MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smuval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smuval2 16410
Description: The partial sum sequence stabilizes at 𝑁 after the 𝑁 + 1-th element of the sequence; this stable value is the value of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
smuval2.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
smuval2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smuval2
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval2.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
2 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
32eleq2d 2820 . . . . 5 (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (𝑃𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
43bibi2d 343 . . . 4 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
54imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
6 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑘))
76eleq2d 2820 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 ∈ (𝑃𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)))
87bibi2d 343 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘))))
98imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)))))
10 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
1110eleq2d 2820 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 ∈ (𝑃𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
1211bibi2d 343 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
1312imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
14 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑀))
1514eleq2d 2820 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (𝑁 ∈ (𝑃𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀)))
1615bibi2d 343 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀))))
1716imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀)))))
18 smuval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
19 smuval.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
20 smuval.p . . . 4 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
21 smuval.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2218, 19, 20, 21smuval 16409 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
2318adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2419adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
25 peano2nn0 12499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2621, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
27 eluznn0 12888 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2826, 27sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2923, 24, 20, 28smupp1 16408 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}))
3029eleq2d 2820 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)})))
3123, 24, 20smupf 16406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
3231, 28ffvelcdmd 7075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑃𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
3332elpwid 4607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑃𝑘) ⊆ ℕ0)
34 ssrab2 4075 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0)
3626adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3733, 35, 36sadeq 16400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
38 inrab2 4305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = {𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}
39 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
4039elin1d 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4140nn0red 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
4221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4342adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4443nn0red 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
45 1red 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
4644, 45readdcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4728adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4847nn0red 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
4939elin2d 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
50 elfzolt2 13628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → 𝑛 < (𝑁 + 1))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 < (𝑁 + 1))
52 eluzle 12822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
5352ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
5441, 46, 48, 51, 53ltletrd 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 < 𝑘)
5541, 48ltnled 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑛 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑛))
5654, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑘𝑛)
5724adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
5857sseld 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛𝑘) ∈ 𝐵 → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0))
59 nn0ge0 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛𝑘) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑛𝑘))
6058, 59syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛𝑘) ∈ 𝐵 → 0 ≤ (𝑛𝑘)))
6141, 48subge0d 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (0 ≤ (𝑛𝑘) ↔ 𝑘𝑛))
6260, 61sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛𝑘) ∈ 𝐵𝑘𝑛))
6362adantld 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘𝑛))
6456, 63mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
6564ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
66 rabeq0 4382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
6765, 66sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → {𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
6838, 67eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ∅)
6968oveq2d 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅))
70 inss1 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (𝑃𝑘)
7170, 33sstrid 3991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0)
72 sadid1 16396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0 → (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7469, 73eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7574ineq1d 4209 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
76 inass 4217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃𝑘) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
77 inidm 4216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (0..^(𝑁 + 1))
7877ineq2i 4207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃𝑘) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
7976, 78eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
8075, 79eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
8137, 80eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
8281eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))
83 elin 3962 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
84 elin 3962 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
8582, 83, 843bitr3g 313 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
86 nn0uz 12851 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
8742, 86eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
88 eluzfz2 13496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9042nn0zd 12571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
91 fzval3 13688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9389, 92eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
9493biantrud 533 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
9593biantrud 533 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃𝑘) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
9685, 94, 953bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)))
9730, 96bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)))
9897bibi2d 343 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘))))
9998biimprd 247 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)) → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
10099expcom 415 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)) → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
101100a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘))) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
1025, 9, 13, 17, 22, 101uzind4i 12881 . 2 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀))))
1031, 102mpcom 38 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  {crab 3433  cin 3945  wss 3946  c0 4320  ifcif 4524  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5144  cmpt 5227  cfv 6535  (class class class)co 7396  cmpo 7398  0cc0 11097  1c1 11098   + caddc 11100   < clt 11235  cle 11236  cmin 11431  0cn0 12459  cz 12545  cuz 12809  ...cfz 13471  ..^cfzo 13614  seqcseq 13953   sadd csad 16348   smul csmu 16349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-n0 12460  df-xnn0 12532  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-mod 13822  df-seq 13954  df-exp 14015  df-hash 14278  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-clim 15419  df-sum 15620  df-dvds 16185  df-bits 16350  df-sad 16379  df-smu 16404
This theorem is referenced by:  smupvallem  16411  smueqlem  16418
  Copyright terms: Public domain W3C validator