Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  saluncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saluncl 46273
Description: The union of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
saluncl ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saluncl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniprg 4928 . . . 4 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} = (𝐸𝐹))
21eqcomd 2741 . . 3 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = {𝐸, 𝐹})
323adant1 1129 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = {𝐸, 𝐹})
4 prfi 9361 . . . . 5 {𝐸, 𝐹} ∈ Fin
5 isfinite 9690 . . . . . . 7 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin ↔ {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
65biimpi 216 . . . . . 6 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
7 sdomdom 9019 . . . . . 6 ({𝐸, 𝐹} ≺ ω → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
86, 7syl 17 . . . . 5 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
94, 8ax-mp 5 . . . 4 {𝐸, 𝐹} ≼ ω
109a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
11 prelpwi 5458 . . . . 5 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
12113adant1 1129 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
13 issal 46270 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ SAlg → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))))
1413ibi 267 . . . . . 6 (𝑆 ∈ SAlg → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆)))
1514simp3d 1143 . . . . 5 (𝑆 ∈ SAlg → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))
16153ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))
17 breq1 5151 . . . . . 6 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → (𝑦 ≼ ω ↔ {𝐸, 𝐹} ≼ ω))
18 unieq 4923 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → 𝑦 = {𝐸, 𝐹})
1918eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ( 𝑦𝑆 {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2017, 19imbi12d 344 . . . . 5 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ((𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆) ↔ ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)))
2120rspcva 3620 . . . 4 (({𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆)) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2212, 16, 21syl2anc 584 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2310, 22mpd 15 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)
243, 23eqeltrd 2839 1 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cdif 3960  cun 3961  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {cpr 4633   cuni 4912   class class class wbr 5148  ωcom 7887  cdom 8982  csdm 8983  Fincfn 8984  SAlgcsalg 46264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-salg 46265
This theorem is referenced by:  salincl  46280  saluncld  46304
  Copyright terms: Public domain W3C validator