Theorem restclsseplem 49274

Description: Lemma for restclssep 49275. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restcls2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
restcls2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
restcls2.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
restcls2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
restclsseplem.6	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
restclsseplem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
restclsseplem	⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇) = ∅)

Proof of Theorem restclsseplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		restcls2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
3		restcls2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
4		restcls2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
5		restcls2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
6	1, 2, 3, 4, 5	restcls2 49273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))
7	6	ineq1d 4173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌) ∩ 𝑇))
8		inass 4182	. . 3 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌) ∩ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇))
9	7, 8	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇)))
10		restclsseplem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
11		restclsseplem.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑌)
12		sseqin2 4177	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∩ 𝑇) = 𝑇)
13	11, 12	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ 𝑇) = 𝑇)
14	13	ineq2d 4174	. 2 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇)) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))
15	9, 10, 14	3eqtr3rd 2781	1 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↾_t crest 17352  Topctop 22849  Clsdccld 22972  clsccl 22974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-en 8896  df-fin 8899  df-fi 9326  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cld 22975  df-cls 22977

This theorem is referenced by:  restclssep  49275