Theorem radcnvlem1 26362

Description: Lemma for radcnvlt1 26367, radcnvle 26369. If 𝑋 is a point closer to zero than 𝑌 and the power series converges at 𝑌, then it converges absolutely at 𝑋, even if the terms in the sequence are multiplied by 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
radcnvlem2.a	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
radcnvlem2.c	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )
radcnvlem1.h	⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem1	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐴   𝑚,𝐻   𝜑,𝑚   𝑚,𝑋   𝑚,𝐺   𝑚,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem1

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12895	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		1rp 13011	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5		radcnvlem2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6		pser.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
7	6	pserval2 26360	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑌)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘)))
8	5, 7	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑌)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘)))
9		fvexd 6912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ V)
10		radcnvlem2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )
11		radcnv.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
12	6, 11, 5	psergf 26361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌):ℕ0⟶ℂ)
13	12	ffvelcdmda 7094	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑌)‘𝑘) ∈ ℂ)
14	1, 2, 9, 10, 13	serf0 15660	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ⇝ 0)
15	1, 2, 4, 8, 14	climi0 15489	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)
16		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
17		nn0re 12512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
19		psergf.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
21	20	abscld 15416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
22	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 𝑌 ∈ ℂ)
23	22	abscld 15416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
24		0red 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25	19	abscld 15416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
26	5	abscld 15416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
27	19	absge0d 15424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
28		radcnvlem2.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
29	24, 25, 26, 27, 28	lelttrd 11403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘𝑌))
30	29	gt0ne0d 11809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ≠ 0)
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑌) ≠ 0)
32	21, 23, 31	redivcld 12073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℝ)
33		reexpcl 14076	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖) ∈ ℝ)
34	32, 33	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖) ∈ ℝ)
35	18, 34	remulcld 11275	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)) ∈ ℝ)
36		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))
37	35, 36	fmptd 7124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖))):ℕ0⟶ℝ)
38	37	ffvelcdmda 7094	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚) ∈ ℝ)
39		nn0re 12512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
41	6, 11, 19	psergf 26361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
42	41	ffvelcdmda 7094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑚) ∈ ℂ)
43	42	abscld 15416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) ∈ ℝ)
44	40, 43	remulcld 11275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ∈ ℝ)
45		radcnvlem1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
46	44, 45	fmptd 7124	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ0⟶ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 𝐻:ℕ0⟶ℝ)
48	47	ffvelcdmda 7094	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑚) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11273	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑚) ∈ ℂ)
50	25, 26, 30	redivcld 12073	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℂ)
52		divge0 12114	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑋)) ∧ ((abs‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝑌))) → 0 ≤ ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)))
53	25, 27, 26, 29, 52	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)))
54	50, 53	absidd 15402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))) = ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)))
55	26	recnd 11273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℂ)
56	55	mulridd 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) · 1) = (abs‘𝑌))
57	28, 56	breqtrrd 5176	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < ((abs‘𝑌) · 1))
58		1red 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
59		ltdivmul 12120	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝑌))) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) < 1 ↔ (abs‘𝑋) < ((abs‘𝑌) · 1)))
60	25, 58, 26, 29, 59	syl112anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) < 1 ↔ (abs‘𝑋) < ((abs‘𝑌) · 1)))
61	57, 60	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) < 1)
62	54, 61	eqbrtrd 5170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))) < 1)
63	36	geomulcvg 15855	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))) < 1) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
64	51, 62, 63	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
65	64	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
66		1red 11246	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 1 ∈ ℝ)
67	41	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
68		eluznn0 12932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
69	16, 68	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
70	67, 69	ffvelcdmd 7095	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑚) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15416	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) ∈ ℝ)
72	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℝ)
73	72, 69	reexpcld 14160	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚) ∈ ℝ)
74	69	nn0red 12564	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ ℝ)
75	69	nn0ge0d 12566	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ 𝑚)
76	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
77	76, 69	ffvelcdmd 7095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
78	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑌 ∈ ℂ)
79	78, 69	expcld 14143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑌↑𝑚) ∈ ℂ)
80	77, 79	mulcld 11265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)) ∈ ℂ)
81	80	abscld 15416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ∈ ℝ)
82		1red 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
83	19	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑋 ∈ ℂ)
84	83	abscld 15416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
85	84, 69	reexpcld 14160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝑋)↑𝑚) ∈ ℝ)
86	83	absge0d 15424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
87	84, 69, 86	expge0d 14161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑚))
88		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)
89		fveq2 6897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑚))
90		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑌↑𝑘) = (𝑌↑𝑚))
91	89, 90	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)))
92	91	fveq2d 6901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) = (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))))
93	92	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1 ↔ (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1))
94	93	rspccva 3608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1)
95	88, 94	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1)
96		1re 11245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
97		ltle 11333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1 → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ≤ 1))
98	81, 96, 97	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1 → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ≤ 1))
99	95, 98	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ≤ 1)
100	81, 82, 85, 87, 99	lemul1ad 12184	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · ((abs‘𝑋)↑𝑚)) ≤ (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑚)))
101	83, 69	expcld 14143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑋↑𝑚) ∈ ℂ)
102	77, 101	mulcld 11265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) ∈ ℂ)
103	102, 79	absmuld 15434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) · (𝑌↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · (abs‘(𝑌↑𝑚))))
104	80, 101	absmuld 15434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)) · (𝑋↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · (abs‘(𝑋↑𝑚))))
105	77, 79, 101	mul32d 11455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)) · (𝑋↑𝑚)) = (((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) · (𝑌↑𝑚)))
106	105	fveq2d 6901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)) · (𝑋↑𝑚))) = (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) · (𝑌↑𝑚))))
107	83, 69	absexpd 15432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝑋↑𝑚)) = ((abs‘𝑋)↑𝑚))
108	107	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · (abs‘(𝑋↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · ((abs‘𝑋)↑𝑚)))
109	104, 106, 108	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) · (𝑌↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · ((abs‘𝑋)↑𝑚)))
110	78, 69	absexpd 15432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝑌↑𝑚)) = ((abs‘𝑌)↑𝑚))
111	110	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · (abs‘(𝑌↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)))
112	103, 109, 111	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · ((abs‘𝑋)↑𝑚)) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)))
113	85	recnd 11273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝑋)↑𝑚) ∈ ℂ)
114	113	mullidd 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑚)) = ((abs‘𝑋)↑𝑚))
115	100, 112, 114	3brtr3d 5179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)) ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑚))
116	102	abscld 15416	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ∈ ℝ)
117	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
118	117, 69	reexpcld 14160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝑌)↑𝑚) ∈ ℝ)
119		eluzelz 12863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑚 ∈ ℤ)
120	119	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ ℤ)
121	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < (abs‘𝑌))
122		expgt0 14093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 0 < (abs‘𝑌)) → 0 < ((abs‘𝑌)↑𝑚))
123	117, 120, 121, 122	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < ((abs‘𝑌)↑𝑚))
124		lemuldiv 12125	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝑋)↑𝑚) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝑌)↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 < ((abs‘𝑌)↑𝑚))) → (((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)) ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑚) ↔ (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ≤ (((abs‘𝑋)↑𝑚) / ((abs‘𝑌)↑𝑚))))
125	116, 85, 118, 123, 124	syl112anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)) ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑚) ↔ (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ≤ (((abs‘𝑋)↑𝑚) / ((abs‘𝑌)↑𝑚))))
126	115, 125	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ≤ (((abs‘𝑋)↑𝑚) / ((abs‘𝑌)↑𝑚)))
127	6	pserval2 26360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑚) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)))
128	83, 69, 127	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑚) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)))
129	128	fveq2d 6901	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) = (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))))
130	21	recnd 11273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
131	130	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
132	23	recnd 11273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑌) ∈ ℂ)
133	132	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑌) ∈ ℂ)
134	30	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑌) ≠ 0)
135	131, 133, 134, 69	expdivd 14157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚) = (((abs‘𝑋)↑𝑚) / ((abs‘𝑌)↑𝑚)))
136	126, 129, 135	3brtr4d 5180	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) ≤ (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))
137	71, 73, 74, 75, 136	lemul2ad 12185	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ≤ (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
138	74, 71	remulcld 11275	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ∈ ℝ)
139	70	absge0d 15424	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))
140	74, 71, 75, 139	mulge0d 11822	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
141	138, 140	absidd 15402	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
142	74, 73	remulcld 11275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)) ∈ ℝ)
143	142	recnd 11273	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)) ∈ ℂ)
144	143	mullidd 11263	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (1 · (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))) = (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
145	137, 141, 144	3brtr4d 5180	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) ≤ (1 · (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))))
146		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ∈ V
147	45	fvmpt2 7016	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ∈ V) → (𝐻‘𝑚) = (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
148	69, 146, 147	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐻‘𝑚) = (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
149	148	fveq2d 6901	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐻‘𝑚)) = (abs‘(𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))))
150		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑖 = 𝑚)
151		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖) = (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))
152	150, 151	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)) = (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
153		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)) ∈ V
154	152, 36, 153	fvmpt 7005	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚) = (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
155	69, 154	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚) = (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
156	155	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (1 · ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚)) = (1 · (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))))
157	145, 149, 156	3brtr4d 5180	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐻‘𝑚)) ≤ (1 · ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚)))
158	1, 16, 38, 49, 65, 66, 157	cvgcmpce 15797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
159	15, 158	rexlimddv 3158	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  Vcvv 3471   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5678  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  ℝcr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144   < clt 11279   ≤ cle 11280   / cdiv 11902  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12589  ℤ_≥cuz 12853  ℝ⁺crp 13007  seqcseq 13999  ↑cexp 14059  abscabs 15214   ⇝ cli 15461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666

This theorem is referenced by:  radcnvlem2  26363  radcnvlt1  26367