MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2shfti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2shfti 15027
Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
2shfti ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem 2shfti
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ V
21shftfval 15017 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)})
32breqd 5160 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)}𝑦))
4 ovex 7442 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵) ∈ V
5 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
6 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (𝑧 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝐵) ∈ ℂ))
7 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (𝑧𝐴) = ((𝑥𝐵) − 𝐴))
87breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝑧𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤))
96, 8anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤)))
10 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
1110anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
12 eqid 2733 . . . . . . . 8 {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)}
134, 5, 9, 11, 12brab 5544 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)}𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
143, 13bitrdi 287 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
1514ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
16 subcl 11459 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
1716biantrurd 534 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
1817ancoms 460 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
1918adantll 713 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
20 sub32 11494 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) − 𝐵) = ((𝑥𝐵) − 𝐴))
21 subsub4 11493 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) − 𝐵) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
2220, 21eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
23223expb 1121 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝑥𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
2423ancoms 460 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
2524breq1d 5159 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
2615, 19, 253bitr2d 307 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
2726pm5.32da 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)))
2827opabbidv 5215 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
29 ovex 7442 . . . 4 (𝐹 shift 𝐴) ∈ V
3029shftfval 15017 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
3130adantl 483 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
32 addcl 11192 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
331shftfval 15017 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
3432, 33syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
3528, 31, 343eqtr4d 2783 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  {copab 5211  (class class class)co 7409  cc 11108   + caddc 11113  cmin 11444   shift cshi 15013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-shft 15014
This theorem is referenced by:  shftcan1  15030
  Copyright terms: Public domain W3C validator