MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercn2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psercn2 26379
Description: Since by pserulm 26378 the series converges uniformly, it is also continuous by ulmcn 26355. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.) Avoid ax-mulf 11226. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
pserulm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
pserulm.y (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
Assertion
Ref Expression
psercn2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   π‘₯,𝑖,π‘Ÿ   𝑖,𝐺,𝑗,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   πœ‘,𝑖,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(𝑖)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem psercn2
Dummy variables π‘˜ 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12902 . 2 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12608 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 pserulm.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
4 cnvimass 6090 . . . . . . . 8 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† dom abs
5 absf 15324 . . . . . . . . 9 abs:β„‚βŸΆβ„
65fdmi 6739 . . . . . . . 8 dom abs = β„‚
74, 6sseqtri 4018 . . . . . . 7 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† β„‚
83, 7sstrdi 3994 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
98adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
109resmptd 6049 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
11 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
12 elfznn0 13634 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...𝑖) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
1312adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
14 pserf.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
1514pserval2 26367 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
1611, 13, 15syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
17 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
1817, 1eleqtrdi 2839 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
1918adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
20 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2221ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2322adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
24 expcl 14084 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2524adantll 712 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2623, 25mulcld 11272 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2712, 26sylan2 591 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2816, 19, 27fsumser 15716 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))
2928mpteq2dva 5252 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
30 eqid 2728 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3130cnfldtopon 24719 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
33 fzfid 13978 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (0...𝑖) ∈ Fin)
3431a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
35 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3621, 12, 35syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3734, 34, 36cnmptc 23586 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3812adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3930expcn 24810 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4130mpomulcn 24805 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
43 oveq12 7435 . . . . . . . . 9 ((𝑒 = (π΄β€˜π‘˜) ∧ 𝑣 = (π‘¦β†‘π‘˜)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
4434, 37, 40, 34, 34, 42, 43cnmpt12 23591 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4530, 32, 33, 44fsumcn 24808 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4630cncfcn1 24851 . . . . . . 7 (ℂ–cnβ†’β„‚) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4745, 46eleqtrrdi 2840 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4829, 47eqeltrrd 2830 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
49 rescncf 24837 . . . . 5 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚)))
509, 48, 49sylc 65 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
5110, 50eqeltrrd 2830 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
52 pserulm.h . . 3 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
5351, 52fmptd 7129 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•0⟢(𝑆–cnβ†’β„‚))
54 pserf.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
55 pserf.r . . 3 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
56 pserulm.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
57 pserulm.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
5814, 54, 20, 55, 52, 56, 57, 3pserulm 26378 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
591, 2, 53, 58ulmcn 26355 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682   β†Ύ cres 5684   β€œ cima 5685  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  supcsup 9471  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149   Β· cmul 11151  β„*cxr 11285   < clt 11286  β„•0cn0 12510  β„€β‰₯cuz 12860  [,]cicc 13367  ...cfz 13524  seqcseq 14006  β†‘cexp 14066  abscabs 15221   ⇝ cli 15468  Ξ£csu 15672  TopOpenctopn 17410  β„‚fldccnfld 21286  TopOnctopon 22832   Cn ccn 23148   Γ—t ctx 23484  β€“cnβ†’ccncf 24816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-ulm 26333
This theorem is referenced by:  psercn  26383
  Copyright terms: Public domain W3C validator