Theorem smuval2 16516

Description: The partial sum sequence stabilizes at 𝑁 after the 𝑁 + 1-th element of the sequence; this stable value is the value of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p	⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
smuval2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
smuval2	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smuval2

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
2		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
3	2	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
4	3	bibi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
5	4	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
6		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑘))
7	6	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)))
8	7	bibi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘))))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)))))
10		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
11	10	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
12	11	bibi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
13	12	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
14		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑀))
15	14	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀)))
16	15	bibi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀))))
17	16	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀)))))
18		smuval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
19		smuval.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
20		smuval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
21		smuval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	18, 19, 20, 21	smuval 16515	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
23	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
24	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
25		peano2nn0 12564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
26	21, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
27		eluznn0 12957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	26, 27	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29	23, 24, 20, 28	smupp1 16514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}))
30	29	eleq2d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)})))
31	23, 24, 20	smupf 16512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
32	31, 28	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
33	32	elpwid 4614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘𝑘) ⊆ ℕ0)
34		ssrab2 4090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0)
36	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
37	33, 35, 36	sadeq 16506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
38		inrab2 4323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = {𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}
39		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
40	39	elin1d 4214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
41	40	nn0red 12586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
42	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 12586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
45		1red 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
46	44, 45	readdcld 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
47	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
48	47	nn0red 12586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
49	39	elin2d 4215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
50		elfzolt2 13705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → 𝑛 < (𝑁 + 1))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 < (𝑁 + 1))
52		eluzle 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
53	52	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
54	41, 46, 48, 51, 53	ltletrd 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 < 𝑘)
55	41, 48	ltnled 11406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑛 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ 𝑛))
56	54, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑘 ≤ 𝑛)
57	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
58	57	sseld 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵 → (𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0))
59		nn0ge0 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑛 − 𝑘))
60	58, 59	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵 → 0 ≤ (𝑛 − 𝑘)))
61	41, 48	subge0d 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (0 ≤ (𝑛 − 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ 𝑛))
62	60, 61	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵 → 𝑘 ≤ 𝑛))
63	62	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘 ≤ 𝑛))
64	56, 63	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
65	64	ralrimiva 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
66		rabeq0 4394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
67	65, 66	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → {𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
68	38, 67	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ∅)
69	68	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅))
70		inss1 4245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (𝑃‘𝑘)
71	70, 33	sstrid 4007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0)
72		sadid1 16502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0 → (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
74	69, 73	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
75	74	ineq1d 4227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
76		inass 4236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
77		inidm 4235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (0..^(𝑁 + 1))
78	77	ineq2i 4225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
79	76, 78	eqtri 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
80	75, 79	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
81	37, 80	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
82	81	eleq2d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))
83		elin 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
84		elin 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
85	82, 83, 84	3bitr3g 313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
86		nn0uz 12918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
87	42, 86	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
88		eluzfz2 13569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
90	42	nn0zd 12637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
91		fzval3 13770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
93	89, 92	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
94	93	biantrud 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
95	93	biantrud 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
96	85, 94, 95	3bitr4d 311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)))
97	30, 96	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)))
98	97	bibi2d 342	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘))))
99	98	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)) → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
100	99	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘)) → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
101	100	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑘))) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
102	5, 9, 13, 17, 22, 101	uzind4i 12950	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀))))
103	1, 102	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  seqcseq 14039   sadd csad 16454   smul csmu 16455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-had 1591  df-cad 1604  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-bits 16456  df-sad 16485  df-smu 16510

This theorem is referenced by:  smupvallem  16517  smueqlem  16524