Theorem fldc 45593

Description: The restriction of the category of division rings to the set of field homomorphisms is a category, the "category of fields". (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
drhmsubc.c	⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
drhmsubc.j	⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
fldhmsubc.d	⊢ 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
fldhmsubc.f	⊢ 𝐹 = (𝑟 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))

Assertion

Ref	Expression
fldc	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCat‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝐷,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,𝑟)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem fldc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6783	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (RingCat‘𝑈) ∈ V)
2		drhmsubc.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
3		ovex 7301	. . . . 5 ⊢ (𝑟 RingHom 𝑠) ∈ V
4	2, 3	fnmpoi 7896	. . . 4 ⊢ 𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶))
6		fldhmsubc.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑟 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
7	6, 3	fnmpoi 7896	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷))
9		drhmsubc.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
10		inex1g 5246	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ DivRing) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrid 2844	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
12		df-field 19975	. . . . . 6 ⊢ Field = (DivRing ∩ CRing)
13		inss1 4167	. . . . . 6 ⊢ (DivRing ∩ CRing) ⊆ DivRing
14	12, 13	eqsstri 3959	. . . . 5 ⊢ Field ⊆ DivRing
15		sslin 4173	. . . . 5 ⊢ (Field ⊆ DivRing → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
17		fldhmsubc.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
18	16, 17, 9	3sstr4g 3970	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐷 ⊆ 𝐶)
19	1, 5, 8, 11, 18	rescabs 17528	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCat‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) = ((RingCat‘𝑈) ↾cat 𝐹))
20	9, 2, 17, 6	fldcat 45592	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((RingCat‘𝑈) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)
21	19, 20	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCat‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   ∩ cin 3890   ⊆ wss 3891   × cxp 5586   Fn wfn 6425  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268   ∈ cmpo 7270  Catccat 17354   ↾_cat cresc 17501  CRingccrg 19765   RingHom crh 19937  DivRingcdr 19972  Fieldcfield 19973  RingCatcringc 45513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-hom 16967  df-cco 16968  df-0g 17133  df-cat 17358  df-cid 17359  df-homf 17360  df-ssc 17503  df-resc 17504  df-subc 17505  df-estrc 17820  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-grp 18561  df-ghm 18813  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-cring 19767  df-rnghom 19940  df-field 19975  df-ringc 45515

This theorem is referenced by: (None)