Theorem radcnv0 26397

Description: Zero is always a convergent point for any power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
radcnv0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ })

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnv0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6896	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 0 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘0))
2	1	seqeq3d 14010	. . 3 ⊢ (𝑟 = 0 → seq0( + , (𝐺‘𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘0)))
3	2	eleq1d 2810	. 2 ⊢ (𝑟 = 0 → (seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘0)) ∈ dom ⇝ ))
4		0red 11249	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5		nn0uz 12897	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		0zd 12603	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
7		snfi 9069	. . . 4 ⊢ {0} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {0} ∈ Fin)
9		0nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
11	10	snssd 4814	. . 3 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℕ0)
12		ifid 4570	. . . 4 ⊢ if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), ((𝐺‘0)‘𝑘)) = ((𝐺‘0)‘𝑘)
13		0cnd 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
14		pser.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
15	14	pserval2 26392	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
16	13, 15	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
17	16	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
18		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19		elnn0 12507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
20	18, 19	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
21	20	ord 862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
22		velsn 4646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
23	21, 22	imbitrrdi 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ {0}))
24	23	con1d 145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ {0} → 𝑘 ∈ ℕ))
25	24	imp 405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → 𝑘 ∈ ℕ)
26	25	0expd 14139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → (0↑𝑘) = 0)
27	26	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · 0))
28		radcnv.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
29	28	ffvelcdmda 7093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
30	29	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
31	30	mul01d 11445	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐴‘𝑘) · 0) = 0)
32	17, 27, 31	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = 0)
33	32	ifeq2da 4562	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), ((𝐺‘0)‘𝑘)) = if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), 0))
34	12, 33	eqtr3id 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), 0))
35	11	sselda 3976	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36	14, 28, 13	psergf 26393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0):ℕ0⟶ℂ)
37	36	ffvelcdmda 7093	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
38	35, 37	syldan 589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
39	5, 6, 8, 11, 34, 38	fsumcvg3 15711	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘0)) ∈ dom ⇝ )
40	3, 4, 39	elrabd 3681	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418  ifcif 4530  {csn 4630   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5678  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140   + caddc 11143   · cmul 11145  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505  seqcseq 14002  ↑cexp 14062   ⇝ cli 15464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468

This theorem is referenced by:  radcnvcl  26398  radcnvrat  43893