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Theorem smuval2 16423
Description: The partial sum sequence stabilizes at 𝑁 after the 𝑁 + 1-th element of the sequence; this stable value is the value of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
smuval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
smuval.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
smuval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
smuval2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
smuval2 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   πœ‘,𝑛   𝐡,π‘š,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘š,𝑛,𝑝)   𝑀(π‘š,𝑛,𝑝)   𝑁(π‘š,𝑝)

Proof of Theorem smuval2
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval2.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
2 fveq2 6892 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑁 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))
32eleq2d 2820 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
43bibi2d 343 . . . 4 (π‘₯ = (𝑁 + 1) β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))))
54imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = (𝑁 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))))
6 fveq2 6892 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
76eleq2d 2820 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
87bibi2d 343 . . . 4 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜))))
98imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜)))))
10 fveq2 6892 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
1110eleq2d 2820 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
1211bibi2d 343 . . . 4 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
1312imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))))
14 fveq2 6892 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
1514eleq2d 2820 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
1615bibi2d 343 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))))
1716imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€)))))
18 smuval.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
19 smuval.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
20 smuval.p . . . 4 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
21 smuval.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2218, 19, 20, 21smuval 16422 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
2318adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
2419adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
25 peano2nn0 12512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
2621, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
27 eluznn0 12901 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2826, 27sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2923, 24, 20, 28smupp1 16421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}))
3029eleq2d 2820 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ 𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)})))
3123, 24, 20smupf 16419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
3231, 28ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ 𝒫 β„•0)
3332elpwid 4612 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) βŠ† β„•0)
34 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0)
3626adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
3733, 35, 36sadeq 16413 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
38 inrab2 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}
39 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
4039elin1d 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
4140nn0red 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
4221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4342adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4443nn0red 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
45 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 1 ∈ ℝ)
4644, 45readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4728adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
4847nn0red 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
4939elin2d 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
50 elfzolt2 13641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) β†’ 𝑛 < (𝑁 + 1))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 < (𝑁 + 1))
52 eluzle 12835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)
5352ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑁 + 1) ≀ π‘˜)
5441, 46, 48, 51, 53ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑛 < π‘˜)
5541, 48ltnled 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑛 < π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑛))
5654, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑛)
5724adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
5857sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ ((𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡 β†’ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0))
59 nn0ge0 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (𝑛 βˆ’ π‘˜))
6058, 59syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ ((𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡 β†’ 0 ≀ (𝑛 βˆ’ π‘˜)))
6141, 48subge0d 11804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ (0 ≀ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ↔ π‘˜ ≀ 𝑛))
6260, 61sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ ((𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡 β†’ π‘˜ ≀ 𝑛))
6362adantld 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛))
6456, 63mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) β†’ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡))
6564ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ βˆ€π‘› ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡))
66 rabeq0 4385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘› ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡))
6765, 66sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} = βˆ…)
6838, 67eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = βˆ…)
6968oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd βˆ…))
70 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) βŠ† (π‘ƒβ€˜π‘˜)
7170, 33sstrid 3994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) βŠ† β„•0)
72 sadid1 16409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) βŠ† β„•0 β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd βˆ…) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd βˆ…) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7469, 73eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7574ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
76 inass 4220 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
77 inidm 4219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (0..^(𝑁 + 1))
7877ineq2i 4210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
7976, 78eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
8075, 79eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
8137, 80eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
8281eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ 𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))
83 elin 3965 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
84 elin 3965 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
8582, 83, 843bitr3g 313 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
86 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
8742, 86eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
88 eluzfz2 13509 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9042nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
91 fzval3 13701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9389, 92eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
9493biantrud 533 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ↔ (𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
9593biantrud 533 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
9685, 94, 953bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
9730, 96bitrd 279 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
9897bibi2d 343 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜))))
9998biimprd 247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
10099expcom 415 . . . 4 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜)) β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))))
101100a2d 29 . . 3 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘˜))) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))))
1025, 9, 13, 17, 22, 101uzind4i 12894 . 2 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))))
1031, 102mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ 𝑁 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  seqcseq 13966   sadd csad 16361   smul csmu 16362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-bits 16363  df-sad 16392  df-smu 16417
This theorem is referenced by:  smupvallem  16424  smueqlem  16431
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