MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftidt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftidt2 15068
Description: Identity law for the shift operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftidt2 (𝐹 shift 0) = (𝐹 ↾ ℂ)

Proof of Theorem shftidt2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subid1 11518 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
21breq1d 5162 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 − 0)𝐹𝑦𝑥𝐹𝑦))
32pm5.32i 573 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦))
43opabbii 5219 . 2 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦)}
5 0cn 11244 . . 3 0 ∈ ℂ
6 shftfval.1 . . . 4 𝐹 ∈ V
76shftfval 15057 . . 3 (0 ∈ ℂ → (𝐹 shift 0) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)})
85, 7ax-mp 5 . 2 (𝐹 shift 0) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)}
9 dfres2 6050 . 2 (𝐹 ↾ ℂ) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦)}
104, 8, 93eqtr4i 2766 1 (𝐹 shift 0) = (𝐹 ↾ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152  {copab 5214  cres 5684  (class class class)co 7426  cc 11144  0cc0 11146  cmin 11482   shift cshi 15053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-shft 15054
This theorem is referenced by:  shftidt  15069
  Copyright terms: Public domain W3C validator