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Theorem radcnvlem1 26162
Description: Lemma for radcnvlt1 26167, radcnvle 26169. If 𝑋 is a point closer to zero than π‘Œ and the power series converges at π‘Œ, then it converges absolutely at 𝑋, even if the terms in the sequence are multiplied by 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
psergf.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
radcnvlem2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
radcnvlem2.a (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < (absβ€˜π‘Œ))
radcnvlem2.c (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ dom ⇝ )
radcnvlem1.h 𝐻 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
Assertion
Ref Expression
radcnvlem1 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,𝐴   π‘š,𝐻   πœ‘,π‘š   π‘š,𝑋   π‘š,𝐺   π‘š,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑛)   𝑋(π‘₯,𝑛)   π‘Œ(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem1
Dummy variables 𝑖 π‘˜ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12869 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12575 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 1rp 12983 . . . 4 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
5 radcnvlem2.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
6 pser.g . . . . 5 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
76pserval2 26160 . . . 4 ((π‘Œ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜)))
85, 7sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜)))
9 fvexd 6906 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ V)
10 radcnvlem2.c . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ dom ⇝ )
11 radcnv.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
126, 11, 5psergf 26161 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘Œ):β„•0βŸΆβ„‚)
1312ffvelcdmda 7086 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
141, 2, 9, 10, 13serf0 15632 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ⇝ 0)
151, 2, 4, 8, 14climi0 15461 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)
16 simprl 768 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
17 nn0re 12486 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
1817adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
19 psergf.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2019adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2120abscld 15388 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
225adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
2322abscld 15388 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
24 0red 11222 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
2519abscld 15388 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
265abscld 15388 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
2719absge0d 15396 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘‹))
28 radcnvlem2.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < (absβ€˜π‘Œ))
2924, 25, 26, 27, 28lelttrd 11377 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < (absβ€˜π‘Œ))
3029gt0ne0d 11783 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘Œ) β‰  0)
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘Œ) β‰  0)
3221, 23, 31redivcld 12047 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ ((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ)) ∈ ℝ)
33 reexpcl 14049 . . . . . . 7 ((((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖) ∈ ℝ)
3432, 33sylan 579 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖) ∈ ℝ)
3518, 34remulcld 11249 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖 Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖)) ∈ ℝ)
36 eqid 2731 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖))) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖)))
3735, 36fmptd 7115 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖))):β„•0βŸΆβ„)
3837ffvelcdmda 7086 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖)))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
39 nn0re 12486 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ ℝ)
4039adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ ℝ)
416, 11, 19psergf 26161 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚)
4241ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
4342abscld 15388 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)) ∈ ℝ)
4440, 43remulcld 11249 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))) ∈ ℝ)
45 radcnvlem1.h . . . . . . 7 𝐻 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
4644, 45fmptd 7115 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•0βŸΆβ„)
4746adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ 𝐻:β„•0βŸΆβ„)
4847ffvelcdmda 7086 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π»β€˜π‘š) ∈ ℝ)
4948recnd 11247 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π»β€˜π‘š) ∈ β„‚)
5025, 26, 30redivcld 12047 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ)) ∈ ℝ)
5150recnd 11247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ)) ∈ β„‚)
52 divge0 12088 . . . . . . . 8 ((((absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘‹)) ∧ ((absβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ ∧ 0 < (absβ€˜π‘Œ))) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ)))
5325, 27, 26, 29, 52syl22anc 836 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ)))
5450, 53absidd 15374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))) = ((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ)))
5526recnd 11247 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
5655mulridd 11236 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘Œ) Β· 1) = (absβ€˜π‘Œ))
5728, 56breqtrrd 5176 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < ((absβ€˜π‘Œ) Β· 1))
58 1red 11220 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
59 ltdivmul 12094 . . . . . . . 8 (((absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ ∧ 0 < (absβ€˜π‘Œ))) β†’ (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ)) < 1 ↔ (absβ€˜π‘‹) < ((absβ€˜π‘Œ) Β· 1)))
6025, 58, 26, 29, 59syl112anc 1373 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ)) < 1 ↔ (absβ€˜π‘‹) < ((absβ€˜π‘Œ) Β· 1)))
6157, 60mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ)) < 1)
6254, 61eqbrtrd 5170 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))) < 1)
6336geomulcvg 15827 . . . . 5 ((((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))) < 1) β†’ seq0( + , (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
6451, 62, 63syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
6564adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ seq0( + , (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
66 1red 11220 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
6741ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚)
68 eluznn0 12906 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
6916, 68sylan 579 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
7067, 69ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
7170abscld 15388 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)) ∈ ℝ)
7232adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ)) ∈ ℝ)
7372, 69reexpcld 14133 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š) ∈ ℝ)
7469nn0red 12538 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
7569nn0ge0d 12540 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ π‘š)
7611ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
7776, 69ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
785ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
7978, 69expcld 14116 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘Œβ†‘π‘š) ∈ β„‚)
8077, 79mulcld 11239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š)) ∈ β„‚)
8180abscld 15388 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) ∈ ℝ)
82 1red 11220 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 1 ∈ ℝ)
8319ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
8483abscld 15388 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
8584, 69reexpcld 14133 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š) ∈ ℝ)
8683absge0d 15396 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘‹))
8784, 69, 86expge0d 14134 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š))
88 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)
89 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘š β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘š))
90 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘Œβ†‘π‘˜) = (π‘Œβ†‘π‘š))
9189, 90oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š)))
9291fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) = (absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))))
9392breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1 ↔ (absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) < 1))
9493rspccva 3611 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1 ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) < 1)
9588, 94sylan 579 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) < 1)
96 1re 11219 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
97 ltle 11307 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) < 1 β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) ≀ 1))
9881, 96, 97sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) < 1 β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) ≀ 1))
9995, 98mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) ≀ 1)
10081, 82, 85, 87, 99lemul1ad 12158 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) Β· ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š)) ≀ (1 Β· ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š)))
10183, 69expcld 14116 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘‹β†‘π‘š) ∈ β„‚)
10277, 101mulcld 11239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š)) ∈ β„‚)
103102, 79absmuld 15406 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š)) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) Β· (absβ€˜(π‘Œβ†‘π‘š))))
10480, 101absmuld 15406 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š)) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) Β· (absβ€˜(π‘‹β†‘π‘š))))
10577, 79, 101mul32d 11429 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š)) Β· (π‘‹β†‘π‘š)) = (((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š)) Β· (π‘Œβ†‘π‘š)))
106105fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š)) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) = (absβ€˜(((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š)) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))))
10783, 69absexpd 15404 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(π‘‹β†‘π‘š)) = ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š))
108107oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) Β· (absβ€˜(π‘‹β†‘π‘š))) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) Β· ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š)))
109104, 106, 1083eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š)) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) Β· ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š)))
11078, 69absexpd 15404 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(π‘Œβ†‘π‘š)) = ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š))
111110oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) Β· (absβ€˜(π‘Œβ†‘π‘š))) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) Β· ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š)))
112103, 109, 1113eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘Œβ†‘π‘š))) Β· ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š)) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) Β· ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š)))
11385recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š) ∈ β„‚)
114113mullidd 11237 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (1 Β· ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š)) = ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š))
115100, 112, 1143brtr3d 5179 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) Β· ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š)) ≀ ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š))
116102abscld 15388 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
11723adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
118117, 69reexpcld 14133 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š) ∈ ℝ)
119 eluzelz 12837 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ π‘š ∈ β„€)
120119adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘š ∈ β„€)
12129ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 < (absβ€˜π‘Œ))
122 expgt0 14066 . . . . . . . . . 10 (((absβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ 0 < (absβ€˜π‘Œ)) β†’ 0 < ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š))
123117, 120, 121, 122syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 < ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š))
124 lemuldiv 12099 . . . . . . . . 9 (((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š) ∈ ℝ ∧ (((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š) ∈ ℝ ∧ 0 < ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š))) β†’ (((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) Β· ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š)) ≀ ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š) ↔ (absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) ≀ (((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š) / ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š))))
125116, 85, 118, 123, 124syl112anc 1373 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) Β· ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š)) ≀ ((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š) ↔ (absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) ≀ (((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š) / ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š))))
126115, 125mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) ≀ (((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š) / ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š)))
1276pserval2 26160 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š) = ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š)))
12883, 69, 127syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š) = ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š)))
129128fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)) = (absβ€˜((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))))
13021recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
131130adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
13223recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
133132adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
13430ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜π‘Œ) β‰  0)
135131, 133, 134, 69expdivd 14130 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š) = (((absβ€˜π‘‹)β†‘π‘š) / ((absβ€˜π‘Œ)β†‘π‘š)))
136126, 129, 1353brtr4d 5180 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)) ≀ (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š))
13771, 73, 74, 75, 136lemul2ad 12159 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))) ≀ (π‘š Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š)))
13874, 71remulcld 11249 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))) ∈ ℝ)
13970absge0d 15396 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)))
14074, 71, 75, 139mulge0d 11796 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
141138, 140absidd 15374 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)))) = (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
14274, 73remulcld 11249 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘š Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
143142recnd 11247 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘š Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š)) ∈ β„‚)
144143mullidd 11237 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (1 Β· (π‘š Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š))) = (π‘š Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š)))
145137, 141, 1443brtr4d 5180 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)))) ≀ (1 Β· (π‘š Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š))))
146 ovex 7445 . . . . . 6 (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))) ∈ V
14745fvmpt2 7009 . . . . . 6 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))) ∈ V) β†’ (π»β€˜π‘š) = (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
14869, 146, 147sylancl 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π»β€˜π‘š) = (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
149148fveq2d 6895 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(π»β€˜π‘š)) = (absβ€˜(π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)))))
150 id 22 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘š β†’ 𝑖 = π‘š)
151 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘š β†’ (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖) = (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š))
152150, 151oveq12d 7430 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘š β†’ (𝑖 Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖)) = (π‘š Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š)))
153 ovex 7445 . . . . . . 7 (π‘š Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š)) ∈ V
154152, 36, 153fvmpt 6998 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„•0 β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖)))β€˜π‘š) = (π‘š Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š)))
15569, 154syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖)))β€˜π‘š) = (π‘š Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š)))
156155oveq2d 7428 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (1 Β· ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖)))β€˜π‘š)) = (1 Β· (π‘š Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))β†‘π‘š))))
157145, 149, 1563brtr4d 5180 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(π»β€˜π‘š)) ≀ (1 Β· ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (((absβ€˜π‘‹) / (absβ€˜π‘Œ))↑𝑖)))β€˜π‘š)))
1581, 16, 38, 49, 65, 66, 157cvgcmpce 15769 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘Œβ†‘π‘˜))) < 1)) β†’ seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
15915, 158rexlimddv 3160 1 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   < clt 11253   ≀ cle 11254   / cdiv 11876  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032  abscabs 15186   ⇝ cli 15433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638
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