MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdju1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdju1 10182
Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdju1 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem pwdju1
StepHypRef Expression
1 1on 8474 . . . . 5 1o ∈ On
2 pwdjuen 10173 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ 1o ∈ On) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
31, 2mpan2 688 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
4 pwexg 5367 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
5 1oex 8472 . . . . . 6 1o ∈ V
65pwex 5369 . . . . 5 𝒫 1o ∈ V
7 xpcomeng 9061 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 1o ∈ V) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
84, 6, 7sylancl 585 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
9 entr 8999 . . . 4 ((𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
103, 8, 9syl2anc 583 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
11 pwpw0 4809 . . . . . 6 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
12 df1o2 8469 . . . . . . 7 1o = {∅}
1312pweqi 4611 . . . . . 6 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14 df2o2 8471 . . . . . 6 2o = {∅, {∅}}
1511, 13, 143eqtr4i 2762 . . . . 5 𝒫 1o = 2o
1615xpeq1i 5693 . . . 4 (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (2o × 𝒫 𝐴)
17 xp2dju 10168 . . . 4 (2o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
1816, 17eqtri 2752 . . 3 (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
1910, 18breqtrdi 5180 . 2 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
2019ensymd 8998 1 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  Vcvv 3466  c0 4315  𝒫 cpw 4595  {csn 4621  {cpr 4623   class class class wbr 5139   × cxp 5665  Oncon0 6355  1oc1o 8455  2oc2o 8456  cen 8933  cdju 9890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-dju 9893
This theorem is referenced by:  pwdjuidm  10183  djulepw  10184  pwsdompw  10196  gchdjuidm  10660  gchpwdom  10662
  Copyright terms: Public domain W3C validator