Theorem radcnv0 26377

Description: Zero is always a convergent point for any power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
radcnv0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ })

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnv0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6876	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 0 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘0))
2	1	seqeq3d 14027	. . 3 ⊢ (𝑟 = 0 → seq0( + , (𝐺‘𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘0)))
3	2	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝑟 = 0 → (seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘0)) ∈ dom ⇝ ))
4		0red 11238	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5		nn0uz 12894	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		0zd 12600	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
7		snfi 9057	. . . 4 ⊢ {0} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {0} ∈ Fin)
9		0nn0 12516	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
11	10	snssd 4785	. . 3 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℕ0)
12		ifid 4541	. . . 4 ⊢ if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), ((𝐺‘0)‘𝑘)) = ((𝐺‘0)‘𝑘)
13		0cnd 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
14		pser.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
15	14	pserval2 26372	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
16	13, 15	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19		elnn0 12503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
20	18, 19	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
21	20	ord 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
22		velsn 4617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
23	21, 22	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ {0}))
24	23	con1d 145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ {0} → 𝑘 ∈ ℕ))
25	24	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → 𝑘 ∈ ℕ)
26	25	0expd 14157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → (0↑𝑘) = 0)
27	26	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · 0))
28		radcnv.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
29	28	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
31	30	mul01d 11434	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐴‘𝑘) · 0) = 0)
32	17, 27, 31	3eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = 0)
33	32	ifeq2da 4533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), ((𝐺‘0)‘𝑘)) = if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), 0))
34	12, 33	eqtr3id 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), 0))
35	11	sselda 3958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36	14, 28, 13	psergf 26373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0):ℕ0⟶ℂ)
37	36	ffvelcdmda 7074	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
38	35, 37	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
39	5, 6, 8, 11, 34, 38	fsumcvg3 15745	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘0)) ∈ dom ⇝ )
40	3, 4, 39	elrabd 3673	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415  ifcif 4500  {csn 4601   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129   + caddc 11132   · cmul 11134  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  seqcseq 14019  ↑cexp 14079   ⇝ cli 15500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504

This theorem is referenced by:  radcnvcl  26378  radcnvrat  44338