Theorem shftidt2 15234

Description: Identity law for the shift operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftidt2	⊢ (𝐹 shift 0) = (𝐹 ↾ ℂ)

Proof of Theorem shftidt2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid1 11578	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
2	1	breq1d 5113	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 − 0)𝐹𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
3	2	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦))
4	3	opabbii 5172	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦)}
5		0cn 11298	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		shftfval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
7	6	shftfval 15223	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝐹 shift 0) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)})
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹 shift 0) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)}
9		dfres2 6033	. 2 ⊢ (𝐹 ↾ ℂ) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦)}
10	4, 8, 9	3eqtr4i 2794	1 ⊢ (𝐹 shift 0) = (𝐹 ↾ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  {copab 5167   ↾ cres 5653  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   − cmin 11541   shift cshi 15219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-shft 15220

This theorem is used by:  shftidt  15235