![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > rpmtmip | Structured version Visualization version GIF version |
Description: "Minus times minus is plus", see also nnmtmip 12187, holds for positive reals, too (formalized to "The product of two negative reals is a positive real"). "The reason for this" in this case is that (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต) for all complex numbers ๐ด and ๐ต because of mul2neg 11602, ๐ด and ๐ต are complex numbers because of rpcn 12933, and (๐ด ยท ๐ต) โ โ+ because of rpmulcl 12946. Note that the opposites -๐ด and -๐ต of the positive reals ๐ด and ๐ต are negative reals. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
rpmtmip | โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ+) โ (-๐ด ยท -๐ต) โ โ+) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rpcn 12933 | . . 3 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ) | |
2 | rpcn 12933 | . . 3 โข (๐ต โ โ+ โ ๐ต โ โ) | |
3 | mul2neg 11602 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต)) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2an 597 | . 2 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ+) โ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต)) |
5 | rpmulcl 12946 | . 2 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ+) | |
6 | 4, 5 | eqeltrd 2834 | 1 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ+) โ (-๐ด ยท -๐ต) โ โ+) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7361 โcc 11057 ยท cmul 11064 -cneg 11394 โ+crp 12923 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-id 5535 df-po 5549 df-so 5550 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-ltxr 11202 df-sub 11395 df-neg 11396 df-rp 12924 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |