MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnv0 25775
Description: Zero is always a convergent point for any power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
radcnv0 (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnv0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6842 . . . 4 (𝑟 = 0 → (𝐺𝑟) = (𝐺‘0))
21seqeq3d 13914 . . 3 (𝑟 = 0 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘0)))
32eleq1d 2822 . 2 (𝑟 = 0 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘0)) ∈ dom ⇝ ))
4 0red 11158 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 nn0uz 12805 . . 3 0 = (ℤ‘0)
6 0zd 12511 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
7 snfi 8988 . . . 4 {0} ∈ Fin
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → {0} ∈ Fin)
9 0nn0 12428 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
109a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
1110snssd 4769 . . 3 (𝜑 → {0} ⊆ ℕ0)
12 ifid 4526 . . . 4 if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), ((𝐺‘0)‘𝑘)) = ((𝐺‘0)‘𝑘)
13 0cnd 11148 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
14 pser.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
1514pserval2 25770 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
1613, 15sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
1716adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19 elnn0 12415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
2120ord 862 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
22 velsn 4602 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
2321, 22syl6ibr 251 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ {0}))
2423con1d 145 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ {0} → 𝑘 ∈ ℕ))
2524imp 407 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → 𝑘 ∈ ℕ)
26250expd 14044 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → (0↑𝑘) = 0)
2726oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴𝑘) · 0))
28 radcnv.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2928ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3029adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3130mul01d 11354 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
3217, 27, 313eqtrd 2780 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = 0)
3332ifeq2da 4518 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), ((𝐺‘0)‘𝑘)) = if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), 0))
3412, 33eqtr3id 2790 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), 0))
3511sselda 3944 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {0}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3614, 28, 13psergf 25771 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘0):ℕ0⟶ℂ)
3736ffvelcdmda 7035 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
3835, 37syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
395, 6, 8, 11, 34, 38fsumcvg3 15614 . 2 (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘0)) ∈ dom ⇝ )
403, 4, 39elrabd 3647 1 (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  ifcif 4486  {csn 4586  cmpt 5188  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  cn 12153  0cn0 12413  seqcseq 13906  cexp 13967  cli 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370
This theorem is referenced by:  radcnvcl  25776  radcnvrat  42584
  Copyright terms: Public domain W3C validator