Theorem saluncl 41267

Description: The union of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
saluncl	⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saluncl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 4640	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐸, 𝐹} = (𝐸 ∪ 𝐹))
2	1	eqcomd 2803	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) = ∪ {𝐸, 𝐹})
3	2	3adant1 1161	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) = ∪ {𝐸, 𝐹})
4		prfi 8475	. . . . 5 ⊢ {𝐸, 𝐹} ∈ Fin
5		isfinite 8797	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin ↔ {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
6	5	biimpi 208	. . . . . 6 ⊢ ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
7		sdomdom 8221	. . . . . 6 ⊢ ({𝐸, 𝐹} ≺ ω → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝐸, 𝐹} ≼ ω
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
11		prelpwi 5104	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
12	11	3adant1 1161	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
13		issal 41264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))))
14	13	ibi 259	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)))
15	14	simp3d 1175	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
16	15	3ad2ant1 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
17		breq1 4844	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → (𝑦 ≼ ω ↔ {𝐸, 𝐹} ≼ ω))
18		unieq 4634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ∪ 𝑦 = ∪ {𝐸, 𝐹})
19	18	eleq1d 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → (∪ 𝑦 ∈ 𝑆 ↔ ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
20	17, 19	imbi12d 336	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ((𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆) ↔ ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)))
21	20	rspcva 3493	. . . 4 ⊢ (({𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
22	12, 16, 21	syl2anc 580	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
23	10, 22	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)
24	3, 23	eqeltrd 2876	1 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3087   ∖ cdif 3764   ∪ cun 3765  ∅c0 4113  𝒫 cpw 4347  {cpr 4368  ∪ cuni 4626   class class class wbr 4841  ωcom 7297   ≼ cdom 8191   ≺ csdm 8192  Fincfn 8193  SAlgcsalg 41258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-salg 41259

This theorem is referenced by:  salincl  41273  saluncld  41296