Theorem rpdivcl 13154

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13136	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rprene0 13145	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3		redivcl 12043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 4	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6		elrp 13129	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7		elrp 13129	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
8		divgt0 12192	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
9	6, 7, 8	syl2anb 610	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
10		elrp 13129	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
11	5, 9, 10	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207   < clt 11350   / cdiv 11980  ℝ⁺crp 13127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-rp 13128

This theorem is used by:  rpreccl  13155  rphalfcl  13156  rpdivcld  13188  bcrpcl  14459  01sqrexlem7  15424  caurcvgr  15850  isprm5  16892  4sqlem12  17143  sylow1lem1  19821  metss2lem  24839  metss2  24840  minveclem3  25759  ovoliunlem3  25834  vitalilem4  25941  aaliou3lem8  26681  abelthlem8  26775  pigt3  26855  pige3ALT  26857  advlogexp  26992  atan1  27265  log2cnv  27281  cxp2limlem  27312  harmonicbnd4  27347  basellem1  27417  logexprlim  27561  logfacrlim2  27562  bcmono  27613  bposlem1  27620  bposlem7  27626  bposlem9  27628  rplogsumlem1  27820  dchrisumlem3  27827  dchrvmasum2lem  27832  dchrvmasum2if  27833  dchrvmasumlem2  27834  dchrvmasumlem3  27835  dchrvmasumiflem2  27838  dchrisum0lem2a  27853  dchrisum0lem2  27854  mudivsum  27866  mulogsumlem  27867  mulogsum  27868  mulog2sumlem1  27870  mulog2sumlem2  27871  mulog2sumlem3  27872  selberglem1  27881  selberglem2  27882  selberg  27884  selberg3lem1  27893  selbergr  27904  pntpbnd1a  27921  pntibndlem1  27925  pntibndlem3  27928  pntlema  27932  pntlemb  27933  pntlemg  27934  pntlemr  27938  pntlemj  27939  pntlemf  27941  smcnlem  31308  blocnilem  31415  minvecolem3  31487  nmcexi  32637  rpdp2cl  33498  dp2ltc  33503  dpgti  33522  circum  36529  faclim  36607  taupilem1  38351  poimirlem29  38676  mblfinlem3  38686  itg2addnclem2  38699  itg2addnclem3  38700  ftc1anclem7  38726  ftc1anc  38728  heiborlem5  38858  heiborlem7  38860  proot1ex  44307