MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnv0 25791
Description: Zero is always a convergent point for any power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
radcnv0 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ })
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝐺,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem radcnv0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6847 . . . 4 (π‘Ÿ = 0 β†’ (πΊβ€˜π‘Ÿ) = (πΊβ€˜0))
21seqeq3d 13921 . . 3 (π‘Ÿ = 0 β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) = seq0( + , (πΊβ€˜0)))
32eleq1d 2823 . 2 (π‘Ÿ = 0 β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (πΊβ€˜0)) ∈ dom ⇝ ))
4 0red 11165 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
5 nn0uz 12812 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6 0zd 12518 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
7 snfi 8995 . . . 4 {0} ∈ Fin
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {0} ∈ Fin)
9 0nn0 12435 . . . . 5 0 ∈ β„•0
109a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
1110snssd 4774 . . 3 (πœ‘ β†’ {0} βŠ† β„•0)
12 ifid 4531 . . . 4 if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜)) = ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜)
13 0cnd 11155 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
14 pser.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
1514pserval2 25786 . . . . . . . 8 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
1613, 15sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
1716adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
18 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
19 elnn0 12422 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
2120ord 863 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ = 0))
22 velsn 4607 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {0} ↔ π‘˜ = 0)
2321, 22syl6ibr 252 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ {0}))
2423con1d 145 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ {0} β†’ π‘˜ ∈ β„•))
2524imp 408 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
26250expd 14051 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ (0β†‘π‘˜) = 0)
2726oveq2d 7378 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0))
28 radcnv.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2928ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3029adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3130mul01d 11361 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0) = 0)
3217, 27, 313eqtrd 2781 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = 0)
3332ifeq2da 4523 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜)) = if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), 0))
3412, 33eqtr3id 2791 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), 0))
3511sselda 3949 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {0}) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3614, 28, 13psergf 25787 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜0):β„•0βŸΆβ„‚)
3736ffvelcdmda 7040 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3835, 37syldan 592 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
395, 6, 8, 11, 34, 38fsumcvg3 15621 . 2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜0)) ∈ dom ⇝ )
403, 4, 39elrabd 3652 1 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410  ifcif 4491  {csn 4591   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974   ⇝ cli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377
This theorem is referenced by:  radcnvcl  25792  radcnvrat  42668
  Copyright terms: Public domain W3C validator