Theorem pwdjuidm 10106

Description: If the natural numbers inject into 𝐴, then 𝒫 𝐴 is idempotent under cardinal sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjuidm	⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem pwdjuidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8890	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5676	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		pwdju1 10105	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
5		infdju1 10104	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
6		pwen 9079	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
8		entr 8944	. 2 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
9	4, 7, 8	syl2anc 590	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5073  ωcom 7807  1_oc1o 8389   ≈ cen 8881   ≼ cdom 8882   ⊔ cdju 9814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-dju 9817

This theorem is referenced by:  gchaclem  10593