Theorem pwdju1 9877

Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdju1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem pwdju1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8274	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
2		pwdjuen 9868	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1o ∈ On) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
3	1, 2	mpan2 687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
4		pwexg 5296	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
5		1oex 8280	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
6	5	pwex 5298	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
7		xpcomeng 8804	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 1o ∈ V) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
8	4, 6, 7	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
9		entr 8747	. . . 4 ⊢ ((𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
10	3, 8, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴))
11		pwpw0 4743	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
12		df1o2 8279	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
13	12	pweqi 4548	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14		df2o2 8283	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
15	11, 13, 14	3eqtr4i 2776	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o = 2o
16	15	xpeq1i 5606	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (2o × 𝒫 𝐴)
17		xp2dju 9863	. . . 4 ⊢ (2o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
18	16, 17	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (𝒫 1o × 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)
19	10, 18	breqtrdi 5111	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
20	19	ensymd 8746	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  {cpr 4560   class class class wbr 5070   × cxp 5578  Oncon0 6251  1_oc1o 8260  2_oc2o 8261   ≈ cen 8688   ⊔ cdju 9587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-dju 9590

This theorem is referenced by:  pwdjuidm  9878  djulepw  9879  pwsdompw  9891  gchdjuidm  10355  gchpwdom  10357