MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpdivcl 12402
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpdivcl ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcl
StepHypRef Expression
1 rpre 12385 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rprene0 12394 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3 redivcl 11348 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
433expb 1117 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
51, 2, 4syl2an 598 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6 elrp 12379 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7 elrp 12379 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
8 divgt0 11497 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
96, 7, 8syl2anb 600 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
10 elrp 12379 . 2 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
115, 9, 10sylanbrc 586 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2114  wne 3011   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  cr 10525  0cc0 10526   < clt 10664   / cdiv 11286  +crp 12377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-rp 12378
This theorem is referenced by:  rpreccl  12403  rphalfcl  12404  rpdivcld  12436  bcrpcl  13664  sqrlem7  14599  caurcvgr  15021  isprm5  16040  4sqlem12  16281  sylow1lem1  18714  metss2lem  23116  metss2  23117  minveclem3  24031  ovoliunlem3  24106  vitalilem4  24213  aaliou3lem8  24939  abelthlem8  25032  pigt3  25108  pige3ALT  25110  advlogexp  25244  atan1  25512  log2cnv  25528  cxp2limlem  25559  harmonicbnd4  25594  basellem1  25664  logexprlim  25807  logfacrlim2  25808  bcmono  25859  bposlem1  25866  bposlem7  25872  bposlem9  25874  rplogsumlem1  26066  dchrisumlem3  26073  dchrvmasum2lem  26078  dchrvmasum2if  26079  dchrvmasumlem2  26080  dchrvmasumlem3  26081  dchrvmasumiflem2  26084  dchrisum0lem2a  26099  dchrisum0lem2  26100  mudivsum  26112  mulogsumlem  26113  mulogsum  26114  mulog2sumlem1  26116  mulog2sumlem2  26117  mulog2sumlem3  26118  selberglem1  26127  selberglem2  26128  selberg  26130  selberg3lem1  26139  selbergr  26150  pntpbnd1a  26167  pntibndlem1  26171  pntibndlem3  26174  pntlema  26178  pntlemb  26179  pntlemg  26180  pntlemr  26184  pntlemj  26185  pntlemf  26187  smcnlem  28478  blocnilem  28585  minvecolem3  28657  nmcexi  29807  rpdp2cl  30568  dp2ltc  30573  dpgti  30592  circum  32991  faclim  33052  taupilem1  34696  poimirlem29  35045  mblfinlem3  35055  itg2addnclem2  35068  itg2addnclem3  35069  ftc1anclem7  35095  ftc1anc  35097  heiborlem5  35212  heiborlem7  35214  proot1ex  40076
  Copyright terms: Public domain W3C validator