Theorem shftidt2 14988

Description: Identity law for the shift operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftidt2	⊢ (𝐹 shift 0) = (𝐹 ↾ ℂ)

Proof of Theorem shftidt2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid1 11381	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
2	1	breq1d 5099	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 − 0)𝐹𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
3	2	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦))
4	3	opabbii 5156	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦)}
5		0cn 11104	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		shftfval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
7	6	shftfval 14977	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝐹 shift 0) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)})
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹 shift 0) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)}
9		dfres2 5989	. 2 ⊢ (𝐹 ↾ ℂ) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦)}
10	4, 8, 9	3eqtr4i 2764	1 ⊢ (𝐹 shift 0) = (𝐹 ↾ ℂ)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   class class class wbr 5089  {copab 5151   ↾ cres 5616  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   − cmin 11344   shift cshi 14973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-shft 14974

This theorem is referenced by:  shftidt  14989