Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | smuval2.m |
. 2
β’ (π β π β (β€β₯β(π + 1))) |
2 | | fveq2 6843 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = (π + 1) β (πβπ₯) = (πβ(π + 1))) |
3 | 2 | eleq2d 2820 |
. . . . 5
β’ (π₯ = (π + 1) β (π β (πβπ₯) β π β (πβ(π + 1)))) |
4 | 3 | bibi2d 343 |
. . . 4
β’ (π₯ = (π + 1) β ((π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ₯)) β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβ(π + 1))))) |
5 | 4 | imbi2d 341 |
. . 3
β’ (π₯ = (π + 1) β ((π β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ₯))) β (π β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβ(π + 1)))))) |
6 | | fveq2 6843 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π β (πβπ₯) = (πβπ)) |
7 | 6 | eleq2d 2820 |
. . . . 5
β’ (π₯ = π β (π β (πβπ₯) β π β (πβπ))) |
8 | 7 | bibi2d 343 |
. . . 4
β’ (π₯ = π β ((π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ₯)) β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ)))) |
9 | 8 | imbi2d 341 |
. . 3
β’ (π₯ = π β ((π β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ₯))) β (π β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ))))) |
10 | | fveq2 6843 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = (π + 1) β (πβπ₯) = (πβ(π + 1))) |
11 | 10 | eleq2d 2820 |
. . . . 5
β’ (π₯ = (π + 1) β (π β (πβπ₯) β π β (πβ(π + 1)))) |
12 | 11 | bibi2d 343 |
. . . 4
β’ (π₯ = (π + 1) β ((π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ₯)) β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβ(π + 1))))) |
13 | 12 | imbi2d 341 |
. . 3
β’ (π₯ = (π + 1) β ((π β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ₯))) β (π β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβ(π + 1)))))) |
14 | | fveq2 6843 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π β (πβπ₯) = (πβπ)) |
15 | 14 | eleq2d 2820 |
. . . . 5
β’ (π₯ = π β (π β (πβπ₯) β π β (πβπ))) |
16 | 15 | bibi2d 343 |
. . . 4
β’ (π₯ = π β ((π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ₯)) β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ)))) |
17 | 16 | imbi2d 341 |
. . 3
β’ (π₯ = π β ((π β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ₯))) β (π β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ))))) |
18 | | smuval.a |
. . . 4
β’ (π β π΄ β
β0) |
19 | | smuval.b |
. . . 4
β’ (π β π΅ β
β0) |
20 | | smuval.p |
. . . 4
β’ π = seq0((π β π« β0, π β β0
β¦ (π sadd {π β β0
β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)})), (π β β0 β¦ if(π = 0, β
, (π β 1)))) |
21 | | smuval.n |
. . . 4
β’ (π β π β
β0) |
22 | 18, 19, 20, 21 | smuval 16366 |
. . 3
β’ (π β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβ(π + 1)))) |
23 | 18 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π΄ β
β0) |
24 | 19 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π΅ β
β0) |
25 | | peano2nn0 12458 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β0
β (π + 1) β
β0) |
26 | 21, 25 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π + 1) β
β0) |
27 | | eluznn0 12847 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π + 1) β β0
β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β π β β0) |
28 | 26, 27 | sylan 581 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β
β0) |
29 | 23, 24, 20, 28 | smupp1 16365 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (πβ(π + 1)) = ((πβπ) sadd {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)})) |
30 | 29 | eleq2d 2820 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (π β (πβ(π + 1)) β π β ((πβπ) sadd {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)}))) |
31 | 23, 24, 20 | smupf 16363 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π:β0βΆπ«
β0) |
32 | 31, 28 | ffvelcdmd 7037 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (πβπ) β π«
β0) |
33 | 32 | elpwid 4570 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (πβπ) β
β0) |
34 | | ssrab2 4038 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ {π β β0
β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} β
β0 |
35 | 34 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β {π β β0
β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} β
β0) |
36 | 26 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (π + 1) β
β0) |
37 | 33, 35, 36 | sadeq 16357 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (((πβπ) sadd {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)}) β© (0..^(π + 1))) = ((((πβπ) β© (0..^(π + 1))) sadd ({π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} β© (0..^(π + 1)))) β© (0..^(π + 1)))) |
38 | | inrab2 4268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ({π β β0
β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} β© (0..^(π + 1))) = {π β (β0 β©
(0..^(π + 1))) β£
(π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} |
39 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
π β
(β0 β© (0..^(π + 1)))) |
40 | 39 | elin1d 4159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
π β
β0) |
41 | 40 | nn0red 12479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
π β
β) |
42 | 21 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β
β0) |
43 | 42 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
π β
β0) |
44 | 43 | nn0red 12479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
π β
β) |
45 | | 1red 11161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β 1
β β) |
46 | 44, 45 | readdcld 11189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
(π + 1) β
β) |
47 | 28 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
π β
β0) |
48 | 47 | nn0red 12479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
π β
β) |
49 | 39 | elin2d 4160 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
π β (0..^(π + 1))) |
50 | | elfzolt2 13587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (0..^(π + 1)) β π < (π + 1)) |
51 | 49, 50 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
π < (π + 1)) |
52 | | eluzle 12781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β
(β€β₯β(π + 1)) β (π + 1) β€ π) |
53 | 52 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
(π + 1) β€ π) |
54 | 41, 46, 48, 51, 53 | ltletrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
π < π) |
55 | 41, 48 | ltnled 11307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
(π < π β Β¬ π β€ π)) |
56 | 54, 55 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
Β¬ π β€ π) |
57 | 24 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
π΅ β
β0) |
58 | 57 | sseld 3944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
((π β π) β π΅ β (π β π) β
β0)) |
59 | | nn0ge0 12443 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β π) β β0 β 0 β€
(π β π)) |
60 | 58, 59 | syl6 35 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
((π β π) β π΅ β 0 β€ (π β π))) |
61 | 41, 48 | subge0d 11750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β (0
β€ (π β π) β π β€ π)) |
62 | 60, 61 | sylibd 238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
((π β π) β π΅ β π β€ π)) |
63 | 62 | adantld 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
((π β π΄ β§ (π β π) β π΅) β π β€ π)) |
64 | 56, 63 | mtod 197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β0 β©
(0..^(π + 1)))) β
Β¬ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)) |
65 | 64 | ralrimiva 3140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β βπ β (β0
β© (0..^(π + 1))) Β¬
(π β π΄ β§ (π β π) β π΅)) |
66 | | rabeq0 4345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ({π β (β0
β© (0..^(π + 1)))
β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} = β
β βπ β (β0
β© (0..^(π + 1))) Β¬
(π β π΄ β§ (π β π) β π΅)) |
67 | 65, 66 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β {π β (β0
β© (0..^(π + 1)))
β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} = β
) |
68 | 38, 67 | eqtrid 2785 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β ({π β β0
β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} β© (0..^(π + 1))) = β
) |
69 | 68 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (((πβπ) β© (0..^(π + 1))) sadd ({π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} β© (0..^(π + 1)))) = (((πβπ) β© (0..^(π + 1))) sadd β
)) |
70 | | inss1 4189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((πβπ) β© (0..^(π + 1))) β (πβπ) |
71 | 70, 33 | sstrid 3956 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β ((πβπ) β© (0..^(π + 1))) β
β0) |
72 | | sadid1 16353 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πβπ) β© (0..^(π + 1))) β β0 β
(((πβπ) β© (0..^(π + 1))) sadd β
) = ((πβπ) β© (0..^(π + 1)))) |
73 | 71, 72 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (((πβπ) β© (0..^(π + 1))) sadd β
) = ((πβπ) β© (0..^(π + 1)))) |
74 | 69, 73 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (((πβπ) β© (0..^(π + 1))) sadd ({π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} β© (0..^(π + 1)))) = ((πβπ) β© (0..^(π + 1)))) |
75 | 74 | ineq1d 4172 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β ((((πβπ) β© (0..^(π + 1))) sadd ({π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} β© (0..^(π + 1)))) β© (0..^(π + 1))) = (((πβπ) β© (0..^(π + 1))) β© (0..^(π + 1)))) |
76 | | inass 4180 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πβπ) β© (0..^(π + 1))) β© (0..^(π + 1))) = ((πβπ) β© ((0..^(π + 1)) β© (0..^(π + 1)))) |
77 | | inidm 4179 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((0..^(π + 1)) β©
(0..^(π + 1))) =
(0..^(π +
1)) |
78 | 77 | ineq2i 4170 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πβπ) β© ((0..^(π + 1)) β© (0..^(π + 1)))) = ((πβπ) β© (0..^(π + 1))) |
79 | 76, 78 | eqtri 2761 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πβπ) β© (0..^(π + 1))) β© (0..^(π + 1))) = ((πβπ) β© (0..^(π + 1))) |
80 | 75, 79 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β ((((πβπ) β© (0..^(π + 1))) sadd ({π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} β© (0..^(π + 1)))) β© (0..^(π + 1))) = ((πβπ) β© (0..^(π + 1)))) |
81 | 37, 80 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (((πβπ) sadd {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)}) β© (0..^(π + 1))) = ((πβπ) β© (0..^(π + 1)))) |
82 | 81 | eleq2d 2820 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (π β (((πβπ) sadd {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)}) β© (0..^(π + 1))) β π β ((πβπ) β© (0..^(π + 1))))) |
83 | | elin 3927 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (((πβπ) sadd {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)}) β© (0..^(π + 1))) β (π β ((πβπ) sadd {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)}) β§ π β (0..^(π + 1)))) |
84 | | elin 3927 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((πβπ) β© (0..^(π + 1))) β (π β (πβπ) β§ π β (0..^(π + 1)))) |
85 | 82, 83, 84 | 3bitr3g 313 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β ((π β ((πβπ) sadd {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)}) β§ π β (0..^(π + 1))) β (π β (πβπ) β§ π β (0..^(π + 1))))) |
86 | | nn0uz 12810 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
β0 = (β€β₯β0) |
87 | 42, 86 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β
(β€β₯β0)) |
88 | | eluzfz2 13455 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β
(β€β₯β0) β π β (0...π)) |
89 | 87, 88 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β (0...π)) |
90 | 42 | nn0zd 12530 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β β€) |
91 | | fzval3 13647 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β€ β
(0...π) = (0..^(π + 1))) |
92 | 90, 91 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (0...π) = (0..^(π + 1))) |
93 | 89, 92 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β (0..^(π + 1))) |
94 | 93 | biantrud 533 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (π β ((πβπ) sadd {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)}) β (π β ((πβπ) sadd {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)}) β§ π β (0..^(π + 1))))) |
95 | 93 | biantrud 533 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (π β (πβπ) β (π β (πβπ) β§ π β (0..^(π + 1))))) |
96 | 85, 94, 95 | 3bitr4d 311 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (π β ((πβπ) sadd {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)}) β π β (πβπ))) |
97 | 30, 96 | bitrd 279 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (π β (πβ(π + 1)) β π β (πβπ))) |
98 | 97 | bibi2d 343 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β ((π β (π΄ smul π΅) β π β (πβ(π + 1))) β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ)))) |
99 | 98 | biimprd 248 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β ((π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ)) β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβ(π + 1))))) |
100 | 99 | expcom 415 |
. . . 4
β’ (π β
(β€β₯β(π + 1)) β (π β ((π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ)) β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβ(π + 1)))))) |
101 | 100 | a2d 29 |
. . 3
β’ (π β
(β€β₯β(π + 1)) β ((π β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ))) β (π β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβ(π + 1)))))) |
102 | 5, 9, 13, 17, 22, 101 | uzind4i 12840 |
. 2
β’ (π β
(β€β₯β(π + 1)) β (π β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ)))) |
103 | 1, 102 | mpcom 38 |
1
β’ (π β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ))) |