Theorem rpdivcl 12919

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12901	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rprene0 12910	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3		redivcl 11847	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 4	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6		elrp 12894	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7		elrp 12894	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
8		divgt0 11997	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
9	6, 7, 8	syl2anb 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
10		elrp 12894	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
11	5, 9, 10	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013   < clt 11153   / cdiv 11781  ℝ⁺crp 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-rp 12893

This theorem is referenced by:  rpreccl  12920  rphalfcl  12921  rpdivcld  12953  bcrpcl  14217  01sqrexlem7  15157  caurcvgr  15583  isprm5  16620  4sqlem12  16870  sylow1lem1  19512  metss2lem  24427  metss2  24428  minveclem3  25357  ovoliunlem3  25433  vitalilem4  25540  aaliou3lem8  26281  abelthlem8  26377  pigt3  26455  pige3ALT  26457  advlogexp  26592  atan1  26866  log2cnv  26882  cxp2limlem  26914  harmonicbnd4  26949  basellem1  27019  logexprlim  27164  logfacrlim2  27165  bcmono  27216  bposlem1  27223  bposlem7  27229  bposlem9  27231  rplogsumlem1  27423  dchrisumlem3  27430  dchrvmasum2lem  27435  dchrvmasum2if  27436  dchrvmasumlem2  27437  dchrvmasumlem3  27438  dchrvmasumiflem2  27441  dchrisum0lem2a  27456  dchrisum0lem2  27457  mudivsum  27469  mulogsumlem  27470  mulogsum  27471  mulog2sumlem1  27473  mulog2sumlem2  27474  mulog2sumlem3  27475  selberglem1  27484  selberglem2  27485  selberg  27487  selberg3lem1  27496  selbergr  27507  pntpbnd1a  27524  pntibndlem1  27528  pntibndlem3  27531  pntlema  27535  pntlemb  27536  pntlemg  27537  pntlemr  27541  pntlemj  27542  pntlemf  27544  smcnlem  30679  blocnilem  30786  minvecolem3  30858  nmcexi  32008  rpdp2cl  32869  dp2ltc  32874  dpgti  32893  circum  35739  faclim  35811  taupilem1  37386  poimirlem29  37709  mblfinlem3  37719  itg2addnclem2  37732  itg2addnclem3  37733  ftc1anclem7  37759  ftc1anc  37761  heiborlem5  37875  heiborlem7  37877  proot1ex  43313