MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdju1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdju1 10122
Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdju1 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem pwdju1
StepHypRef Expression
1 1on 8420 . . . . 5 1o ∈ On
2 pwdjuen 10113 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ 1o ∈ On) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
31, 2mpan2 689 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
4 pwexg 5331 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
5 1oex 8418 . . . . . 6 1o ∈ V
65pwex 5333 . . . . 5 𝒫 1o ∈ V
7 xpcomeng 9004 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 1o ∈ V) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
84, 6, 7sylancl 586 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
9 entr 8942 . . . 4 ((𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
103, 8, 9syl2anc 584 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
11 pwpw0 4771 . . . . . 6 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
12 df1o2 8415 . . . . . . 7 1o = {∅}
1312pweqi 4574 . . . . . 6 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14 df2o2 8417 . . . . . 6 2o = {∅, {∅}}
1511, 13, 143eqtr4i 2774 . . . . 5 𝒫 1o = 2o
1615xpeq1i 5657 . . . 4 (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (2o × 𝒫 𝐴)
17 xp2dju 10108 . . . 4 (2o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
1816, 17eqtri 2764 . . 3 (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
1910, 18breqtrdi 5144 . 2 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
2019ensymd 8941 1 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  Vcvv 3443  c0 4280  𝒫 cpw 4558  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103   × cxp 5629  Oncon0 6315  1oc1o 8401  2oc2o 8402  cen 8876  cdju 9830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-dju 9833
This theorem is referenced by:  pwdjuidm  10123  djulepw  10124  pwsdompw  10136  gchdjuidm  10600  gchpwdom  10602
  Copyright terms: Public domain W3C validator