MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2shfti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2shfti 14890
Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
2shfti ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem 2shfti
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ V
21shftfval 14880 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)})
32breqd 5107 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)}𝑦))
4 ovex 7374 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵) ∈ V
5 vex 3446 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
6 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (𝑧 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝐵) ∈ ℂ))
7 oveq1 7348 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (𝑧𝐴) = ((𝑥𝐵) − 𝐴))
87breq1d 5106 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝑧𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤))
96, 8anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤)))
10 breq2 5100 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
1110anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)}
134, 5, 9, 11, 12brab 5491 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)}𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
143, 13bitrdi 287 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
1514ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
16 subcl 11325 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
1716biantrurd 534 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
1817ancoms 460 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
1918adantll 712 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
20 sub32 11360 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) − 𝐵) = ((𝑥𝐵) − 𝐴))
21 subsub4 11359 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) − 𝐵) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
2220, 21eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
23223expb 1120 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝑥𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
2423ancoms 460 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
2524breq1d 5106 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
2615, 19, 253bitr2d 307 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
2726pm5.32da 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)))
2827opabbidv 5162 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
29 ovex 7374 . . . 4 (𝐹 shift 𝐴) ∈ V
3029shftfval 14880 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
3130adantl 483 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
32 addcl 11058 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
331shftfval 14880 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
3432, 33syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
3528, 31, 343eqtr4d 2787 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3442   class class class wbr 5096  {copab 5158  (class class class)co 7341  cc 10974   + caddc 10979  cmin 11310   shift cshi 14876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-id 5522  df-po 5536  df-so 5537  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-ltxr 11119  df-sub 11312  df-shft 14877
This theorem is referenced by:  shftcan1  14893
  Copyright terms: Public domain W3C validator