MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdju1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdju1 10231
Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdju1 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem pwdju1
StepHypRef Expression
1 1on 8518 . . . . 5 1o ∈ On
2 pwdjuen 10222 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ 1o ∈ On) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
31, 2mpan2 691 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
4 pwexg 5378 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
5 1oex 8516 . . . . . 6 1o ∈ V
65pwex 5380 . . . . 5 𝒫 1o ∈ V
7 xpcomeng 9104 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 1o ∈ V) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
84, 6, 7sylancl 586 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
9 entr 9046 . . . 4 ((𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
103, 8, 9syl2anc 584 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
11 pwpw0 4813 . . . . . 6 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
12 df1o2 8513 . . . . . . 7 1o = {∅}
1312pweqi 4616 . . . . . 6 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14 df2o2 8515 . . . . . 6 2o = {∅, {∅}}
1511, 13, 143eqtr4i 2775 . . . . 5 𝒫 1o = 2o
1615xpeq1i 5711 . . . 4 (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (2o × 𝒫 𝐴)
17 xp2dju 10217 . . . 4 (2o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
1816, 17eqtri 2765 . . 3 (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
1910, 18breqtrdi 5184 . 2 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
2019ensymd 9045 1 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108  Vcvv 3480  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143   × cxp 5683  Oncon0 6384  1oc1o 8499  2oc2o 8500  cen 8982  cdju 9938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-dju 9941
This theorem is referenced by:  pwdjuidm  10232  djulepw  10233  pwsdompw  10243  gchdjuidm  10708  gchpwdom  10710
  Copyright terms: Public domain W3C validator