Theorem pwdju1 10085

Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdju1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem pwdju1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8400	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
2		pwdjuen 10076	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1o ∈ On) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
3	1, 2	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
4		pwexg 5317	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
5		1oex 8398	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
6	5	pwex 5319	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
7		xpcomeng 8986	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 1o ∈ V) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
8	4, 6, 7	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
9		entr 8931	. . . 4 ⊢ ((𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
10	3, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
11		pwpw0 4764	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
12		df1o2 8395	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
13	12	pweqi 4567	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14		df2o2 8397	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
15	11, 13, 14	3eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o = 2o
16	15	xpeq1i 5645	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (2o × 𝒫 𝐴)
17		xp2dju 10071	. . . 4 ⊢ (2o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
18	16, 17	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
19	10, 18	breqtrdi 5133	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
20	19	ensymd 8930	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  {csn 4577  {cpr 4579   class class class wbr 5092   × cxp 5617  Oncon0 6307  1_oc1o 8381  2_oc2o 8382   ≈ cen 8869   ⊔ cdju 9794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-dju 9797

This theorem is referenced by:  pwdjuidm  10086  djulepw  10087  pwsdompw  10097  gchdjuidm  10562  gchpwdom  10564