Theorem rpmtmip 13170

Description: "Minus times minus is plus", see also nnmtmip 12388, holds for positive reals, too (formalized to "The product of two negative reals is a positive real"). "The reason for this" in this case is that ( -𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵) for all complex numbers 𝐴 and 𝐵 because of mul2neg 11779, 𝐴 and 𝐵 are complex numbers because of rpcn 13155, and (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ⁺ because of rpmulcl 13169. Note that the opposites -𝐴 and -𝐵 of the positive reals 𝐴 and 𝐵 are negative reals. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
rpmtmip	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ( -𝐴 · -𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmtmip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13155	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpcn 13155	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mul2neg 11779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ( -𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
5		rpmulcl 13169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
6	4, 5	eqeltrd 2864	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ( -𝐴 · -𝐵) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℂcc 11222   · cmul 11229   -cneg 11566  ℝ⁺crp 13144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-ltxr 11372  df-sub 11567  df-neg 11568  df-rp 13145

This theorem is used by: (None)