MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercn2OLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psercn2OLD 26315
Description: Obsolete version of psercn2 26314 as of 16-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
pserulm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
pserulm.y (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
Assertion
Ref Expression
psercn2OLD (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   π‘₯,𝑖,π‘Ÿ   𝑖,𝐺,𝑗,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   πœ‘,𝑖,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(𝑖)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem psercn2OLD
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12868 . 2 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12574 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 pserulm.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
4 cnvimass 6074 . . . . . . . 8 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† dom abs
5 absf 15290 . . . . . . . . 9 abs:β„‚βŸΆβ„
65fdmi 6723 . . . . . . . 8 dom abs = β„‚
74, 6sseqtri 4013 . . . . . . 7 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† β„‚
83, 7sstrdi 3989 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
98adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
109resmptd 6034 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
11 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
12 elfznn0 13600 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...𝑖) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
1312adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
14 pserf.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
1514pserval2 26302 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
1611, 13, 15syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
17 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
1817, 1eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
1918adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
20 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2221ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2322adantlr 712 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
24 expcl 14050 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2524adantll 711 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2623, 25mulcld 11238 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2712, 26sylan2 592 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2816, 19, 27fsumser 15682 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))
2928mpteq2dva 5241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
30 eqid 2726 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3130cnfldtopon 24654 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
33 fzfid 13944 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (0...𝑖) ∈ Fin)
3431a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
35 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3621, 12, 35syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3734, 34, 36cnmptc 23521 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3812adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3930expcn 24745 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4130mulcn 24738 . . . . . . . . . 10 Β· ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ Β· ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4334, 37, 40, 42cnmpt12f 23525 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4430, 32, 33, 43fsumcn 24743 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4530cncfcn1 24786 . . . . . . 7 (ℂ–cnβ†’β„‚) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4644, 45eleqtrrdi 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4729, 46eqeltrrd 2828 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
48 rescncf 24772 . . . . 5 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚)))
499, 47, 48sylc 65 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
5010, 49eqeltrrd 2828 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
51 pserulm.h . . 3 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
5250, 51fmptd 7109 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•0⟢(𝑆–cnβ†’β„‚))
53 pserf.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
54 pserf.r . . 3 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
55 pserulm.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
56 pserulm.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
5714, 53, 20, 54, 51, 55, 56, 3pserulm 26313 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
581, 2, 52, 57ulmcn 26290 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  seqcseq 13972  β†‘cexp 14032  abscabs 15187   ⇝ cli 15434  Ξ£csu 15638  TopOpenctopn 17376  β„‚fldccnfld 21240  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083   Γ—t ctx 23419  β€“cnβ†’ccncf 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ulm 26268
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator