MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2shfti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2shfti 15026
Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
2shfti ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem 2shfti
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ V
21shftfval 15016 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)})
32breqd 5159 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)}𝑦))
4 ovex 7441 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵) ∈ V
5 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
6 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (𝑧 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝐵) ∈ ℂ))
7 oveq1 7415 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (𝑧𝐴) = ((𝑥𝐵) − 𝐴))
87breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝑧𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤))
96, 8anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤)))
10 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
1110anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
12 eqid 2732 . . . . . . . 8 {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)}
134, 5, 9, 11, 12brab 5543 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)}𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
143, 13bitrdi 286 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
1514ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
16 subcl 11458 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
1716biantrurd 533 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
1817ancoms 459 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
1918adantll 712 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
20 sub32 11493 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) − 𝐵) = ((𝑥𝐵) − 𝐴))
21 subsub4 11492 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) − 𝐵) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
2220, 21eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
23223expb 1120 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝑥𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
2423ancoms 459 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
2524breq1d 5158 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
2615, 19, 253bitr2d 306 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
2726pm5.32da 579 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)))
2827opabbidv 5214 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
29 ovex 7441 . . . 4 (𝐹 shift 𝐴) ∈ V
3029shftfval 15016 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
3130adantl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
32 addcl 11191 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
331shftfval 15016 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
3432, 33syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
3528, 31, 343eqtr4d 2782 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5148  {copab 5210  (class class class)co 7408  cc 11107   + caddc 11112  cmin 11443   shift cshi 15012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-shft 15013
This theorem is referenced by:  shftcan1  15029
  Copyright terms: Public domain W3C validator