Theorem pwdju1 10082

Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdju1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem pwdju1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8397	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
2		pwdjuen 10073	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1o ∈ On) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
3	1, 2	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
4		pwexg 5314	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
5		1oex 8395	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
6	5	pwex 5316	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
7		xpcomeng 8982	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 1o ∈ V) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
8	4, 6, 7	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
9		entr 8928	. . . 4 ⊢ ((𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
10	3, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
11		pwpw0 4762	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
12		df1o2 8392	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
13	12	pweqi 4563	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14		df2o2 8394	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
15	11, 13, 14	3eqtr4i 2764	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o = 2o
16	15	xpeq1i 5640	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (2o × 𝒫 𝐴)
17		xp2dju 10068	. . . 4 ⊢ (2o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
18	16, 17	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
19	10, 18	breqtrdi 5130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
20	19	ensymd 8927	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  {cpr 4575   class class class wbr 5089   × cxp 5612  Oncon0 6306  1_oc1o 8378  2_oc2o 8379   ≈ cen 8866   ⊔ cdju 9791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-dju 9794

This theorem is referenced by:  pwdjuidm  10083  djulepw  10084  pwsdompw  10094  gchdjuidm  10559  gchpwdom  10561