Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  saluncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saluncl 46332
Description: The union of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
saluncl ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saluncl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniprg 4923 . . . 4 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} = (𝐸𝐹))
21eqcomd 2743 . . 3 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = {𝐸, 𝐹})
323adant1 1131 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = {𝐸, 𝐹})
4 prfi 9363 . . . . 5 {𝐸, 𝐹} ∈ Fin
5 isfinite 9692 . . . . . . 7 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin ↔ {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
65biimpi 216 . . . . . 6 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
7 sdomdom 9020 . . . . . 6 ({𝐸, 𝐹} ≺ ω → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
86, 7syl 17 . . . . 5 ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
94, 8ax-mp 5 . . . 4 {𝐸, 𝐹} ≼ ω
109a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
11 prelpwi 5452 . . . . 5 ((𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
12113adant1 1131 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
13 issal 46329 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ SAlg → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))))
1413ibi 267 . . . . . 6 (𝑆 ∈ SAlg → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆)))
1514simp3d 1145 . . . . 5 (𝑆 ∈ SAlg → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))
16153ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))
17 breq1 5146 . . . . . 6 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → (𝑦 ≼ ω ↔ {𝐸, 𝐹} ≼ ω))
18 unieq 4918 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → 𝑦 = {𝐸, 𝐹})
1918eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ( 𝑦𝑆 {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2017, 19imbi12d 344 . . . . 5 (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ((𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆) ↔ ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)))
2120rspcva 3620 . . . 4 (({𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆)) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2212, 16, 21syl2anc 584 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
2310, 22mpd 15 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)
243, 23eqeltrd 2841 1 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cdif 3948  cun 3949  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628   cuni 4907   class class class wbr 5143  ωcom 7887  cdom 8983  csdm 8984  Fincfn 8985  SAlgcsalg 46323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-salg 46324
This theorem is referenced by:  salincl  46339  saluncld  46363
  Copyright terms: Public domain W3C validator