Theorem smuval2 16411

Description: The partial sum sequence stabilizes at 𝑁 after the 𝑁 + 1-th element of the sequence; this stable value is the value of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p	⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
smuval2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
smuval2	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smuval2

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
2		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
3	2	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
4	3	bibi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
5	4	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
6		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑘))
7	6	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)))
8	7	bibi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘))))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)))))
10		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
11	10	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
12	11	bibi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
13	12	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
14		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑀))
15	14	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀)))
16	15	bibi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀))))
17	16	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀)))))
18		smuval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
19		smuval.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
20		smuval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
21		smuval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	18, 19, 20, 21	smuval 16410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
23	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
24	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
25		peano2nn0 12442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
26	21, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
27		eluznn0 12836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	26, 27	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29	23, 24, 20, 28	smupp1 16409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}))
30	29	eleq2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)})))
31	23, 24, 20	smupf 16407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
32	31, 28	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
33	32	elpwid 4562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘𝑘) ⊆ ℕ0)
34		ssrab2 4033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0)
36	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
37	33, 35, 36	sadeq 16401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
38		inrab2 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = {𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}
39		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
40	39	elin1d 4157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
41	40	nn0red 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
42	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
45		1red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
46	44, 45	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
47	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
48	47	nn0red 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
49	39	elin2d 4158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
50		elfzolt2 13589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → 𝑛 < (𝑁 + 1))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 < (𝑁 + 1))
52		eluzle 12766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
53	52	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
54	41, 46, 48, 51, 53	ltletrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 < 𝑘)
55	41, 48	ltnled 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑛 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ 𝑛))
56	54, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑘 ≤ 𝑛)
57	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
58	57	sseld 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵 → (𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0))
59		nn0ge0 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑛 − 𝑘))
60	58, 59	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵 → 0 ≤ (𝑛 − 𝑘)))
61	41, 48	subge0d 11728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (0 ≤ (𝑛 − 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ 𝑛))
62	60, 61	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵 → 𝑘 ≤ 𝑛))
63	62	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘 ≤ 𝑛))
64	56, 63	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
65	64	ralrimiva 3121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
66		rabeq0 4341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
67	65, 66	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → {𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
68	38, 67	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ∅)
69	68	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅))
70		inss1 4190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (𝑃‘𝑘)
71	70, 33	sstrid 3949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0)
72		sadid1 16397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0 → (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
74	69, 73	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
75	74	ineq1d 4172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
76		inass 4181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
77		inidm 4180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (0..^(𝑁 + 1))
78	77	ineq2i 4170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
79	76, 78	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
80	75, 79	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
81	37, 80	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
82	81	eleq2d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))
83		elin 3921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
84		elin 3921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
85	82, 83, 84	3bitr3g 313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
86		nn0uz 12795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
87	42, 86	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
88		eluzfz2 13453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
90	42	nn0zd 12515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
91		fzval3 13655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
93	89, 92	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
94	93	biantrud 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
95	93	biantrud 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
96	85, 94, 95	3bitr4d 311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)))
97	30, 96	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)))
98	97	bibi2d 342	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘))))
99	98	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)) → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
100	99	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)) → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
101	100	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘))) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
102	5, 9, 13, 17, 22, 101	uzind4i 12829	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀))))
103	1, 102	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3396   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ifcif 4478  𝒫 cpw 4553   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428  ..^cfzo 13575  seqcseq 13926   sadd csad 16349   smul csmu 16350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-had 1594  df-cad 1607  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-dvds 16182  df-bits 16351  df-sad 16380  df-smu 16405

This theorem is referenced by:  smupvallem  16412  smueqlem  16419