Theorem rpcn 13067

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcn	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem rpcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13065	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11318	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ℂcc 11182  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-rab 3444  df-ss 3993  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  rpcnne0  13075  rpmtmip  13081  divge1  13125  ltdifltdiv  13885  modvalr  13923  flpmodeq  13925  mulmod0  13928  negmod0  13929  modlt  13931  moddiffl  13933  modvalp1  13941  modid  13947  modid0  13948  modcyc  13957  modcyc2  13958  modadd1  13959  muladdmodid  13962  modmuladdnn0  13966  negmod  13967  modm1p1mod0  13973  modmul1  13975  2txmodxeq0  13982  2submod  13983  moddi  13990  01sqrexlem2  15292  sqrtdiv  15314  caurcvgr  15722  o1fsum  15861  divrcnv  15900  efgt1p2  16162  efgt1p  16163  rpmsubg  21472  uniioombl  25643  abelthlem8  26501  pilem1  26513  logne0  26639  logneg  26648  advlogexp  26715  logcxp  26729  cxprec  26746  cxpmul  26748  abscxp  26752  logsqrt  26764  dvcxp1  26800  dvcxp2  26801  dvsqrt  26802  cxpcn2  26807  loglesqrt  26822  relogbreexp  26836  relogbzexp  26837  relogbmul  26838  relogbdiv  26840  relogbexp  26841  relogbcxp  26846  relogbcxpb  26848  relogbf  26852  logbgt0b  26854  rlimcnp  27026  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  cxplim  27033  sqrtlim  27034  cxploglim  27039  logdifbnd  27055  harmonicbnd4  27072  rpdmgm  27086  logfaclbnd  27284  logexprlim  27287  logfacrlim2  27288  vmadivsum  27544  dchrisum0lem1a  27548  dchrvmasumlema  27562  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2  27580  mudivsum  27592  mulogsumlem  27593  logdivsum  27595  selberg2lem  27612  selberg2  27613  pntrmax  27626  selbergr  27630  pntibndlem1  27651  pntlem3  27671  blocnilem  30836  nmcexi  32058  nmcopexi  32059  nmcfnexi  32083  dp20h  32843  dpexpp1  32872  0dp2dp  32873  sqsscirc1  33854  logdivsqrle  34627  taupilem3  37285  taupilem1  37287  poimirlem29  37609  heicant  37615  itg2addnclem3  37633  itg2gt0cn  37635  ftc1anclem6  37658  ftc1anclem8  37660  areacirclem1  37668  areacirclem4  37671  areacirc  37673  isbnd2  37743  cntotbnd  37756  heiborlem6  37776  heiborlem7  37777  dvrelog3  42022  irrapxlem5  42782  2timesgt  45203  xralrple2  45269  recnnltrp  45292  rpgtrecnn  45295  rrpsscn  45509  stirlinglem14  46008  fourierdlem73  46100  divge1b  48241  divgt1b  48242  fldivmod  48252  relogbmulbexp  48295  relogbdivb  48296  itschlc0yqe  48494  itschlc0xyqsol1  48500  itsclc0xyqsolr  48503  amgmwlem  48896