Theorem restclsseplem 49405

Description: Lemma for restclssep 49406. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restcls2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
restcls2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
restcls2.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
restcls2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
restclsseplem.6	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
restclsseplem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
restclsseplem	⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇) = ∅)

Proof of Theorem restclsseplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		restcls2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
3		restcls2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
4		restcls2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
5		restcls2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
6	1, 2, 3, 4, 5	restcls2 49404	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))
7	6	ineq1d 4148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌) ∩ 𝑇))
8		inass 4156	. . 3 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌) ∩ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇))
9	7, 8	eqtrdi 2790	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇)))
10		restclsseplem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
11		restclsseplem.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑌)
12		sseqin2 4152	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∩ 𝑇) = 𝑇)
13	11, 12	sylib 219	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ 𝑇) = 𝑇)
14	13	ineq2d 4149	. 2 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑌 ∩ 𝑇)) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))
15	9, 10, 14	3eqtr3rd 2783	1 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  ∪ cuni 4838  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↾_t crest 17374  Topctop 22876  Clsdccld 22999  clsccl 23001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-en 8884  df-fin 8887  df-fi 9314  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-cld 23002  df-cls 23004

This theorem is referenced by:  restclssep  49406