Theorem radcnv0 25480

Description: Zero is always a convergent point for any power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
radcnv0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ })

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnv0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6756	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 0 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘0))
2	1	seqeq3d 13657	. . 3 ⊢ (𝑟 = 0 → seq0( + , (𝐺‘𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘0)))
3	2	eleq1d 2823	. 2 ⊢ (𝑟 = 0 → (seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘0)) ∈ dom ⇝ ))
4		0red 10909	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5		nn0uz 12549	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		0zd 12261	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
7		snfi 8788	. . . 4 ⊢ {0} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {0} ∈ Fin)
9		0nn0 12178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
11	10	snssd 4739	. . 3 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℕ0)
12		ifid 4496	. . . 4 ⊢ if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), ((𝐺‘0)‘𝑘)) = ((𝐺‘0)‘𝑘)
13		0cnd 10899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
14		pser.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
15	14	pserval2 25475	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
16	13, 15	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19		elnn0 12165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
20	18, 19	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
21	20	ord 860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
22		velsn 4574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
23	21, 22	syl6ibr 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ {0}))
24	23	con1d 145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ {0} → 𝑘 ∈ ℕ))
25	24	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → 𝑘 ∈ ℕ)
26	25	0expd 13785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → (0↑𝑘) = 0)
27	26	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · 0))
28		radcnv.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
29	28	ffvelrnda 6943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
31	30	mul01d 11104	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐴‘𝑘) · 0) = 0)
32	17, 27, 31	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = 0)
33	32	ifeq2da 4488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), ((𝐺‘0)‘𝑘)) = if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), 0))
34	12, 33	eqtr3id 2793	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), 0))
35	11	sselda 3917	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36	14, 28, 13	psergf 25476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0):ℕ0⟶ℂ)
37	36	ffvelrnda 6943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
38	35, 37	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
39	5, 6, 8, 11, 34, 38	fsumcvg3 15369	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘0)) ∈ dom ⇝ )
40	3, 4, 39	elrabd 3619	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  ifcif 4456  {csn 4558   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  seqcseq 13649  ↑cexp 13710   ⇝ cli 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125

This theorem is referenced by:  radcnvcl  25481  radcnvrat  41821