MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subid1 10894
Description: Identity law for subtraction. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subid1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1
StepHypRef Expression
1 addid1 10808 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
21oveq1d 7160 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 0) − 0) = (𝐴 − 0))
3 0cn 10621 . . 3 0 ∈ ℂ
4 pncan 10880 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 0) = 𝐴)
53, 4mpan2 687 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 0) − 0) = 𝐴)
62, 5eqtr3d 2855 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   + caddc 10528  cmin 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860
This theorem is referenced by:  subneg  10923  subid1i  10946  subid1d  10974  shftidt2  14428  abs2dif  14680  clim0  14851  rlim0  14853  rlim0lt  14854  climi0  14857  geo2lim  15219  fallfac1  15376  cnbl0  23309  cnblcld  23310  cnfldnm  23314  abelth  24956  logtayl  25170
  Copyright terms: Public domain W3C validator