MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnv0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem radcnv0 26372
Description: Zero is always a convergent point for any power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
radcnv0 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ })
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝐺,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem radcnv0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6902 . . . 4 (π‘Ÿ = 0 β†’ (πΊβ€˜π‘Ÿ) = (πΊβ€˜0))
21seqeq3d 14014 . . 3 (π‘Ÿ = 0 β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) = seq0( + , (πΊβ€˜0)))
32eleq1d 2814 . 2 (π‘Ÿ = 0 β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (πΊβ€˜0)) ∈ dom ⇝ ))
4 0red 11255 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
5 nn0uz 12902 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6 0zd 12608 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
7 snfi 9075 . . . 4 {0} ∈ Fin
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {0} ∈ Fin)
9 0nn0 12525 . . . . 5 0 ∈ β„•0
109a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
1110snssd 4817 . . 3 (πœ‘ β†’ {0} βŠ† β„•0)
12 ifid 4572 . . . 4 if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜)) = ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜)
13 0cnd 11245 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
14 pser.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
1514pserval2 26367 . . . . . . . 8 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
1613, 15sylan 578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
1716adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
18 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
19 elnn0 12512 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
2120ord 862 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ = 0))
22 velsn 4648 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {0} ↔ π‘˜ = 0)
2321, 22imbitrrdi 251 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ {0}))
2423con1d 145 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ {0} β†’ π‘˜ ∈ β„•))
2524imp 405 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
26250expd 14143 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ (0β†‘π‘˜) = 0)
2726oveq2d 7442 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0))
28 radcnv.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2928ffvelcdmda 7099 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3029adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3130mul01d 11451 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0) = 0)
3217, 27, 313eqtrd 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = 0)
3332ifeq2da 4564 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜)) = if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), 0))
3412, 33eqtr3id 2782 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ {0}, ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜), 0))
3511sselda 3982 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {0}) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3614, 28, 13psergf 26368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜0):β„•0βŸΆβ„‚)
3736ffvelcdmda 7099 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3835, 37syldan 589 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {0}) β†’ ((πΊβ€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
395, 6, 8, 11, 34, 38fsumcvg3 15715 . 2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜0)) ∈ dom ⇝ )
403, 4, 39elrabd 3686 1 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  ifcif 4532  {csn 4632   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149   Β· cmul 11151  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  seqcseq 14006  β†‘cexp 14066   ⇝ cli 15468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472
This theorem is referenced by:  radcnvcl  26373  radcnvrat  43782
  Copyright terms: Public domain W3C validator