Theorem subid1 11412

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subid1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addrid 11324	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
2	1	oveq1d 7378	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 0) − 0) = (𝐴 − 0))
3		0cn 11134	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		pncan 11397	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 0) = 𝐴)
5	3, 4	mpan2 697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 0) − 0) = 𝐴)
6	2, 5	eqtr3d 2777	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036   + caddc 11039   − cmin 11375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377

This theorem is referenced by:  subneg  11441  subid1i  11464  subid1d  11492  shftidt2  15041  abs2dif  15293  clim0  15466  rlim0  15468  rlim0lt  15469  climi0  15472  geo2lim  15838  fallfac1  15997  cnbl0  24763  cnblcld  24764  cnfldnm  24768  abelth  26431  logtayl  26649