Theorem radcnvlem1 26474

Description: Lemma for radcnvlt1 26479, radcnvle 26481. If 𝑋 is a point closer to zero than 𝑌 and the power series converges at 𝑌, then it converges absolutely at 𝑋, even if the terms in the sequence are multiplied by 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
radcnvlem2.a	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
radcnvlem2.c	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )
radcnvlem1.h	⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem1	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐴   𝑚,𝐻   𝜑,𝑚   𝑚,𝑋   𝑚,𝐺   𝑚,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem1

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12945	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12651	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		1rp 13061	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5		radcnvlem2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6		pser.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
7	6	pserval2 26472	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑌)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘)))
8	5, 7	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑌)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘)))
9		fvexd 6935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ V)
10		radcnvlem2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )
11		radcnv.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
12	6, 11, 5	psergf 26473	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌):ℕ0⟶ℂ)
13	12	ffvelcdmda 7118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑌)‘𝑘) ∈ ℂ)
14	1, 2, 9, 10, 13	serf0 15729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ⇝ 0)
15	1, 2, 4, 8, 14	climi0 15558	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)
16		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
17		nn0re 12562	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
19		psergf.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
21	20	abscld 15485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
22	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 𝑌 ∈ ℂ)
23	22	abscld 15485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
24		0red 11293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25	19	abscld 15485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
26	5	abscld 15485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
27	19	absge0d 15493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
28		radcnvlem2.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
29	24, 25, 26, 27, 28	lelttrd 11448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘𝑌))
30	29	gt0ne0d 11854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ≠ 0)
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑌) ≠ 0)
32	21, 23, 31	redivcld 12122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℝ)
33		reexpcl 14129	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖) ∈ ℝ)
34	32, 33	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖) ∈ ℝ)
35	18, 34	remulcld 11320	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)) ∈ ℝ)
36		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))
37	35, 36	fmptd 7148	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖))):ℕ0⟶ℝ)
38	37	ffvelcdmda 7118	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚) ∈ ℝ)
39		nn0re 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
41	6, 11, 19	psergf 26473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
42	41	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑚) ∈ ℂ)
43	42	abscld 15485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) ∈ ℝ)
44	40, 43	remulcld 11320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ∈ ℝ)
45		radcnvlem1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
46	44, 45	fmptd 7148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ0⟶ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 𝐻:ℕ0⟶ℝ)
48	47	ffvelcdmda 7118	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑚) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11318	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑚) ∈ ℂ)
50	25, 26, 30	redivcld 12122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℂ)
52		divge0 12164	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑋)) ∧ ((abs‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝑌))) → 0 ≤ ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)))
53	25, 27, 26, 29, 52	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)))
54	50, 53	absidd 15471	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))) = ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)))
55	26	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℂ)
56	55	mulridd 11307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) · 1) = (abs‘𝑌))
57	28, 56	breqtrrd 5194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < ((abs‘𝑌) · 1))
58		1red 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
59		ltdivmul 12170	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝑌))) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) < 1 ↔ (abs‘𝑋) < ((abs‘𝑌) · 1)))
60	25, 58, 26, 29, 59	syl112anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) < 1 ↔ (abs‘𝑋) < ((abs‘𝑌) · 1)))
61	57, 60	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) < 1)
62	54, 61	eqbrtrd 5188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))) < 1)
63	36	geomulcvg 15924	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))) < 1) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
64	51, 62, 63	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
65	64	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
66		1red 11291	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → 1 ∈ ℝ)
67	41	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
68		eluznn0 12982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
69	16, 68	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
70	67, 69	ffvelcdmd 7119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑚) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) ∈ ℝ)
72	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌)) ∈ ℝ)
73	72, 69	reexpcld 14213	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚) ∈ ℝ)
74	69	nn0red 12614	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ ℝ)
75	69	nn0ge0d 12616	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ 𝑚)
76	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
77	76, 69	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
78	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑌 ∈ ℂ)
79	78, 69	expcld 14196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑌↑𝑚) ∈ ℂ)
80	77, 79	mulcld 11310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)) ∈ ℂ)
81	80	abscld 15485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ∈ ℝ)
82		1red 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
83	19	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑋 ∈ ℂ)
84	83	abscld 15485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
85	84, 69	reexpcld 14213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝑋)↑𝑚) ∈ ℝ)
86	83	absge0d 15493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
87	84, 69, 86	expge0d 14214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑚))
88		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)
89		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑚))
90		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑌↑𝑘) = (𝑌↑𝑚))
91	89, 90	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)))
92	91	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) = (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))))
93	92	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1 ↔ (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1))
94	93	rspccva 3634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1)
95	88, 94	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1)
96		1re 11290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
97		ltle 11378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1 → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ≤ 1))
98	81, 96, 97	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) < 1 → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ≤ 1))
99	95, 98	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) ≤ 1)
100	81, 82, 85, 87, 99	lemul1ad 12234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · ((abs‘𝑋)↑𝑚)) ≤ (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑚)))
101	83, 69	expcld 14196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑋↑𝑚) ∈ ℂ)
102	77, 101	mulcld 11310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) ∈ ℂ)
103	102, 79	absmuld 15503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) · (𝑌↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · (abs‘(𝑌↑𝑚))))
104	80, 101	absmuld 15503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)) · (𝑋↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · (abs‘(𝑋↑𝑚))))
105	77, 79, 101	mul32d 11500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)) · (𝑋↑𝑚)) = (((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) · (𝑌↑𝑚)))
106	105	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚)) · (𝑋↑𝑚))) = (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) · (𝑌↑𝑚))))
107	83, 69	absexpd 15501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝑋↑𝑚)) = ((abs‘𝑋)↑𝑚))
108	107	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · (abs‘(𝑋↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · ((abs‘𝑋)↑𝑚)))
109	104, 106, 108	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) · (𝑌↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · ((abs‘𝑋)↑𝑚)))
110	78, 69	absexpd 15501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝑌↑𝑚)) = ((abs‘𝑌)↑𝑚))
111	110	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · (abs‘(𝑌↑𝑚))) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)))
112	103, 109, 111	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑌↑𝑚))) · ((abs‘𝑋)↑𝑚)) = ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)))
113	85	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝑋)↑𝑚) ∈ ℂ)
114	113	mullidd 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑚)) = ((abs‘𝑋)↑𝑚))
115	100, 112, 114	3brtr3d 5197	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)) ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑚))
116	102	abscld 15485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ∈ ℝ)
117	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
118	117, 69	reexpcld 14213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝑌)↑𝑚) ∈ ℝ)
119		eluzelz 12913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑚 ∈ ℤ)
120	119	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ ℤ)
121	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < (abs‘𝑌))
122		expgt0 14146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 0 < (abs‘𝑌)) → 0 < ((abs‘𝑌)↑𝑚))
123	117, 120, 121, 122	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < ((abs‘𝑌)↑𝑚))
124		lemuldiv 12175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝑋)↑𝑚) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝑌)↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 < ((abs‘𝑌)↑𝑚))) → (((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)) ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑚) ↔ (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ≤ (((abs‘𝑋)↑𝑚) / ((abs‘𝑌)↑𝑚))))
125	116, 85, 118, 123, 124	syl112anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) · ((abs‘𝑌)↑𝑚)) ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑚) ↔ (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ≤ (((abs‘𝑋)↑𝑚) / ((abs‘𝑌)↑𝑚))))
126	115, 125	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ≤ (((abs‘𝑋)↑𝑚) / ((abs‘𝑌)↑𝑚)))
127	6	pserval2 26472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑚) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)))
128	83, 69, 127	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑚) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)))
129	128	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) = (abs‘((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))))
130	21	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
131	130	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
132	23	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → (abs‘𝑌) ∈ ℂ)
133	132	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑌) ∈ ℂ)
134	30	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑌) ≠ 0)
135	131, 133, 134, 69	expdivd 14210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚) = (((abs‘𝑋)↑𝑚) / ((abs‘𝑌)↑𝑚)))
136	126, 129, 135	3brtr4d 5198	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) ≤ (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))
137	71, 73, 74, 75, 136	lemul2ad 12235	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ≤ (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
138	74, 71	remulcld 11320	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ∈ ℝ)
139	70	absge0d 15493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))
140	74, 71, 75, 139	mulge0d 11867	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
141	138, 140	absidd 15471	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
142	74, 73	remulcld 11320	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)) ∈ ℝ)
143	142	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)) ∈ ℂ)
144	143	mullidd 11308	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (1 · (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))) = (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
145	137, 141, 144	3brtr4d 5198	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) ≤ (1 · (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))))
146		ovex 7481	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ∈ V
147	45	fvmpt2 7040	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) ∈ V) → (𝐻‘𝑚) = (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
148	69, 146, 147	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐻‘𝑚) = (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
149	148	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐻‘𝑚)) = (abs‘(𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))))
150		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑖 = 𝑚)
151		oveq2 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖) = (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))
152	150, 151	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)) = (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
153		ovex 7481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)) ∈ V
154	152, 36, 153	fvmpt 7029	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚) = (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
155	69, 154	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚) = (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚)))
156	155	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (1 · ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚)) = (1 · (𝑚 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑚))))
157	145, 149, 156	3brtr4d 5198	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐻‘𝑚)) ≤ (1 · ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (((abs‘𝑋) / (abs‘𝑌))↑𝑖)))‘𝑚)))
158	1, 16, 38, 49, 65, 66, 157	cvgcmpce 15866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑌↑𝑘))) < 1)) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
159	15, 158	rexlimddv 3167	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  Vcvv 3488   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  seqcseq 14052  ↑cexp 14112  abscabs 15283   ⇝ cli 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  radcnvlem2  26475  radcnvlt1  26479