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Theorem smuval2 16367
Description: The partial sum sequence stabilizes at 𝑁 after the 𝑁 + 1-th element of the sequence; this stable value is the value of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
smuval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
smuval.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
smuval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
smuval2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
smuval2 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   πœ‘,𝑛   𝐡,π‘š,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘š,𝑛,𝑝)   𝑀(π‘š,𝑛,𝑝)   𝑁(π‘š,𝑝)

Proof of Theorem smuval2
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval2.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
2 fveq2 6843 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑁 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))
32eleq2d 2820 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
43bibi2d 343 . . . 4 (π‘₯ = (𝑁 + 1) β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))))
54imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = (𝑁 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))))
6 fveq2 6843 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
76eleq2d 2820 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
87bibi2d 343 . . . 4 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜))))
98imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜)))))
10 fveq2 6843 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
1110eleq2d 2820 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
1211bibi2d 343 . . . 4 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
1312imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))))
14 fveq2 6843 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
1514eleq2d 2820 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
1615bibi2d 343 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))))
1716imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€)))))
18 smuval.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
19 smuval.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
20 smuval.p . . . 4 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
21 smuval.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2218, 19, 20, 21smuval 16366 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
2318adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
2419adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
25 peano2nn0 12458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
2621, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
27 eluznn0 12847 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2826, 27sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2923, 24, 20, 28smupp1 16365 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}))
3029eleq2d 2820 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ 𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)})))
3123, 24, 20smupf 16363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
3231, 28ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ 𝒫 β„•0)
3332elpwid 4570 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) βŠ† β„•0)
34 ssrab2 4038 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0)
3626adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
3733, 35, 36sadeq 16357 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
38 inrab2 4268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}
39 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
4039elin1d 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
4140nn0red 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
4221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4342adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4443nn0red 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
45 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 1 ∈ ℝ)
4644, 45readdcld 11189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4728adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
4847nn0red 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
4939elin2d 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
50 elfzolt2 13587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) β†’ 𝑛 < (𝑁 + 1))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 < (𝑁 + 1))
52 eluzle 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)
5352ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)
5441, 46, 48, 51, 53ltletrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 < π‘˜)
5541, 48ltnled 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑛 < π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑛))
5654, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑛)
5724adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
5857sseld 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ ((𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡 β†’ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0))
59 nn0ge0 12443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (𝑛 βˆ’ π‘˜))
6058, 59syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ ((𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡 β†’ 0 ≀ (𝑛 βˆ’ π‘˜)))
6141, 48subge0d 11750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ (0 ≀ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ↔ π‘˜ ≀ 𝑛))
6260, 61sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ ((𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡 β†’ π‘˜ ≀ 𝑛))
6362adantld 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛))
6456, 63mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡))
6564ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ βˆ€π‘› ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡))
66 rabeq0 4345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘› ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡))
6765, 66sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} = βˆ…)
6838, 67eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = βˆ…)
6968oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd βˆ…))
70 inss1 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) βŠ† (π‘ƒβ€˜π‘˜)
7170, 33sstrid 3956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) βŠ† β„•0)
72 sadid1 16353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) βŠ† β„•0 β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd βˆ…) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd βˆ…) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7469, 73eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7574ineq1d 4172 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
76 inass 4180 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
77 inidm 4179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (0..^(𝑁 + 1))
7877ineq2i 4170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
7976, 78eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
8075, 79eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
8137, 80eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
8281eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ 𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))
83 elin 3927 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
84 elin 3927 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
8582, 83, 843bitr3g 313 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
86 nn0uz 12810 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
8742, 86eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
88 eluzfz2 13455 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9042nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
91 fzval3 13647 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9389, 92eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
9493biantrud 533 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ↔ (𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
9593biantrud 533 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
9685, 94, 953bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
9730, 96bitrd 279 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
9897bibi2d 343 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜))))
9998biimprd 248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
10099expcom 415 . . . 4 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))))
101100a2d 29 . . 3 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜))) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))))
1025, 9, 13, 17, 22, 101uzind4i 12840 . 2 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))))
1031, 102mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  π’« cpw 4561   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  seqcseq 13912   sadd csad 16305   smul csmu 16306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-dvds 16142  df-bits 16307  df-sad 16336  df-smu 16361
This theorem is referenced by:  smupvallem  16368  smueqlem  16375
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