Theorem pwdju1 10260

Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdju1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem pwdju1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8534	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
2		pwdjuen 10251	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1o ∈ On) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
3	1, 2	mpan2 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
4		pwexg 5396	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
5		1oex 8532	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
6	5	pwex 5398	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
7		xpcomeng 9130	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 1o ∈ V) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
8	4, 6, 7	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
9		entr 9066	. . . 4 ⊢ ((𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
10	3, 8, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
11		pwpw0 4838	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
12		df1o2 8529	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
13	12	pweqi 4638	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14		df2o2 8531	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
15	11, 13, 14	3eqtr4i 2778	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o = 2o
16	15	xpeq1i 5726	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (2o × 𝒫 𝐴)
17		xp2dju 10246	. . . 4 ⊢ (2o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
18	16, 17	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
19	10, 18	breqtrdi 5207	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
20	19	ensymd 9065	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  {cpr 4650   class class class wbr 5166   × cxp 5698  Oncon0 6395  1_oc1o 8515  2_oc2o 8516   ≈ cen 9000   ⊔ cdju 9967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-dju 9970

This theorem is referenced by:  pwdjuidm  10261  djulepw  10262  pwsdompw  10272  gchdjuidm  10737  gchpwdom  10739