Theorem restclsseplem 49992

Description: Lemma for restclssep 49993. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restcls2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
restcls2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
restcls2.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
restcls2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
restclsseplem.6	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
restclsseplem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
restclsseplem	⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇) = ∅)

Proof of Theorem restclsseplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		restcls2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
3		restcls2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
4		restcls2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
5		restcls2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
6	1, 2, 3, 4, 5	restcls2 49991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))
7	6	ineq1d 4165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌) ∩ 𝑇))
8		inass 4173	. . 3 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌) ∩ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇))
9	7, 8	eqtrdi 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇)))
10		restclsseplem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
11		restclsseplem.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑌)
12		sseqin2 4169	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∩ 𝑇) = 𝑇)
13	11, 12	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ 𝑇) = 𝑇)
14	13	ineq2d 4166	. 2 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇)) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))
15	9, 10, 14	3eqtr3rd 2805	1 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ↾_t crest 17584  Topctop 23204  Clsdccld 23327  clsccl 23329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-en 8967  df-fin 8970  df-fi 9396  df-rest 17586  df-topgen 17607  df-top 23205  df-topon 23222  df-bases 23257  df-cld 23330  df-cls 23332

This theorem is used by:  restclssep  49993