Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  saluncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saluncl 41327
 Description: The union of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
saluncl ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saluncl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniprg 4671 . . . 4 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} = (𝐸𝐹))
21eqcomd 2830 . . 3 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = {𝐸, 𝐹})
323adant1 1166 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = {𝐸, 𝐹})
4 prfi 8503 . . . . 5 {𝐸, 𝐹} ∈ Fin
5 isfinite 8825 . . . . . . 7 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin ↔ {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
65biimpi 208 . . . . . 6 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
7 sdomdom 8249 . . . . . 6 ({𝐸, 𝐹} ≺ ω → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
86, 7syl 17 . . . . 5 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
94, 8ax-mp 5 . . . 4 {𝐸, 𝐹} ≼ ω
109a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
11 prelpwi 5135 . . . . 5 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
12113adant1 1166 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
13 issal 41324 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ SAlg → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))))
1413ibi 259 . . . . . 6 (𝑆 ∈ SAlg → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆)))
1514simp3d 1180 . . . . 5 (𝑆 ∈ SAlg → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))
16153ad2ant1 1169 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))
17 breq1 4875 . . . . . 6 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → (𝑦 ≼ ω ↔ {𝐸, 𝐹} ≼ ω))
18 unieq 4665 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → 𝑦 = {𝐸, 𝐹})
1918eleq1d 2890 . . . . . 6 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ( 𝑦𝑆 {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2017, 19imbi12d 336 . . . . 5 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ((𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆) ↔ ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)))
2120rspcva 3523 . . . 4 (({𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆)) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2212, 16, 21syl2anc 581 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2310, 22mpd 15 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)
243, 23eqeltrd 2905 1 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3116   ∖ cdif 3794   ∪ cun 3795  ∅c0 4143  𝒫 cpw 4377  {cpr 4398  ∪ cuni 4657   class class class wbr 4872  ωcom 7325   ≼ cdom 8219   ≺ csdm 8220  Fincfn 8221  SAlgcsalg 41318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-salg 41319 This theorem is referenced by:  salincl  41333  saluncld  41356
 Copyright terms: Public domain W3C validator