Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  restclsseplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restclsseplem 47033
Description: Lemma for restclssep 47034. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls2.1 (𝜑𝐽 ∈ Top)
restcls2.2 (𝜑𝑋 = 𝐽)
restcls2.3 (𝜑𝑌𝑋)
restcls2.4 (𝜑𝐾 = (𝐽t 𝑌))
restcls2.5 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
restclsseplem.6 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
restclsseplem.7 (𝜑𝑇𝑌)
Assertion
Ref Expression
restclsseplem (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇) = ∅)

Proof of Theorem restclsseplem
StepHypRef Expression
1 restcls2.1 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
2 restcls2.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 = 𝐽)
3 restcls2.3 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
4 restcls2.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝐽t 𝑌))
5 restcls2.5 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
61, 2, 3, 4, 5restcls2 47032 . . . 4 (𝜑𝑆 = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))
76ineq1d 4172 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌) ∩ 𝑇))
8 inass 4180 . . 3 ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌) ∩ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌𝑇))
97, 8eqtrdi 2789 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌𝑇)))
10 restclsseplem.6 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
11 restclsseplem.7 . . . 4 (𝜑𝑇𝑌)
12 sseqin2 4176 . . . 4 (𝑇𝑌 ↔ (𝑌𝑇) = 𝑇)
1311, 12sylib 217 . . 3 (𝜑 → (𝑌𝑇) = 𝑇)
1413ineq2d 4173 . 2 (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌𝑇)) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))
159, 10, 143eqtr3rd 2782 1 (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3910  wss 3911  c0 4283   cuni 4866  cfv 6497  (class class class)co 7358  t crest 17307  Topctop 22258  Clsdccld 22383  clsccl 22385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-en 8887  df-fin 8890  df-fi 9352  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386  df-cls 22388
This theorem is referenced by:  restclssep  47034
  Copyright terms: Public domain W3C validator