Theorem rpmtmip 13022

Description: "Minus times minus is plus", see also nnmtmip 12260, holds for positive reals, too (formalized to "The product of two negative reals is a positive real"). "The reason for this" in this case is that (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵) for all complex numbers 𝐴 and 𝐵 because of mul2neg 11675, 𝐴 and 𝐵 are complex numbers because of rpcn 13008, and (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ⁺ because of rpmulcl 13021. Note that the opposites -𝐴 and -𝐵 of the positive reals 𝐴 and 𝐵 are negative reals. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
rpmtmip	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 · -𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmtmip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13008	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpcn 13008	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mul2neg 11675	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
5		rpmulcl 13021	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
6	4, 5	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-𝐴 · -𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℂcc 11128   · cmul 11135  -cneg 11467  ℝ⁺crp 12998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-rp 12999

This theorem is referenced by: (None)