Theorem restclsseplem 49390

Description: Lemma for restclssep 49391. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restcls2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
restcls2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
restcls2.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
restcls2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
restclsseplem.6	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
restclsseplem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
restclsseplem	⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇) = ∅)

Proof of Theorem restclsseplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		restcls2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
3		restcls2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
4		restcls2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
5		restcls2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
6	1, 2, 3, 4, 5	restcls2 49389	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))
7	6	ineq1d 4159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌) ∩ 𝑇))
8		inass 4168	. . 3 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌) ∩ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇))
9	7, 8	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇)))
10		restclsseplem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
11		restclsseplem.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑌)
12		sseqin2 4163	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∩ 𝑇) = 𝑇)
13	11, 12	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ 𝑇) = 𝑇)
14	13	ineq2d 4160	. 2 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇)) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))
15	9, 10, 14	3eqtr3rd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∪ cuni 4850  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↾_t crest 17383  Topctop 22858  Clsdccld 22981  clsccl 22983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-en 8894  df-fin 8897  df-fi 9324  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-cld 22984  df-cls 22986

This theorem is referenced by:  restclssep  49391