Theorem pserdvlem2 26365

Description: Lemma for pserdv 26366. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s	⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m	⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b	⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))

Assertion

Ref	Expression
pserdvlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdvlem2

Dummy variables 𝑚 𝑠 𝑤 𝑧 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12774	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		cnelprrecn 11099	. . 3 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4		0zd 12480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
5		fzfid 13880	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0...𝑘) ∈ Fin)
6		pserf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
7		pserf.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
8	7	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9		pserdv.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
10		cnxmet 24687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
11		0cnd 11105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℂ)
12		pserf.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
13		pserf.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
14		psercn.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
15		psercn.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
16	6, 12, 7, 13, 14, 15	pserdvlem1 26364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
17	16	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
18	17	rpxrd 12935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
19		blssm 24333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
20	10, 11, 18, 19	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
21	9, 20	eqsstrid 3968	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
23	22	sselda 3929	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
24	6, 8, 23	psergf 26348	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
25		elfznn0 13520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑘) → 𝑖 ∈ ℕ0)
26		ffvelcdm 7014	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺‘𝑦):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
27	24, 25, 26	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
28	5, 27	fsumcl 15640	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 7048	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
30		cnex 11087	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
31	9	ovexi 7380	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
32	30, 31	elmap 8795	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
33	29, 32	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
34	33	fmpttd 7048	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
35	6, 12, 7, 13, 14, 15	psercn 26363	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ))
36		cncff 24813	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
39	6, 12, 7, 13, 14, 16	psercnlem2 26361	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
40	39	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
41	9, 40	eqsstrid 3968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ⊆ (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
42	39	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆)
43	41, 42	sstrd 3940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ⊆ 𝑆)
44	38, 43	fssresd 6690	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
45		0zd 12480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℤ)
46		eqidd 2732	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑗) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
47	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48	21	sselda 3929	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℂ)
49	6, 47, 48	psergf 26348	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧):ℕ0⟶ℂ)
50	49	ffvelcdmda 7017	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑗) ∈ ℂ)
51	48	abscld 15346	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
52	51	rexrd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ*)
53	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
54		iccssxr 13330	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
55	6, 7, 13	radcnvcl 26353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
56	54, 55	sselid 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
57	56	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ ℝ*)
58		0cn 11104	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
59		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
60	59	cnmetdval 24685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
61	48, 58, 60	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
62	48	subid1d 11461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
63	62	fveq2d 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘(𝑧 − 0)) = (abs‘𝑧))
64	61, 63	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑧))
65		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
66	65, 9	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
67	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
68		0cnd 11105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℂ)
69		elbl3 24307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
70	67, 53, 68, 48, 69	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
71	66, 70	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
72	64, 71	eqbrtrrd 5113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑧) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
73	16	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
74	73	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
75	52, 53, 57, 72, 74	xrlttrd 13058	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑧) < 𝑅)
76	6, 47, 13, 48, 75	radcnvlt2 26355	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → seq0( + , (𝐺‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
77	1, 45, 46, 50, 76	isumclim2 15665	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → seq0( + , (𝐺‘𝑧)) ⇝ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
78	43	sselda 3929	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝑆)
79		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
80	79	fveq1d 6824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
81	80	sumeq2sdv 15610	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
82		sumex 15595	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗) ∈ V
83	81, 12, 82	fvmpt 6929	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
84	78, 83	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑧)‘𝑗))
85	77, 84	breqtrrd 5117	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → seq0( + , (𝐺‘𝑧)) ⇝ (𝐹‘𝑧))
86		oveq2 7354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (0...𝑘) = (0...𝑚))
87	86	sumeq1d 15607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))
88	87	mpteq2dv 5183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
89		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
90	31	mptex 7157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) ∈ V
91	88, 89, 90	fvmpt 6929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
92	91	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
93	92	fveq1d 6824	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))‘𝑧))
94	79	fveq1d 6824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
95	94	sumeq2sdv 15610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
96		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))
97		sumex 15595	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖) ∈ V
98	95, 96, 97	fvmpt 6929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
99	98	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
100		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑖) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑖))
101		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
102	101, 1	eleqtrdi 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0))
103	49	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑧):ℕ0⟶ℂ)
104		elfznn0 13520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
105		ffvelcdm 7014	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑧):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
106	103, 104, 105	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
107	100, 102, 106	fsumser 15637	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑧)‘𝑖) = (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚))
108	93, 99, 107	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚))
109	108	mpteq2dva 5182	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚)))
110		0z 12479	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
111		seqfn 13920	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn (ℤ≥‘0))
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn (ℤ≥‘0)
113	1	fneq2i 6579	. . . . . 6 ⊢ (seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn (ℤ≥‘0))
114	112, 113	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn ℕ0
115		dffn5 6880	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝐺‘𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚)))
116	114, 115	mpbi 230	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝐺‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑧))‘𝑚))
117	109, 116	eqtr4di 2784	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = seq0( + , (𝐺‘𝑧)))
118		fvres 6841	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
119	118	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
120	85, 117, 119	3brtr4d 5121	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) ⇝ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧))
121	91	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))
122	121	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))))
123		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
124	123	cnfldtopon 24697	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
125	124	toponrestid 22836	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
126	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
127	123	cnfldtopn 24696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
128	127	blopn 24415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
129	10, 11, 18, 128	mp3an2i 1468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
130	9, 129	eqeltrid 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
131	130	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
132		fzfid 13880	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (0...𝑚) ∈ Fin)
133	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
134	133	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
135	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
136	135	sselda 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
137	136	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
138	6, 134, 137	psergf 26348	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
139	104	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
140	138, 139	ffvelcdmd 7018	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
141	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
142		ffvelcdm 7014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
143	133, 104, 142	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
144	143	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
145	136	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
146		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
147	104	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
148		expcl 13986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
149	146, 147, 148	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
150	145, 149	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
151	144, 150	mulcld 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
152		ovexd 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ V)
153		c0ex 11106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
154		ovex 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ V
155	153, 154	ifex 4523	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V
156	155	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
157	155	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
158		dvexp2 25885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
159	147, 158	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
160	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
161	130	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
162	141, 149, 157, 159, 160, 125, 123, 161	dvmptres 25894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦↑𝑖))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
163	141, 150, 156, 162, 143	dvmptcmul 25895	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
164	141, 151, 152, 163	dvmptcl 25890	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
165	164	3impa 1109	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
166	104	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
167	6	pserval2 26347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
168	145, 166, 167	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
169	168	mpteq2dva 5182	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑖)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
170	169	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑖))) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))))
171	170, 163	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑖))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
172	125, 123, 126, 131, 132, 140, 165, 171	dvmptfsum 25906	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺‘𝑦)‘𝑖))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
173	122, 172	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
174	173	mpteq2dva 5182	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
175		nnssnn0 12384	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
176		resmpt 5985	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
177	175, 176	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
178		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎↑𝑖) = (𝑥↑𝑖))
179	178	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖)))
180	179	mpteq2dv 5183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖))))
181		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 + 1) = (𝑛 + 1))
182		fvoveq1 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
183	181, 182	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
184		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑥↑𝑖) = (𝑥↑𝑛))
185	183, 184	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥↑𝑛)))
186	185	cbvmptv 5193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥↑𝑛)))
187		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
188		fvoveq1 7369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑚 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
189	187, 188	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
190		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
191		ovex 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) ∈ V
192	189, 190, 191	fvmpt 6929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
193	192	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥↑𝑛)))
194	193	mpteq2ia 5184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥↑𝑛)))
195	186, 194	eqtr4i 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥↑𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
196	180, 195	eqtrdi 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
197	196	cbvmptv 5193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
198		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))
199	198	fveq1d 6824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
200	199	sumeq2sdv 15610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
201	200	cbvmptv 5193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
202		peano2nn0 12421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
203	202	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
204	203	nn0cnd 12444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
205	133, 203	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
206	204, 205	mulcld 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
207	206	fmpttd 7048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))):ℕ0⟶ℂ)
208		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗))
209	208	seqeq3d 13916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗)))
210	209	eleq1d 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ ))
211	210	cbvrabv 3405	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }
212	211	supeq1i 9331	. . . . . . . 8 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
213	198	seqeq3d 13916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧)))
214	213	fveq1d 6824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
215	214	cbvmptv 5193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
216		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑚))
217	216	mpteq2dv 5183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
218	215, 217	eqtrid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
219	218	cbvmptv 5193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
220	17	rpred 12934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ)
221	6, 12, 7, 13, 14, 15	psercnlem1 26362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
222	221	simp1d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
223	222	rpxrd 12935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
224	197, 207, 212	radcnvcl 26353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
225	54, 224	sselid 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
226	221	simp2d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
227		cnvimass 6030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
228		absf 15245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
229	228	fdmi 6662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom abs = ℂ
230	227, 229	sseqtri 3978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
231	14, 230	eqsstri 3976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
232	231	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
233	232	sselda 3929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
234	233	abscld 15346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
235	222	rpred 12934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
236		avglt2 12360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
237	234, 235, 236	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
238	226, 237	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀)
239	222	rpge0d 12938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ≤ 𝑀)
240	235, 239	absidd 15330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
241	222	rpcnd 12936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℂ)
242		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝑤↑𝑖) = (𝑀↑𝑖))
243	242	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖)))
244	243	mpteq2dv 5183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))))
245		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑤 → (𝑎↑𝑖) = (𝑤↑𝑖))
246	245	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑤 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖)))
247	246	mpteq2dv 5183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑤 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖))))
248	247	cbvmptv 5193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤↑𝑖))))
249		nn0ex 12387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ∈ V
250	249	mptex 7157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))) ∈ V
251	244, 248, 250	fvmpt 6929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))))
252	241, 251	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))))
253	252	seqeq3d 13916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑀)) = seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖)))))
254		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑖))
255		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑖))
256	254, 255	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
257	256	cbvmptv 5193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
258		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑𝑖) = (𝑦↑𝑖))
259	258	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
260	259	mpteq2dv 5183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
261	257, 260	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
262	261	cbvmptv 5193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
263	6, 262	eqtri 2754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖))))
264		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑠))
265	264	seqeq3d 13916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → seq0( + , (𝐺‘𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘𝑠)))
266	265	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ))
267	266	cbvrabv 3405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ }
268	267	supeq1i 9331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
269	13, 268	eqtri 2754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
270		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖)))
271	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
272	221	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
273	240, 272	eqbrtrd 5111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑀) < 𝑅)
274	263, 269, 270, 271, 241, 273	dvradcnv 26357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
275	253, 274	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑀)) ∈ dom ⇝ )
276	197, 207, 212, 241, 275	radcnvle 26356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑀) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
277	240, 276	eqbrtrrd 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
278	18, 223, 225, 238, 277	xrltletrd 13060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
279	197, 201, 207, 212, 219, 220, 278, 41	pserulm 26358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)))
280	21	sselda 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
281		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎↑𝑖) = (𝑦↑𝑖))
282	281	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))
283	282	mpteq2dv 5183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
284		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖)))) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))
285	249	mptex 7157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))) ∈ V
286	283, 284, 285	fvmpt 6929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
287	280, 286	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
288	287	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
289	288	fveq1d 6824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘))
290		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 + 1) = (𝑘 + 1))
291		fvoveq1 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
292	290, 291	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
293		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑦↑𝑖) = (𝑦↑𝑘))
294	292, 293	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
295		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))
296		ovex 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) ∈ V
297	294, 295, 296	fvmpt 6929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
298	297	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
299	289, 298	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
300	299	sumeq2dv 15609	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
301	300	mpteq2dva 5182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
302	279, 301	breqtrd 5115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
303		nnuz 12775	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
304		1e0p1 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0 + 1)
305	304	fveq2i 6825	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘(0 + 1))
306	303, 305	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
307		1zzd 12503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℤ)
308		0zd 12480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℤ)
309		peano2nn0 12421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
310	309	nn0cnd 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
311	310	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
312	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
313		ffvelcdm 7014	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
314	312, 309, 313	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
315	311, 314	mulcld 11132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
316	280, 148	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
317	315, 316	mulcld 11132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
318	287, 317	fmpt3d 7049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
319	318	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑚) ∈ ℂ)
320	1, 308, 319	serf 13937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)):ℕ0⟶ℂ)
321	320	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
322	321	an32s 652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
323	322	fmpttd 7048	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
324	30, 31	elmap 8795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
325	323, 324	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
326	325	fmpttd 7048	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
327		elfznn 13453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ)
328	327	nnne0d 12175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ≠ 0)
329	328	neneqd 2933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ¬ 𝑖 = 0)
330	329	iffalsed 4483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
331	330	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
332	331	sumeq2i 15605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
333		1zzd 12503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
334		nnz 12489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
335	334	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ ℤ)
336	271	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
337	327	nnnn0d 12442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
338	336, 337, 142	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
339	327	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ)
340	339	nncnd 12141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℂ)
341	280	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
342		nnm1nn0 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
343	327, 342	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑚) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
344		expcl 13986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑖 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
345	341, 343, 344	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
346	340, 345	mulcld 11132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ ℂ)
347	338, 346	mulcld 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ ℂ)
348		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
349		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
350		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
351	350	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) = (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))
352	349, 351	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
353	348, 352	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
354	333, 333, 335, 347, 353	fsumshftm 15688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
355	332, 354	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
356		fz1ssfz0 13523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚)
357	356	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
358	331	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
359	358, 347	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
360		eldif 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) ↔ (𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
361		elfzuz2 13429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0))
362		elfzp12 13503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
363	361, 362	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
364	363	ibi 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
365	364	ord 864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 = 0 → 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
366	365	con1d 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚) → 𝑖 = 0))
367	366	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
368	360, 367	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
369	304	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...𝑚) = ((0 + 1)...𝑚)
370	369	difeq2i 4070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) = ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚))
371	368, 370	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 = 0)
372	371	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → 𝑖 = 0)
373	372	iftrued 4480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = 0)
374	373	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴‘𝑖) · 0))
375		eldifi 4078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ (0...𝑚))
376	375, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
377	336, 376, 142	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
378	377	mul01d 11312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴‘𝑖) · 0) = 0)
379	374, 378	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = 0)
380		fzfid 13880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
381	357, 359, 379, 380	fsumss 15632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
382		1m1e0 12197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − 1) = 0
383	382	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 1)...(𝑚 − 1)) = (0...(𝑚 − 1))
384	383	sumeq1i 15604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
385		elfznn0 13520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
386	385	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
387	386, 297	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
388	341	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
389	388, 286	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖))))
390	389	fveq1d 6824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦↑𝑖)))‘𝑘))
391	336	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
392		peano2nn0 12421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
393	386, 392	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
394	391, 393	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
395	393	nn0cnd 12444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
396		expcl 13986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
397	341, 385, 396	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
398	394, 395, 397	mul12d 11322	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑𝑘))) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦↑𝑘))))
399	386	nn0cnd 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
400		ax-1cn 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
401		pncan 11366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
402	399, 400, 401	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
403	402	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑦↑𝑘))
404	403	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦↑𝑘)))
405	404	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑𝑘))))
406	395, 394, 397	mulassd 11135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦↑𝑘))))
407	398, 405, 406	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))
408	387, 390, 407	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
409		nnm1nn0 12422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
410	409	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
411	410	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
412	411, 1	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
413	403, 397	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) ∈ ℂ)
414	395, 413	mulcld 11132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℂ)
415	394, 414	mulcld 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) ∈ ℂ)
416	408, 412, 415	fsumser 15637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
417	384, 416	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
418	355, 381, 417	3eqtr3d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
419	418	mpteq2dva 5182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
420		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑚 − 1) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
421	420	mpteq2dv 5183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑚 − 1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
422		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))
423	31	mptex 7157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))) ∈ V
424	421, 422, 423	fvmpt 6929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
425	410, 424	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
426	419, 425	eqtr4d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)))
427	426	mpteq2dva 5182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1))))
428	1, 306, 4, 307, 326, 427	ulmshft 26326	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎↑𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))))
429	302, 428	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
430	177, 429	eqbrtrid 5124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
431		1nn0 12397	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
432	431	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℕ0)
433		fzfid 13880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
434	164	an32s 652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
435	433, 434	fsumcl 15640	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
436	435	fmpttd 7048	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
437	30, 31	elmap 8795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
438	436, 437	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
439	438	fmpttd 7048	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
440	1, 303, 432, 439	ulmres 26324	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))) ↔ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘)))))
441	430, 440	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴‘𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
442	174, 441	eqbrtrd 5111	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺‘𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)))(⇝𝑢‘𝐵)(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))
443	1, 3, 4, 34, 44, 120, 442	ulmdv 26339	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (ℂ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ifcif 4472  {cpr 4575   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614   ↾ cres 5616   “ cima 5617   ∘ ccom 5618   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  supcsup 9324  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ℝ⁺crp 12890  [,)cico 13247  [,]cicc 13248  ...cfz 13407  seqcseq 13908  ↑cexp 13968  abscabs 15141   ⇝ cli 15391  Σcsu 15593  TopOpenctopn 17325  ∞Metcxmet 21276  ballcbl 21278  ℂ_fldccnfld 21291  –cn→ccncf 24796   D cdv 25791  ⇝_𝑢culm 26312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-cmp 23302  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cncf 24798  df-limc 25794  df-dv 25795  df-ulm 26313

This theorem is referenced by:  pserdv  26366