Theorem subid1 11485

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subid1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addrid 11399	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
2	1	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 0) − 0) = (𝐴 − 0))
3		0cn 11211	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		pncan 11471	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 0) = 𝐴)
5	3, 4	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 0) − 0) = 𝐴)
6	2, 5	eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  0cc0 11113   + caddc 11116   − cmin 11449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-sub 11451

This theorem is referenced by:  subneg  11514  subid1i  11537  subid1d  11565  shftidt2  15033  abs2dif  15284  clim0  15455  rlim0  15457  rlim0lt  15458  climi0  15461  geo2lim  15826  fallfac1  15983  cnbl0  24511  cnblcld  24512  cnfldnm  24516  abelth  26190  logtayl  26405