MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercn2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psercn2 26309
Description: Since by pserulm 26308 the series converges uniformly, it is also continuous by ulmcn 26285. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.) Avoid ax-mulf 11189. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
pserulm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
pserulm.y (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
Assertion
Ref Expression
psercn2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   π‘₯,𝑖,π‘Ÿ   𝑖,𝐺,𝑗,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   πœ‘,𝑖,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(𝑖)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem psercn2
Dummy variables π‘˜ 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12865 . 2 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12571 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 pserulm.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
4 cnvimass 6073 . . . . . . . 8 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† dom abs
5 absf 15287 . . . . . . . . 9 abs:β„‚βŸΆβ„
65fdmi 6722 . . . . . . . 8 dom abs = β„‚
74, 6sseqtri 4013 . . . . . . 7 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† β„‚
83, 7sstrdi 3989 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
98adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
109resmptd 6033 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
11 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
12 elfznn0 13597 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...𝑖) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
1312adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
14 pserf.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
1514pserval2 26297 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
1611, 13, 15syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
17 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
1817, 1eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
1918adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
20 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2221ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2322adantlr 712 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
24 expcl 14047 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2524adantll 711 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2623, 25mulcld 11235 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2712, 26sylan2 592 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2816, 19, 27fsumser 15679 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))
2928mpteq2dva 5241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
30 eqid 2726 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3130cnfldtopon 24649 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
33 fzfid 13941 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (0...𝑖) ∈ Fin)
3431a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
35 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3621, 12, 35syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3734, 34, 36cnmptc 23516 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3812adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3930expcn 24740 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4130mpomulcn 24735 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
43 oveq12 7413 . . . . . . . . 9 ((𝑒 = (π΄β€˜π‘˜) ∧ 𝑣 = (π‘¦β†‘π‘˜)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
4434, 37, 40, 34, 34, 42, 43cnmpt12 23521 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4530, 32, 33, 44fsumcn 24738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4630cncfcn1 24781 . . . . . . 7 (ℂ–cnβ†’β„‚) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4745, 46eleqtrrdi 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑖)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4829, 47eqeltrrd 2828 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
49 rescncf 24767 . . . . 5 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚)))
509, 48, 49sylc 65 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑆) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
5110, 50eqeltrrd 2828 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
52 pserulm.h . . 3 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
5351, 52fmptd 7108 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•0⟢(𝑆–cnβ†’β„‚))
54 pserf.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
55 pserf.r . . 3 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
56 pserulm.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
57 pserulm.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
5814, 54, 20, 55, 52, 56, 57, 3pserulm 26308 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
591, 2, 53, 58ulmcn 26285 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„*cxr 11248   < clt 11249  β„•0cn0 12473  β„€β‰₯cuz 12823  [,]cicc 13330  ...cfz 13487  seqcseq 13969  β†‘cexp 14029  abscabs 15184   ⇝ cli 15431  Ξ£csu 15635  TopOpenctopn 17373  β„‚fldccnfld 21235  TopOnctopon 22762   Cn ccn 23078   Γ—t ctx 23414  β€“cnβ†’ccncf 24746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-ulm 26263
This theorem is referenced by:  psercn  26313
  Copyright terms: Public domain W3C validator