MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdju1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdju1 9804
Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdju1 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem pwdju1
StepHypRef Expression
1 1on 8209 . . . . 5 1o ∈ On
2 pwdjuen 9795 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ 1o ∈ On) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
31, 2mpan2 691 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
4 pwexg 5271 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
5 1oex 8215 . . . . . 6 1o ∈ V
65pwex 5273 . . . . 5 𝒫 1o ∈ V
7 xpcomeng 8737 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 1o ∈ V) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
84, 6, 7sylancl 589 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
9 entr 8680 . . . 4 ((𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
103, 8, 9syl2anc 587 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
11 pwpw0 4726 . . . . . 6 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
12 df1o2 8214 . . . . . . 7 1o = {∅}
1312pweqi 4531 . . . . . 6 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14 df2o2 8218 . . . . . 6 2o = {∅, {∅}}
1511, 13, 143eqtr4i 2775 . . . . 5 𝒫 1o = 2o
1615xpeq1i 5577 . . . 4 (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (2o × 𝒫 𝐴)
17 xp2dju 9790 . . . 4 (2o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
1816, 17eqtri 2765 . . 3 (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
1910, 18breqtrdi 5094 . 2 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
2019ensymd 8679 1 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  Vcvv 3408  c0 4237  𝒫 cpw 4513  {csn 4541  {cpr 4543   class class class wbr 5053   × cxp 5549  Oncon0 6213  1oc1o 8195  2oc2o 8196  cen 8623  cdju 9514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-dju 9517
This theorem is referenced by:  pwdjuidm  9805  djulepw  9806  pwsdompw  9818  gchdjuidm  10282  gchpwdom  10284
  Copyright terms: Public domain W3C validator