Theorem pwdju1 10151

Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdju1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem pwdju1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8449	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
2		pwdjuen 10142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1o ∈ On) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
3	1, 2	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
4		pwexg 5336	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
5		1oex 8447	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
6	5	pwex 5338	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
7		xpcomeng 9038	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 1o ∈ V) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
8	4, 6, 7	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
9		entr 8980	. . . 4 ⊢ ((𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
10	3, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
11		pwpw0 4780	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
12		df1o2 8444	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
13	12	pweqi 4582	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14		df2o2 8446	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
15	11, 13, 14	3eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o = 2o
16	15	xpeq1i 5667	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (2o × 𝒫 𝐴)
17		xp2dju 10137	. . . 4 ⊢ (2o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
18	16, 17	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
19	10, 18	breqtrdi 5151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
20	19	ensymd 8979	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  {csn 4592  {cpr 4594   class class class wbr 5110   × cxp 5639  Oncon0 6335  1_oc1o 8430  2_oc2o 8431   ≈ cen 8918   ⊔ cdju 9858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-dju 9861

This theorem is referenced by:  pwdjuidm  10152  djulepw  10153  pwsdompw  10163  gchdjuidm  10628  gchpwdom  10630