Theorem psercn2 26755

Description: Since by pserulm 26754 the series converges uniformly, it is also continuous by ulmcn 26731. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.) Avoid ax-mulf 11283. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h	⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
pserulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑅)
pserulm.y	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
psercn2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   𝑥,𝑖,𝑟   𝑖,𝐺,𝑗,𝑟,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛, 𝑟)   𝐴(𝑖)   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑟)   𝑆(𝑥, 𝑛, 𝑟)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑟)   𝐺(𝑥, 𝑛)   𝐻(𝑥, 𝑛, 𝑟)   𝑀(𝑥, 𝑛, 𝑟)

Proof of Theorem psercn2

Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 13006	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12708	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		pserulm.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
4		cnvimass 6198	. . . . . . . 8 ⊢ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ dom abs
5		absf 15510	. . . . . . . . 9 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
6	5	fdmi 6721	. . . . . . . 8 ⊢ dom abs = ℂ
7	4, 6	sseqtri 3956	. . . . . . 7 ⊢ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ ℂ
8	3, 7	sstrdi 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10	9	resmptd 6031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ↾ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
11		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑦 ∈ ℂ)
12		elfznn0 13757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ∈ ℕ0)
13	12	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14		pserf.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
15	14	pserval2 26743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))
16	11, 13, 15	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))
17		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
18	17, 1	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
19	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
20		pserf.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
22	21	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
23	22	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
24		expcl 14225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
25	24	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) ∈ ℂ)
27	12, 26	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) ∈ ℂ)
28	16, 19, 27	fsumser 15901	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) = (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))
29	28	mpteq2dva 5197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
30		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
31	30	cnfldtopon 25106	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
33		fzfid 14119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (0...𝑖) ∈ Fin)
34	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
35		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
36	21, 12, 35	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
37	34, 34, 36	cnmptc 23986	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴‘𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
38	12	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	30	expcn 25198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
41	30	mpomulcn 25193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
43		oveq12 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = (𝐴‘𝑘) ∧ 𝑣 = (𝑦↑𝑘)) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))
44	34, 37, 40, 34, 34, 42, 43	cnmpt12 23991	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
45	30, 32, 33, 44	fsumcn 25196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
46	30	cncfcn1 25237	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
47	45, 46	eleqtrrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
48	29, 47	eqeltrrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
49		rescncf 25223	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ↾ 𝑆) ∈ (𝑆–cn→ℂ)))
50	9, 48, 49	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ↾ 𝑆) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
51	10, 50	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
52		pserulm.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
53	51, 52	fmptd 7114	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ0⟶(𝑆–cn→ℂ))
54		pserf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
55		pserf.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
56		pserulm.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
57		pserulm.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑅)
58	14, 54, 20, 55, 52, 56, 57, 3	pserulm 26754	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)
59	1, 2, 53, 58	ulmcn 26731	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   ↾ cres 5652   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  supcsup 9435  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203   + caddc 11206   · cmul 11208  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346  ℕ₀cn0 12609  ℤ_≥cuz 12968  [,]cicc 13482  ...cfz 13642  seqcseq 14147  ↑cexp 14207  abscabs 15406   ⇝ cli 15656  Σcsu 15858  TopOpenctopn 17597  ℂ_fldccnfld 21683  TopOnctopon 23233   Cn ccn 23547   ×_t ctx 23884  –cn→ccncf 25202

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-ulm 26709

This theorem is used by:  psercn  26758