Theorem saluncl 46238

Description: The union of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
saluncl	⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saluncl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 4947	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐸, 𝐹} = (𝐸 ∪ 𝐹))
2	1	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) = ∪ {𝐸, 𝐹})
3	2	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) = ∪ {𝐸, 𝐹})
4		prfi 9391	. . . . 5 ⊢ {𝐸, 𝐹} ∈ Fin
5		isfinite 9721	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin ↔ {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
6	5	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
7		sdomdom 9040	. . . . . 6 ⊢ ({𝐸, 𝐹} ≺ ω → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝐸, 𝐹} ≼ ω
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
11		prelpwi 5467	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
12	11	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
13		issal 46235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))))
14	13	ibi 267	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)))
15	14	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
16	15	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
17		breq1 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → (𝑦 ≼ ω ↔ {𝐸, 𝐹} ≼ ω))
18		unieq 4942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ∪ 𝑦 = ∪ {𝐸, 𝐹})
19	18	eleq1d 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → (∪ 𝑦 ∈ 𝑆 ↔ ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
20	17, 19	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ((𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆) ↔ ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)))
21	20	rspcva 3633	. . . 4 ⊢ (({𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
22	12, 16, 21	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
23	10, 22	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)
24	3, 23	eqeltrd 2844	1 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {cpr 4650  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  ωcom 7903   ≼ cdom 9001   ≺ csdm 9002  Fincfn 9003  SAlgcsalg 46229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-salg 46230

This theorem is referenced by:  salincl  46245  saluncld  46269