Theorem restclsseplem 49573

Description: Lemma for restclssep 49574. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restcls2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
restcls2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
restcls2.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
restcls2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
restclsseplem.6	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
restclsseplem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
restclsseplem	⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇) = ∅)

Proof of Theorem restclsseplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		restcls2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
3		restcls2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
4		restcls2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
5		restcls2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
6	1, 2, 3, 4, 5	restcls2 49572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))
7	6	ineq1d 4180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌) ∩ 𝑇))
8		inass 4188	. . 3 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌) ∩ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇))
9	7, 8	eqtrdi 2820	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇)))
10		restclsseplem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
11		restclsseplem.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑌)
12		sseqin2 4184	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∩ 𝑇) = 𝑇)
13	11, 12	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ 𝑇) = 𝑇)
14	13	ineq2d 4181	. 2 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇)) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))
15	9, 10, 14	3eqtr3rd 2813	1 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ∪ cuni 4873  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ↾_t crest 17469  Topctop 23015  Clsdccld 23138  clsccl 23140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9367  df-rest 17471  df-topgen 17492  df-top 23016  df-topon 23033  df-bases 23068  df-cld 23141  df-cls 23143

This theorem is referenced by:  restclssep  49574