Theorem 2shfti 15090

Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
2shfti	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem 2shfti

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ V
2	1	shftfval 15080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
3	2	breqd 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − 𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}𝑦))
4		ovex 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 − 𝐵) ∈ V
5		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		eleq1 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑧 ∈ ℂ ↔ (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ))
7		oveq1 7399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑧 − 𝐴) = ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴))
8	7	breq1d 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤))
9	6, 8	anbi12d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤)))
10		breq2 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
11	10	anbi2d 639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
12		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}
13	4, 5, 9, 11, 12	brab 5512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
14	3, 13	bitrdi 289	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
15	14	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
16		subcl 11426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	16	biantrurd 540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
18	17	ancoms 462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
19	18	adantll 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
20		sub32 11462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) − 𝐵) = ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴))
21		subsub4 11461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) − 𝐵) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
22	20, 21	eqtr3d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
23	22	3expb 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
24	23	ancoms 462	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
25	24	breq1d 5109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
26	15, 19, 25	3bitr2d 309	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
27	26	pm5.32da 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)))
28	27	opabbidv 5165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
29		ovex 7425	. . . 4 ⊢ (𝐹 shift 𝐴) ∈ V
30	29	shftfval 15080	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
31	30	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
32		addcl 11152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
33	1	shftfval 15080	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
35	28, 31, 34	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   class class class wbr 5099  {copab 5161  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   + caddc 11073   − cmin 11411   shift cshi 15076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11413  df-shft 15077

This theorem is referenced by:  shftcan1  15093