MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnv0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem radcnv0 26302
Description: Zero is always a convergent point for any power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
radcnv0 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ })
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝐺,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem radcnv0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6884 . . . 4 (π‘Ÿ = 0 β†’ (πΊβ€˜π‘Ÿ) = (πΊβ€˜0))
21seqeq3d 13977 . . 3 (π‘Ÿ = 0 β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) = seq0( + , (πΊβ€˜0)))
32eleq1d 2812 . 2 (π‘Ÿ = 0 β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (πΊβ€˜0)) ∈ dom ⇝ ))
4 0red 11218 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
5 nn0uz 12865 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6 0zd 12571 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
7 snfi 9043 . . . 4 {0} ∈ Fin
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {0} ∈ Fin)
9 0nn0 12488 . . . . 5 0 ∈ β„•0
109a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
1110snssd 4807 . . 3 (πœ‘ β†’ {0} βŠ† β„•0)
12 ifid 4563 . . . 4 if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜)) = ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜)
13 0cnd 11208 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
14 pser.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
1514pserval2 26297 . . . . . . . 8 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
1613, 15sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
1716adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
19 elnn0 12475 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
2120ord 861 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ = 0))
22 velsn 4639 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {0} ↔ π‘˜ = 0)
2321, 22imbitrrdi 251 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ {0}))
2423con1d 145 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ {0} β†’ π‘˜ ∈ β„•))
2524imp 406 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
26250expd 14106 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ (0β†‘π‘˜) = 0)
2726oveq2d 7420 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0))
28 radcnv.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2928ffvelcdmda 7079 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3029adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3130mul01d 11414 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0) = 0)
3217, 27, 313eqtrd 2770 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = 0)
3332ifeq2da 4555 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜)) = if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), 0))
3412, 33eqtr3id 2780 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), 0))
3511sselda 3977 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {0}) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3614, 28, 13psergf 26298 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜0):β„•0βŸΆβ„‚)
3736ffvelcdmda 7079 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3835, 37syldan 590 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
395, 6, 8, 11, 34, 38fsumcvg3 15678 . 2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜0)) ∈ dom ⇝ )
403, 4, 39elrabd 3680 1 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  ifcif 4523  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  seqcseq 13969  β†‘cexp 14029   ⇝ cli 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435
This theorem is referenced by:  radcnvcl  26303  radcnvrat  43631
  Copyright terms: Public domain W3C validator