Theorem rpdivcl 13039

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13022	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rprene0 13031	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3		redivcl 11971	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	3expb 1117	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 4	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6		elrp 13016	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7		elrp 13016	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
8		divgt0 12120	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
9	6, 7, 8	syl2anb 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
10		elrp 13016	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
11	5, 9, 10	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146   < clt 11286   / cdiv 11909  ℝ⁺crp 13014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-rp 13015

This theorem is referenced by:  rpreccl  13040  rphalfcl  13041  rpdivcld  13073  bcrpcl  14307  01sqrexlem7  15235  caurcvgr  15660  isprm5  16685  4sqlem12  16932  sylow1lem1  19560  metss2lem  24440  metss2  24441  minveclem3  25377  ovoliunlem3  25453  vitalilem4  25560  aaliou3lem8  26300  abelthlem8  26396  pigt3  26472  pige3ALT  26474  advlogexp  26609  atan1  26880  log2cnv  26896  cxp2limlem  26928  harmonicbnd4  26963  basellem1  27033  logexprlim  27178  logfacrlim2  27179  bcmono  27230  bposlem1  27237  bposlem7  27243  bposlem9  27245  rplogsumlem1  27437  dchrisumlem3  27444  dchrvmasum2lem  27449  dchrvmasum2if  27450  dchrvmasumlem2  27451  dchrvmasumlem3  27452  dchrvmasumiflem2  27455  dchrisum0lem2a  27470  dchrisum0lem2  27471  mudivsum  27483  mulogsumlem  27484  mulogsum  27485  mulog2sumlem1  27487  mulog2sumlem2  27488  mulog2sumlem3  27489  selberglem1  27498  selberglem2  27499  selberg  27501  selberg3lem1  27510  selbergr  27521  pntpbnd1a  27538  pntibndlem1  27542  pntibndlem3  27545  pntlema  27549  pntlemb  27550  pntlemg  27551  pntlemr  27555  pntlemj  27556  pntlemf  27558  smcnlem  30527  blocnilem  30634  minvecolem3  30706  nmcexi  31856  rpdp2cl  32626  dp2ltc  32631  dpgti  32650  circum  35311  faclim  35373  taupilem1  36833  poimirlem29  37155  mblfinlem3  37165  itg2addnclem2  37178  itg2addnclem3  37179  ftc1anclem7  37205  ftc1anc  37207  heiborlem5  37321  heiborlem7  37323  proot1ex  42655