MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnv0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem radcnv0 25928
Description: Zero is always a convergent point for any power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
radcnv0 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ })
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝐺,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem radcnv0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . 4 (π‘Ÿ = 0 β†’ (πΊβ€˜π‘Ÿ) = (πΊβ€˜0))
21seqeq3d 13974 . . 3 (π‘Ÿ = 0 β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) = seq0( + , (πΊβ€˜0)))
32eleq1d 2819 . 2 (π‘Ÿ = 0 β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (πΊβ€˜0)) ∈ dom ⇝ ))
4 0red 11217 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
5 nn0uz 12864 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6 0zd 12570 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
7 snfi 9044 . . . 4 {0} ∈ Fin
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {0} ∈ Fin)
9 0nn0 12487 . . . . 5 0 ∈ β„•0
109a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
1110snssd 4813 . . 3 (πœ‘ β†’ {0} βŠ† β„•0)
12 ifid 4569 . . . 4 if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜)) = ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜)
13 0cnd 11207 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
14 pser.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
1514pserval2 25923 . . . . . . . 8 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
1613, 15sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
1716adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
18 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
19 elnn0 12474 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
2120ord 863 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ = 0))
22 velsn 4645 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {0} ↔ π‘˜ = 0)
2321, 22syl6ibr 252 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ {0}))
2423con1d 145 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ {0} β†’ π‘˜ ∈ β„•))
2524imp 408 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
26250expd 14104 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ (0β†‘π‘˜) = 0)
2726oveq2d 7425 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0))
28 radcnv.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2928ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3029adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3130mul01d 11413 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0) = 0)
3217, 27, 313eqtrd 2777 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = 0)
3332ifeq2da 4561 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜)) = if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), 0))
3412, 33eqtr3id 2787 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), 0))
3511sselda 3983 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {0}) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3614, 28, 13psergf 25924 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜0):β„•0βŸΆβ„‚)
3736ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3835, 37syldan 592 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
395, 6, 8, 11, 34, 38fsumcvg3 15675 . 2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜0)) ∈ dom ⇝ )
403, 4, 39elrabd 3686 1 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  ifcif 4529  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027   ⇝ cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432
This theorem is referenced by:  radcnvcl  25929  radcnvrat  43073
  Copyright terms: Public domain W3C validator