Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fldc 46935
Description: The restriction of the category of division rings to the set of field homomorphisms is a category, the "category of fields". (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
drhmsubc.c 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
drhmsubc.j 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
fldhmsubc.d 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
fldhmsubc.f 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fldc (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ÿ,𝑠   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠   𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝐷,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,π‘Ÿ)   𝐽(𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem fldc
StepHypRef Expression
1 fvexd 6904 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (RingCatβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
2 drhmsubc.j . . . . 5 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
3 ovex 7439 . . . . 5 (π‘Ÿ RingHom 𝑠) ∈ V
42, 3fnmpoi 8053 . . . 4 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢)
54a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢))
6 fldhmsubc.f . . . . 5 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
76, 3fnmpoi 8053 . . . 4 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷)
87a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷))
9 drhmsubc.c . . . 4 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
10 inex1g 5319 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ DivRing) ∈ V)
119, 10eqeltrid 2838 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
12 df-field 20311 . . . . . 6 Field = (DivRing ∩ CRing)
13 inss1 4228 . . . . . 6 (DivRing ∩ CRing) βŠ† DivRing
1412, 13eqsstri 4016 . . . . 5 Field βŠ† DivRing
15 sslin 4234 . . . . 5 (Field βŠ† DivRing β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
17 fldhmsubc.d . . . 4 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
1816, 17, 93sstr4g 4027 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 βŠ† 𝐢)
191, 5, 8, 11, 18rescabs 17779 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) = ((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐹))
209, 2, 17, 6fldcat 46934 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
2119, 20eqeltrd 2834 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6536  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  Catccat 17605   β†Ύcat cresc 17752  CRingccrg 20051   RingHom crh 20241  DivRingcdr 20308  Fieldcfield 20309  RingCatcringc 46855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-cat 17609  df-cid 17610  df-homf 17611  df-ssc 17754  df-resc 17755  df-subc 17756  df-estrc 18071  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-grp 18819  df-ghm 19085  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-rnghom 20244  df-field 20311  df-ringc 46857
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator