd 10883	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ*)
53	18	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
54		iccssxr 13018	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
55	6, 7, 13	radcnvcl 25309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
56	54, 55	sseldi 3899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
57	56	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ ℝ*)
58		0cn 10825	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
59		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
60	59	cnmetdval 23668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
61	48, 58, 60	sylancl 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
62	48	subid1d 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
63	62	fveq2d 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘(𝑧 − 0)) = (abs‘𝑧))
64	61, 63	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑧))
65		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
66	65, 9	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
67	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
68		0cnd 10826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℂ)
69		elbl3 23290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
70	67, 53, 68, 48, 69	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
71	66, 70	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
72	64, 71	eqbrtrrd 5077	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑧) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
73	16	simp3d 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
74	73	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
75	52, 53, 57, 72, 74	xrlttrd 12749	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑧) < 𝑅)
76	6, 47, 13, 48, 75	radcnvlt2 25311	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → seq0( + , (𝐺‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
77	1, 45, 46, 50, 76	isumclim2 15322	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → seq0( + , (𝐺‘𝑧)) ⇝ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
78	43	sselda 3901	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝑆)
79		fveq2 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
80	79	fveq1d 6719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
81	80	sumeq2sdv 15268	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
82		sumex 15251	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗) ∈ V
83	81, 12, 82	fvmpt 6818	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
84	78, 83	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
85	77, 84	breqtrrd 5081	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → seq0( + , (𝐺‘𝑧)) ⇝ (𝐹‘𝑧))
86		oveq2 7221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (0...𝑘) = (0...𝑚))
87	86	sumeq1d 15265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))
88	87	mpteq2dv 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
89		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
90	31	mptex 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) ∈ V
91	88, 89, 90	fvmpt 6818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
92	91	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
93	92	fveq1d 6719	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))‘𝑧))
94	79	fveq1d 6719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
95	94	sumeq2sdv 15268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
96		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))
97		sumex 15251	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖) ∈ V
98	95, 96, 97	fvmpt 6818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
99	98	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
100		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑖) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
101		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
102	101, 1	eleqtrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0))
103	49	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑧):ℕ0⟶ℂ)
104		elfznn0 13205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
105		ffvelrn 6902	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑧):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
106	103, 104, 105	syl2an 599	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
107	100, 102, 106	fsumser 15294	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖) = (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚))
108	93, 99, 107	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚))
109	108	mpteq2dva 5150	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚)))
110		0z 12187	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
111		seqfn 13586	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn (ℤ≥‘0))
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn (ℤ≥‘0)
113	1	fneq2i 6477	. . . . . 6 ⊢ (seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn (ℤ≥‘0))
114	112, 113	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn ℕ0
115		dffn5 6771	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚)))
116	114, 115	mpbi 233	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚))
117	109, 116	eqtr4di 2796	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = seq0( + , (𝐺‘𝑧)))
118		fvres 6736	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
119	118	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
120	85, 117, 119	3brtr4d 5085	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) ⇝ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧))
121	91	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
122	121	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))))
123		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
124	123	cnfldtopon 23680	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
125	124	toponrestid 21818	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
126	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
127	123	cnfldtopn 23679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
128	127	blopn 23398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
129	10, 11, 18, 128	mp3an2i 1468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
130	9, 129	eqeltrid 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
131	130	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
132		fzfid 13546	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (0...𝑚) ∈ Fin)
133	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
134	133	3ad2ant1 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
135	21	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
136	135	sselda 3901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
137	136	3adant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
138	6, 134, 137	psergf 25304	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
139	104	3ad2ant2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
140	138, 139	ffvelrnd 6905	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
141	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
142		ffvelrn 6902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
143	133, 104, 142	syl2an 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
144	143	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
145	136	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
146		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
147	104	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
148		expcl 13653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
149	146, 147, 148	syl2anr 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
150	145, 149	syldan 594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
151	144, 150	mulcld 10853	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
152		ovexd 7248	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ V)
153		c0ex 10827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
154		ovex 7246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ V
155	153, 154	ifex 4489	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V
156	155	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
157	155	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
158		dvexp2 24851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
159	147, 158	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
160	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
161	130	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
162	141, 149, 157, 159, 160, 125, 123, 161	dvmptres 24860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦↑𝑖))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
163	141, 150, 156, 162, 143	dvmptcmul 24861	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
164	141, 151, 152, 163	dvmptcl 24856	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
165	164	3impa 1112	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
166	104	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
167	6	pserval2 25303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
168	145, 166, 167	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
169	168	mpteq2dva 5150	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
170	169	oveq2d 7229	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑖))) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))))
171	170, 163	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑖))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
172	125, 123, 126, 131, 132, 140, 165, 171	dvmptfsum 24872	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
173	122, 172	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
174	173	mpteq2dva 5150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
175		nnssnn0 12093	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
176		resmpt 5905	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
177	175, 176	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
178		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎↑𝑖) = (𝑥↑𝑖))
179	178	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖)))
180	179	mpteq2dv 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖))))
181		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 + 1) = (𝑛 + 1))
182		fvoveq1 7236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
183	181, 182	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
184		oveq2 7221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑥↑𝑖) = (𝑥↑𝑛))
185	183, 184	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥↑𝑛)))
186	185	cbvmptv 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥↑𝑛)))
187		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
188		fvoveq1 7236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑚 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
189	187, 188	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
190		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
191		ovex 7246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) ∈ V
192	189, 190, 191	fvmpt 6818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
193	192	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥↑𝑛)))
194	193	mpteq2ia 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥↑𝑛)))
195	186, 194	eqtr4i 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
196	180, 195	eqtrdi 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
197	196	cbvmptv 5158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
198		fveq2 6717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))
199	198	fveq1d 6719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
200	199	sumeq2sdv 15268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
201	200	cbvmptv 5158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
202		peano2nn0 12130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
203	202	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
204	203	nn0cnd 12152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
205	133, 203	ffvelrnd 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
206	204, 205	mulcld 10853	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
207	206	fmpttd 6932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))):ℕ0⟶ℂ)
208		fveq2 6717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗))
209	208	seqeq3d 13582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗)))
210	209	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ ))
211	210	cbvrabv 3402	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }
212	211	supeq1i 9063	. . . . . . . 8 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
213	198	seqeq3d 13582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧)))
214	213	fveq1d 6719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
215	214	cbvmptv 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
216		fveq2 6717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑚))
217	216	mpteq2dv 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
218	215, 217	syl5eq 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
219	218	cbvmptv 5158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
220	17	rpred 12628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ)
221	6, 12, 7, 13, 14, 15	psercnlem1 25317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
222	221	simp1d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
223	222	rpxrd 12629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
224	197, 207, 212	radcnvcl 25309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
225	54, 224	sseldi 3899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
226	221	simp2d 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
227		cnvimass 5949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
228		absf 14901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
229	228	fdmi 6557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom abs = ℂ
230	227, 229	sseqtri 3937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
231	14, 230	eqsstri 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
232	231	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
233	232	sselda 3901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
234	233	abscld 15000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
235	222	rpred 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
236		avglt2 12069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
237	234, 235, 236	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
238	226, 237	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀)
239	222	rpge0d 12632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ≤ 𝑀)
240	235, 239	absidd 14986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
241	222	rpcnd 12630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℂ)
242		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝑤↑𝑖) = (𝑀↑𝑖))
243	242	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖)))
244	243	mpteq2dv 5151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))))
245		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑤 → (𝑎↑𝑖) = (𝑤↑𝑖))
246	245	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑤 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖)))
247	246	mpteq2dv 5151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑤 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖))))
248	247	cbvmptv 5158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖))))
249		nn0ex 12096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ∈ V
250	249	mptex 7039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))) ∈ V
251	244, 248, 250	fvmpt 6818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))))
252	241, 251	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))))
253	252	seqeq3d 13582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑀)) = seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖)))))
254		fveq2 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑖))
255		oveq2 7221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑖))
256	254, 255	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
257	256	cbvmptv 5158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
258		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑𝑖) = (𝑦↑𝑖))
259	258	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
260	259	mpteq2dv 5151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
261	257, 260	syl5eq 2790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
262	261	cbvmptv 5158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
263	6, 262	eqtri 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
264		fveq2 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑠))
265	264	seqeq3d 13582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → seq0( + , (𝐺‘𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘𝑠)))
266	265	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ))
267	266	cbvrabv 3402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ }
268	267	supeq1i 9063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
269	13, 268	eqtri 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
270		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖)))
271	7	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
272	221	simp3d 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
273	240, 272	eqbrtrd 5075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑀) < 𝑅)
274	263, 269, 270, 271, 241, 273	dvradcnv 25313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
275	253, 274	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑀)) ∈ dom ⇝ )
276	197, 207, 212, 241, 275	radcnvle 25312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑀) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
277	240, 276	eqbrtrrd 5077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
278	18, 223, 225, 238, 277	xrltletrd 12751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
279	197, 201, 207, 212, 219, 220, 278, 41	pserulm 25314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)))
280	21	sselda 3901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
281		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎↑𝑖) = (𝑦↑𝑖))
282	281	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))
283	282	mpteq2dv 5151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
284		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)))) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))
285	249	mptex 7039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))) ∈ V
286	283, 284, 285	fvmpt 6818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
287	280, 286	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
288	287	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
289	288	fveq1d 6719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘))
290		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 + 1) = (𝑘 + 1))
291		fvoveq1 7236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
292	290, 291	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
293		oveq2 7221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑦↑𝑖) = (𝑦↑𝑘))
294	292, 293	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
295		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))
296		ovex 7246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V
297	294, 295, 296	fvmpt 6818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
298	297	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
299	289, 298	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
300	299	sumeq2dv 15267	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
301	300	mpteq2dva 5150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
302	279, 301	breqtrd 5079	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
303		nnuz 12477	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
304		1e0p1 12335	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0 + 1)
305	304	fveq2i 6720	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘(0 + 1))
306	303, 305	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
307		1zzd 12208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℤ)
308		0zd 12188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℤ)
309		peano2nn0 12130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
310	309	nn0cnd 12152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
311	310	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
312	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
313		ffvelrn 6902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
314	312, 309, 313	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
315	311, 314	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
316	280, 148	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
317	315, 316	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
318	287, 317	fmpt3d 6933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
319	318	ffvelrnda 6904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑚) ∈ ℂ)
320	1, 308, 319	serf 13604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)):ℕ0⟶ℂ)
321	320	ffvelrnda 6904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
322	321	an32s 652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
323	322	fmpttd 6932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
324	30, 31	elmap 8552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
325	323, 324	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
326	325	fmpttd 6932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
327		elfznn 13141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ)
328	327	nnne0d 11880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ≠ 0)
329	328	neneqd 2945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ¬ 𝑖 = 0)
330	329	iffalsed 4450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
331	330	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
332	331	sumeq2i 15263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
333		1zzd 12208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
334		nnz 12199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
335	334	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ ℤ)
336	271	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
337	327	nnnn0d 12150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
338	336, 337, 142	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
339	327	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ)
340	339	nncnd 11846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℂ)
341	280	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
342		nnm1nn0 12131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
343	327, 342	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
344		expcl 13653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑖 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
345	341, 343, 344	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
346	340, 345	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ ℂ)
347	338, 346	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ ℂ)
348		fveq2 6717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
349		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
350		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
351	350	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) = (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))
352	349, 351	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
353	348, 352	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
354	333, 333, 335, 347, 353	fsumshftm 15345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
355	332, 354	syl5eq 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
356		fz1ssfz0 13208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚)
357	356	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
358	331	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
359	358, 347	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
360		eldif 3876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) ↔ (𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
361		elfzuz2 13117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0))
362		elfzp12 13191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
363	361, 362	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
364	363	ibi 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
365	364	ord 864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 = 0 → 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
366	365	con1d 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚) → 𝑖 = 0))
367	366	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
368	360, 367	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
369	304	oveq1i 7223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...𝑚) = ((0 + 1)...𝑚)
370	369	difeq2i 4034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) = ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚))
371	368, 370	eleq2s 2856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 = 0)
372	371	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → 𝑖 = 0)
373	372	iftrued 4447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = 0)
374	373	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴‘𝑖) · 0))
375		eldifi 4041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ (0...𝑚))
376	375, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
377	336, 376, 142	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
378	377	mul01d 11031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴‘𝑖) · 0) = 0)
379	374, 378	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = 0)
380		fzfid 13546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
381	357, 359, 379, 380	fsumss 15289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
382		1m1e0 11902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − 1) = 0
383	382	oveq1i 7223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 1)...(𝑚 − 1)) = (0...(𝑚 − 1))
384	383	sumeq1i 15262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
385		elfznn0 13205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
386	385	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
387	386, 297	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
388	341	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
389	388, 286	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
390	389	fveq1d 6719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘))
391	336	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
392		peano2nn0 12130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
393	386, 392	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
394	391, 393	ffvelrnd 6905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
395	393	nn0cnd 12152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
396		expcl 13653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
397	341, 385, 396	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
398	394, 395, 397	mul12d 11041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑𝑘))) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦↑𝑘))))
399	386	nn0cnd 12152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
400		ax-1cn 10787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
401		pncan 11084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
402	399, 400, 401	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
403	402	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑦↑𝑘))
404	403	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦↑𝑘)))
405	404	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑𝑘))))
406	395, 394, 397	mulassd 10856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦↑𝑘))))
407	398, 405, 406	3eqtr4d 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
408	387, 390, 407	3eqtr4d 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
409		nnm1nn0 12131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
410	409	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
411	410	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
412	411, 1	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
413	403, 397	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) ∈ ℂ)
414	395, 413	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℂ)
415	394, 414	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) ∈ ℂ)
416	408, 412, 415	fsumser 15294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
417	384, 416	syl5eq 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
418	355, 381, 417	3eqtr3d 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
419	418	mpteq2dva 5150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
420		fveq2 6717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑚 − 1) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
421	420	mpteq2dv 5151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑚 − 1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
422		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))
423	31	mptex 7039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))) ∈ V
424	421, 422, 423	fvmpt 6818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
425	410, 424	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
426	419, 425	eqtr4d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)))
427	426	mpteq2dva 5150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1))))
428	1, 306, 4, 307, 326, 427	ulmshft 25282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))))
429	302, 428	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
430	177, 429	eqbrtrid 5088	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
431		1nn0 12106	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
432	431	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℕ0)
433		fzfid 13546	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
434	164	an32s 652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
435	433, 434	fsumcl 15297	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
436	435	fmpttd 6932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
437	30, 31	elmap 8552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
438	436, 437	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
439	438	fmpttd 6932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
440	1, 303, 432, 439	ulmres 25280	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) ↔ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))))
441	430, 440	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
442	174, 441	eqbrtrd 5075	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
443	1, 3, 4, 34, 44, 120, 442	ulmdv 25295	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {crab 3065  Vcvv 3408   ∖ cdif 3863   ⊆ wss 3866  ifcif 4439  {cpr 4543   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ^◡ccnv 5550  dom cdm 5551   ↾ cres 5553   “ cima 5554   ∘ ccom 5555   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ↑_m cmap 8508  supcsup 9056  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  +∞cpnf 10864  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062   / cdiv 11489  ℕcn 11830  2c2 11885  ℕ₀cn0 12090  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  ℝ⁺crp 12586  [,)cico 12937  [,]cicc 12938  ...cfz 13095  seqcseq 13574  ↑cexp 13635  abscabs 14797   ⇝ cli 15045  Σcsu 15249  TopOpenctopn 16926  ∞Metcxmet 20348  ballcbl 20350  ℂ_fldccnfld 20363  –cn→ccncf 23773   D cdv 24760  ⇝_𝑢culm 25268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-cmp 22284  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-ulm 25269

This theorem is referenced by:  pserdv  25321