Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmtmip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpmtmip 12405
 Description: "Minus times minus is plus", see also nnmtmip 11655, holds for positive reals, too (formalized to "The product of two negative reals is a positive real"). "The reason for this" in this case is that (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵) for all complex numbers 𝐴 and 𝐵 because of mul2neg 11072, 𝐴 and 𝐵 are complex numbers because of rpcn 12391, and (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+ because of rpmulcl 12404. Note that the opposites -𝐴 and -𝐵 of the positive reals 𝐴 and 𝐵 are negative reals. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
rpmtmip ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 · -𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmtmip
StepHypRef Expression
1 rpcn 12391 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
2 rpcn 12391 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
3 mul2neg 11072 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
41, 2, 3syl2an 598 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
5 rpmulcl 12404 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
64, 5eqeltrd 2893 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 · -𝐵) ∈ ℝ+)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7139  ℂcc 10528   · cmul 10535  -cneg 10864  ℝ+crp 12381 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-sub 10865  df-neg 10866  df-rp 12382 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator