MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smuval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smuval2 15486
Description: The partial sum sequence stabilizes at 𝑁 after the 𝑁 + 1-th element of the sequence; this stable value is the value of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
smuval2.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
smuval2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smuval2
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval2.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
2 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
32eleq2d 2829 . . . . 5 (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (𝑃𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
43bibi2d 333 . . . 4 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
54imbi2d 331 . . 3 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
6 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑘))
76eleq2d 2829 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 ∈ (𝑃𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)))
87bibi2d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘))))
98imbi2d 331 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)))))
10 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
1110eleq2d 2829 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 ∈ (𝑃𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
1211bibi2d 333 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
1312imbi2d 331 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
14 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑀))
1514eleq2d 2829 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (𝑁 ∈ (𝑃𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀)))
1615bibi2d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀))))
1716imbi2d 331 . . 3 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀)))))
18 smuval.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
19 smuval.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
20 smuval.p . . . . 5 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
21 smuval.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2218, 19, 20, 21smuval 15485 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
2322a1i 11 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
2418adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2519adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
26 peano2nn0 11579 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2721, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
28 eluznn0 11957 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2927, 28sylan 575 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3024, 25, 20, 29smupp1 15484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}))
3130eleq2d 2829 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)})))
3224, 25, 20smupf 15482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
3332, 29ffvelrnd 6549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑃𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
3433elpwid 4326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑃𝑘) ⊆ ℕ0)
35 ssrab2 3846 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0)
3727adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3834, 36, 37sadeq 15476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
39 inrab2 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = {𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}
40 inss1 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0
41 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
4240, 41sseldi 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4342nn0red 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
4421adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4645nn0red 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
47 1red 10293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
4846, 47readdcld 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4929adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5049nn0red 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
51 inss2 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (0..^(𝑁 + 1))
5251, 41sseldi 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
53 elfzolt2 12686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → 𝑛 < (𝑁 + 1))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 < (𝑁 + 1))
55 eluzle 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
5655ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
5743, 48, 50, 54, 56ltletrd 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 < 𝑘)
5843, 50ltnled 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑛 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑛))
5957, 58mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑘𝑛)
6025adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
6160sseld 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛𝑘) ∈ 𝐵 → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0))
62 nn0ge0 11564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛𝑘) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑛𝑘))
6361, 62syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛𝑘) ∈ 𝐵 → 0 ≤ (𝑛𝑘)))
6443, 50subge0d 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (0 ≤ (𝑛𝑘) ↔ 𝑘𝑛))
6563, 64sylibd 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛𝑘) ∈ 𝐵𝑘𝑛))
6665adantld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘𝑛))
6759, 66mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
6867ralrimiva 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
69 rabeq0 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
7068, 69sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → {𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
7139, 70syl5eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ∅)
7271oveq2d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅))
73 inss1 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (𝑃𝑘)
7473, 34syl5ss 3771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0)
75 sadid1 15472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0 → (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7772, 76eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7877ineq1d 3974 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
79 inass 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃𝑘) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
80 inidm 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (0..^(𝑁 + 1))
8180ineq2i 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃𝑘) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
8279, 81eqtri 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
8378, 82syl6eq 2814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
8438, 83eqtrd 2798 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
8584eleq2d 2829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))
86 elin 3957 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
87 elin 3957 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
8885, 86, 873bitr3g 304 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
89 nn0uz 11921 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
9044, 89syl6eleq 2853 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
91 eluzfz2 12555 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9344nn0zd 11726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
94 fzval3 12744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9692, 95eleqtrd 2845 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
9796biantrud 527 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
9896biantrud 527 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃𝑘) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
9988, 97, 983bitr4d 302 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)))
10031, 99bitrd 270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)))
101100bibi2d 333 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘))))
102101biimprd 239 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)) → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
103102expcom 402 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)) → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
104103a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘))) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
1055, 9, 13, 17, 23, 104uzind4 11945 . 2 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀))))
1061, 105mpcom 38 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3054  {crab 3058  cin 3730  wss 3731  c0 4078  ifcif 4242  𝒫 cpw 4314   class class class wbr 4808  cmpt 4887  cfv 6067  (class class class)co 6841  cmpt2 6843  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   < clt 10327  cle 10328  cmin 10519  0cn0 11537  cz 11623  cuz 11885  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  seqcseq 13007   sadd csad 15424   smul csmu 15425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-xor 1634  df-tru 1656  df-fal 1666  df-had 1703  df-cad 1716  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-disj 4777  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-sup 8554  df-inf 8555  df-oi 8621  df-card 9015  df-cda 9242  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-n0 11538  df-xnn0 11610  df-z 11624  df-uz 11886  df-rp 12028  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-clim 14505  df-sum 14703  df-dvds 15267  df-bits 15426  df-sad 15455  df-smu 15480
This theorem is referenced by:  smupvallem  15487  smueqlem  15494
  Copyright terms: Public domain W3C validator