Theorem radcnvlem1 26380

Description: Lemma for radcnvlt1 26385, radcnvle 26387. If 𝑋 is a point closer to zero than 𝑌 and the power series converges at 𝑌, then it converges absolutely at 𝑋, even if the terms in the sequence are multiplied by 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
radcnvlem2.a	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
radcnvlem2.c	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )
radcnvlem1.h	⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem1	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐴   𝑚,𝐻   𝜑,𝑚   𝑚,𝑋   𝑚,𝐺   𝑚,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem1

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12791	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12502	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		1rp 12911	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5		radcnvlem2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6		pser.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
7	6	pserval2 26378	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑌)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘)))
8	5, 7	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑌)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘)))
9		fvexd 6848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ V)
10		radcnvlem2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )
11		radcnv.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
12	6, 11, 5	psergf 26379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌):ℕ0⟶ℂ)
13	12	ffvelcdmda 7029	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑌)‘𝑘) ∈ ℂ)
14	1, 2, 9, 10, 13	serf0 15606	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ⇝ 0)
15	1, 2, 4, 8, 14	climi0 15437	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)
16		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
17		nn0re 12412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
19		psergf.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
21	20	abscld 15364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
22	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 𝑌 ∈ ℂ)
23	22	abscld 15364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
24		0red 11137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25	19	abscld 15364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
26	5	abscld 15364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
27	19	absge0d 15372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
28		radcnvlem2.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
29	24, 25, 26, 27, 28	lelttrd 11293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘𝑌))
30	29	gt0ne0d 11703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ≠ 0)
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑌) ≠ 0)
32	21, 23, 31	redivcld 11971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℝ)
33		reexpcl 14003	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖) ∈ ℝ)
34	32, 33	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖) ∈ ℝ)
35	18, 34	remulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)) ∈ ℝ)
36		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))
37	35, 36	fmptd 7059	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖))):ℕ0⟶ℝ)
38	37	ffvelcdmda 7029	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚) ∈ ℝ)
39		nn0re 12412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
41	6, 11, 19	psergf 26379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
42	41	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑚) ∈ ℂ)
43	42	abscld 15364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) ∈ ℝ)
44	40, 43	remulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ∈ ℝ)
45		radcnvlem1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
46	44, 45	fmptd 7059	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ0⟶ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 𝐻:ℕ0⟶ℝ)
48	47	ffvelcdmda 7029	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑚) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11162	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑚) ∈ ℂ)
50	25, 26, 30	redivcld 11971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℂ)
52		divge0 12013	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑋)) ∧ ((abs‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝑌))) → 0 ≤ ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)))
53	25, 27, 26, 29, 52	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)))
54	50, 53	absidd 15348	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))) = ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)))
55	26	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℂ)
56	55	mulridd 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) · 1) = (abs‘𝑌))
57	28, 56	breqtrrd 5125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < ((abs‘𝑌) · 1))
58		1red 11135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
59		ltdivmul 12019	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝑌))) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) < 1 ↔ (abs‘𝑋) < ((abs‘𝑌) · 1)))
60	25, 58, 26, 29, 59	syl112anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) < 1 ↔ (abs‘𝑋) < ((abs‘𝑌) · 1)))
61	57, 60	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) < 1)
62	54, 61	eqbrtrd 5119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))) < 1)
63	36	geomulcvg 15801	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))) < 1) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
64	51, 62, 63	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
65	64	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
66		1red 11135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 1 ∈ ℝ)
67	41	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
68		eluznn0 12832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
69	16, 68	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
70	67, 69	ffvelcdmd 7030	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑚) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15364	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) ∈ ℝ)
72	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℝ)
73	72, 69	reexpcld 14088	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚) ∈ ℝ)
74	69	nn0red 12465	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ ℝ)
75	69	nn0ge0d 12467	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ 𝑚)
76	11	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
77	76, 69	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
78	5	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑌 ∈ ℂ)
79	78, 69	expcld 14071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑌↑𝑚) ∈ ℂ)
80	77, 79	mulcld 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)) ∈ ℂ)
81	80	abscld 15364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ∈ ℝ)
82		1red 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
83	19	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑋 ∈ ℂ)
84	83	abscld 15364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
85	84, 69	reexpcld 14088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝑋)↑𝑚) ∈ ℝ)
86	83	absge0d 15372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
87	84, 69, 86	expge0d 14089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑚))
88		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)
89		fveq2 6833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑚))
90		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑌↑𝑘) = (𝑌↑𝑚))
91	89, 90	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)))
92	91	fveq2d 6837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) = (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))))
93	92	breq1d 5107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1 ↔ (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1))
94	93	rspccva 3574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1)
95	88, 94	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1)
96		1re 11134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
97		ltle 11223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1 → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ≤ 1))
98	81, 96, 97	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1 → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ≤ 1))
99	95, 98	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ≤ 1)
100	81, 82, 85, 87, 99	lemul1ad 12083	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · ((abs‘𝑋)↑𝑚)) ≤ (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑚)))
101	83, 69	expcld 14071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑋↑𝑚) ∈ ℂ)
102	77, 101	mulcld 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) ∈ ℂ)
103	102, 79	absmuld 15382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) · (𝑌↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · (abs‘(𝑌↑𝑚))))
104	80, 101	absmuld 15382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)) · (𝑋↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · (abs‘(𝑋↑𝑚))))
105	77, 79, 101	mul32d 11345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)) · (𝑋↑𝑚)) = (((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) · (𝑌↑𝑚)))
106	105	fveq2d 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)) · (𝑋↑𝑚))) = (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) · (𝑌↑𝑚))))
107	83, 69	absexpd 15380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝑋↑𝑚)) = ((abs‘𝑋)↑𝑚))
108	107	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · (abs‘(𝑋↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · ((abs‘𝑋)↑𝑚)))
109	104, 106, 108	3eqtr3d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) · (𝑌↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · ((abs‘𝑋)↑𝑚)))
110	78, 69	absexpd 15380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝑌↑𝑚)) = ((abs‘𝑌)↑𝑚))
111	110	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · (abs‘(𝑌↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)))
112	103, 109, 111	3eqtr3d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · ((abs‘𝑋)↑𝑚)) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)))
113	85	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝑋)↑𝑚) ∈ ℂ)
114	113	mullidd 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑚)) = ((abs‘𝑋)↑𝑚))
115	100, 112, 114	3brtr3d 5128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)) ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑚))
116	102	abscld 15364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ∈ ℝ)
117	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
118	117, 69	reexpcld 14088	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝑌)↑𝑚) ∈ ℝ)
119		eluzelz 12763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑚 ∈ ℤ)
120	119	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ ℤ)
121	29	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < (abs‘𝑌))
122		expgt0 14020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 0 < (abs‘𝑌)) → 0 < ((abs‘𝑌)↑𝑚))
123	117, 120, 121, 122	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < ((abs‘𝑌)↑𝑚))
124		lemuldiv 12024	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝑋)↑𝑚) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝑌)↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 < ((abs‘𝑌)↑𝑚))) → (((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)) ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑚) ↔ (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ≤ (((abs‘𝑋)↑𝑚) / ((abs‘𝑌)↑𝑚))))
125	116, 85, 118, 123, 124	syl112anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)) ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑚) ↔ (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ≤ (((abs‘𝑋)↑𝑚) / ((abs‘𝑌)↑𝑚))))
126	115, 125	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ≤ (((abs‘𝑋)↑𝑚) / ((abs‘𝑌)↑𝑚)))
127	6	pserval2 26378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑚) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)))
128	83, 69, 127	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑚) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)))
129	128	fveq2d 6837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) = (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))))
130	21	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
131	130	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
132	23	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑌) ∈ ℂ)
133	132	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑌) ∈ ℂ)
134	30	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑌) ≠ 0)
135	131, 133, 134, 69	expdivd 14085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚) = (((abs‘𝑋)↑𝑚) / ((abs‘𝑌)↑𝑚)))
136	126, 129, 135	3brtr4d 5129	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) ≤ (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))
137	71, 73, 74, 75, 136	lemul2ad 12084	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ≤ (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
138	74, 71	remulcld 11164	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ∈ ℝ)
139	70	absge0d 15372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))
140	74, 71, 75, 139	mulge0d 11716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
141	138, 140	absidd 15348	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
142	74, 73	remulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)) ∈ ℝ)
143	142	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)) ∈ ℂ)
144	143	mullidd 11152	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (1 · (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))) = (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
145	137, 141, 144	3brtr4d 5129	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) ≤ (1 · (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))))
146		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ∈ V
147	45	fvmpt2 6952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ∈ V) → (𝐻‘𝑚) = (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
148	69, 146, 147	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐻‘𝑚) = (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
149	148	fveq2d 6837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐻‘𝑚)) = (abs‘(𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))))
150		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑖 = 𝑚)
151		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖) = (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))
152	150, 151	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)) = (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
153		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)) ∈ V
154	152, 36, 153	fvmpt 6940	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚) = (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
155	69, 154	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚) = (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
156	155	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (1 · ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚)) = (1 · (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))))
157	145, 149, 156	3brtr4d 5129	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐻‘𝑚)) ≤ (1 · ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚)))
158	1, 16, 38, 49, 65, 66, 157	cvgcmpce 15743	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
159	15, 158	rexlimddv 3142	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  Vcvv 3439   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  dom cdm 5623  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11796  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753  ℝ⁺crp 12907  seqcseq 13926  ↑cexp 13986  abscabs 15159   ⇝ cli 15409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-pm 8768  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-ico 13269  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612

This theorem is referenced by:  radcnvlem2  26381  radcnvlt1  26385