Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  saluncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saluncl 44711
Description: The union of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
saluncl ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saluncl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniprg 4902 . . . 4 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} = (𝐸𝐹))
21eqcomd 2737 . . 3 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = {𝐸, 𝐹})
323adant1 1130 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = {𝐸, 𝐹})
4 prfi 9288 . . . . 5 {𝐸, 𝐹} ∈ Fin
5 isfinite 9612 . . . . . . 7 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin ↔ {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
65biimpi 215 . . . . . 6 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
7 sdomdom 8942 . . . . . 6 ({𝐸, 𝐹} ≺ ω → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
86, 7syl 17 . . . . 5 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
94, 8ax-mp 5 . . . 4 {𝐸, 𝐹} ≼ ω
109a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
11 prelpwi 5424 . . . . 5 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
12113adant1 1130 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
13 issal 44708 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ SAlg → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))))
1413ibi 266 . . . . . 6 (𝑆 ∈ SAlg → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆)))
1514simp3d 1144 . . . . 5 (𝑆 ∈ SAlg → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))
16153ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))
17 breq1 5128 . . . . . 6 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → (𝑦 ≼ ω ↔ {𝐸, 𝐹} ≼ ω))
18 unieq 4896 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → 𝑦 = {𝐸, 𝐹})
1918eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ( 𝑦𝑆 {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2017, 19imbi12d 344 . . . . 5 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ((𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆) ↔ ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)))
2120rspcva 3593 . . . 4 (({𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆)) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2212, 16, 21syl2anc 584 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2310, 22mpd 15 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)
243, 23eqeltrd 2832 1 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  cdif 3925  cun 3926  c0 4302  𝒫 cpw 4580  {cpr 4608   cuni 4885   class class class wbr 5125  ωcom 7822  cdom 8903  csdm 8904  Fincfn 8905  SAlgcsalg 44702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7380  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-salg 44703
This theorem is referenced by:  salincl  44718  saluncld  44742
  Copyright terms: Public domain W3C validator