MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercn2OLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psercn2OLD 26388
Description: Obsolete version of psercn2 26387 as of 16-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
pserulm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
pserulm.y (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
Assertion
Ref Expression
psercn2OLD (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   π‘₯,𝑖,π‘Ÿ   𝑖,𝐺,𝑗,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   πœ‘,𝑖,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(𝑖)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem psercn2OLD
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12904 . 2 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12610 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 pserulm.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
4 cnvimass 6090 . . . . . . . 8 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† dom abs
5 absf 15326 . . . . . . . . 9 abs:β„‚βŸΆβ„
65fdmi 6739 . . . . . . . 8 dom abs = β„‚
74, 6sseqtri 4018 . . . . . . 7 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† β„‚
83, 7sstrdi 3994 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
98adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
109resmptd 6049 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
11 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
12 elfznn0 13636 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...𝑖) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
1312adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
14 pserf.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
1514pserval2 26375 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
1611, 13, 15syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
17 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
1817, 1eleqtrdi 2839 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
1918adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
20 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2221ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2322adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
24 expcl 14086 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2524adantll 712 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2623, 25mulcld 11274 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2712, 26sylan2 591 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2816, 19, 27fsumser 15718 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))
2928mpteq2dva 5252 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
30 eqid 2728 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3130cnfldtopon 24727 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
33 fzfid 13980 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (0...𝑖) ∈ Fin)
3431a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
35 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3621, 12, 35syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3734, 34, 36cnmptc 23594 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3812adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3930expcn 24818 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4130mulcn 24811 . . . . . . . . . 10 Β· ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ Β· ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4334, 37, 40, 42cnmpt12f 23598 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4430, 32, 33, 43fsumcn 24816 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4530cncfcn1 24859 . . . . . . 7 (ℂ–cnβ†’β„‚) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4644, 45eleqtrrdi 2840 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4729, 46eqeltrrd 2830 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
48 rescncf 24845 . . . . 5 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚)))
499, 47, 48sylc 65 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
5010, 49eqeltrrd 2830 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
51 pserulm.h . . 3 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
5250, 51fmptd 7129 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•0⟢(𝑆–cnβ†’β„‚))
53 pserf.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
54 pserf.r . . 3 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
55 pserulm.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
56 pserulm.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
5714, 53, 20, 54, 51, 55, 56, 3pserulm 26386 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
581, 2, 52, 57ulmcn 26363 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682   β†Ύ cres 5684   β€œ cima 5685  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  supcsup 9473  β„‚cc 11146  β„cr 11147  0cc0 11148   + caddc 11151   Β· cmul 11153  β„*cxr 11287   < clt 11288  β„•0cn0 12512  β„€β‰₯cuz 12862  [,]cicc 13369  ...cfz 13526  seqcseq 14008  β†‘cexp 14068  abscabs 15223   ⇝ cli 15470  Ξ£csu 15674  TopOpenctopn 17412  β„‚fldccnfld 21293  TopOnctopon 22840   Cn ccn 23156   Γ—t ctx 23492  β€“cnβ†’ccncf 24824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-ulm 26341
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator