Theorem 2shfti 15143

Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
2shfti	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem 2shfti

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ V
2	1	shftfval 15133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
3	2	breqd 5125	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − 𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}𝑦))
4		ovex 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 − 𝐵) ∈ V
5		vex 3462	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		eleq1 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑧 ∈ ℂ ↔ (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ))
7		oveq1 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑧 − 𝐴) = ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴))
8	7	breq1d 5124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤))
9	6, 8	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤)))
10		breq2 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
11	10	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
12		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}
13	4, 5, 9, 11, 12	brab 5533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
14	3, 13	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
15	14	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
16		subcl 11474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	16	biantrurd 542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
18	17	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
19	18	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
20		sub32 11510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) − 𝐵) = ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴))
21		subsub4 11509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) − 𝐵) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
22	20, 21	eqtr3d 2803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
23	22	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
24	23	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
25	24	breq1d 5124	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
26	15, 19, 25	3bitr2d 310	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
27	26	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)))
28	27	opabbidv 5182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
29		ovex 7456	. . . 4 ⊢ (𝐹 shift 𝐴) ∈ V
30	29	shftfval 15133	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
31	30	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
32		addcl 11200	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
33	1	shftfval 15133	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
34	32, 33	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
35	28, 31, 34	3eqtr4d 2811	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   class class class wbr 5114  {copab 5178  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   + caddc 11121   − cmin 11459   shift cshi 15129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461  df-shft 15130

This theorem is used by:  shftcan1  15146