Theorem 2shfti 14719

Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
2shfti	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem 2shfti

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ V
2	1	shftfval 14709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
3	2	breqd 5081	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − 𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}𝑦))
4		ovex 7288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 − 𝐵) ∈ V
5		vex 3426	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		eleq1 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑧 ∈ ℂ ↔ (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ))
7		oveq1 7262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑧 − 𝐴) = ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴))
8	7	breq1d 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤))
9	6, 8	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤)))
10		breq2 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
11	10	anbi2d 628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
12		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}
13	4, 5, 9, 11, 12	brab 5449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
14	3, 13	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
15	14	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
16		subcl 11150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	16	biantrurd 532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
18	17	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
19	18	adantll 710	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
20		sub32 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) − 𝐵) = ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴))
21		subsub4 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) − 𝐵) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
22	20, 21	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
23	22	3expb 1118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
24	23	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
25	24	breq1d 5080	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
26	15, 19, 25	3bitr2d 306	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
27	26	pm5.32da 578	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)))
28	27	opabbidv 5136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
29		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝐹 shift 𝐴) ∈ V
30	29	shftfval 14709	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
31	30	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
32		addcl 10884	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
33	1	shftfval 14709	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
35	28, 31, 34	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  {copab 5132  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   + caddc 10805   − cmin 11135   shift cshi 14705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-shft 14706

This theorem is referenced by:  shftcan1  14722