MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercn2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psercn2 25934
Description: Since by pserulm 25933 the series converges uniformly, it is also continuous by ulmcn 25910. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
pserulm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
pserulm.y (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
Assertion
Ref Expression
psercn2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   π‘₯,𝑖,π‘Ÿ   𝑖,𝐺,𝑗,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   πœ‘,𝑖,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(𝑖)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem psercn2
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12863 . 2 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12569 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 pserulm.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
4 cnvimass 6080 . . . . . . . 8 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† dom abs
5 absf 15283 . . . . . . . . 9 abs:β„‚βŸΆβ„
65fdmi 6729 . . . . . . . 8 dom abs = β„‚
74, 6sseqtri 4018 . . . . . . 7 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† β„‚
83, 7sstrdi 3994 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
98adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
109resmptd 6040 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
11 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
12 elfznn0 13593 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...𝑖) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
1312adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
14 pserf.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
1514pserval2 25922 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
1611, 13, 15syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
17 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
1817, 1eleqtrdi 2843 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
1918adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
20 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2221ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2322adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
24 expcl 14044 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2524adantll 712 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2623, 25mulcld 11233 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2712, 26sylan2 593 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2816, 19, 27fsumser 15675 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))
2928mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
30 eqid 2732 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3130cnfldtopon 24298 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
33 fzfid 13937 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (0...𝑖) ∈ Fin)
3431a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
35 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3621, 12, 35syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3734, 34, 36cnmptc 23165 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3812adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3930expcn 24387 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4130mulcn 24382 . . . . . . . . . 10 Β· ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ Β· ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4334, 37, 40, 42cnmpt12f 23169 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4430, 32, 33, 43fsumcn 24385 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4530cncfcn1 24426 . . . . . . 7 (ℂ–cnβ†’β„‚) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4644, 45eleqtrrdi 2844 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4729, 46eqeltrrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
48 rescncf 24412 . . . . 5 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚)))
499, 47, 48sylc 65 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
5010, 49eqeltrrd 2834 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
51 pserulm.h . . 3 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
5250, 51fmptd 7113 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•0⟢(𝑆–cnβ†’β„‚))
53 pserf.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
54 pserf.r . . 3 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
55 pserulm.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
56 pserulm.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
5714, 53, 20, 54, 51, 55, 56, 3pserulm 25933 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
581, 2, 52, 57ulmcn 25910 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„*cxr 11246   < clt 11247  β„•0cn0 12471  β„€β‰₯cuz 12821  [,]cicc 13326  ...cfz 13483  seqcseq 13965  β†‘cexp 14026  abscabs 15180   ⇝ cli 15427  Ξ£csu 15631  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 20943  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727   Γ—t ctx 23063  β€“cnβ†’ccncf 24391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-ulm 25888
This theorem is referenced by:  psercn  25937
  Copyright terms: Public domain W3C validator