Theorem 2shfti 15053

Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
2shfti	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem 2shfti

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ V
2	1	shftfval 15043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
3	2	breqd 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − 𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}𝑦))
4		ovex 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 − 𝐵) ∈ V
5		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		eleq1 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑧 ∈ ℂ ↔ (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ))
7		oveq1 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑧 − 𝐴) = ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴))
8	7	breq1d 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤))
9	6, 8	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤)))
10		breq2 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
11	10	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
12		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}
13	4, 5, 9, 11, 12	brab 5506	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
14	3, 13	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
15	14	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
16		subcl 11427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	16	biantrurd 532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
18	17	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
19	18	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
20		sub32 11463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) − 𝐵) = ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴))
21		subsub4 11462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) − 𝐵) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
22	20, 21	eqtr3d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
23	22	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
24	23	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
25	24	breq1d 5120	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
26	15, 19, 25	3bitr2d 307	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
27	26	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)))
28	27	opabbidv 5176	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
29		ovex 7423	. . . 4 ⊢ (𝐹 shift 𝐴) ∈ V
30	29	shftfval 15043	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
31	30	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
32		addcl 11157	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
33	1	shftfval 15043	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
35	28, 31, 34	3eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5110  {copab 5172  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   + caddc 11078   − cmin 11412   shift cshi 15039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-shft 15040

This theorem is referenced by:  shftcan1  15056