Theorem fldc 20687

Description: The restriction of the category of division rings to the set of field homomorphisms is a category, the "category of fields". (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
drhmsubc.c	⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
drhmsubc.j	⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
fldhmsubc.d	⊢ 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
fldhmsubc.f	⊢ 𝐹 = (𝑟 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))

Assertion

Ref	Expression
fldc	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCat‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝐷,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,𝑟)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem fldc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6841	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (RingCat‘𝑈) ∈ V)
2		drhmsubc.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
3		ovex 7386	. . . . 5 ⊢ (𝑟 RingHom 𝑠) ∈ V
4	2, 3	fnmpoi 8012	. . . 4 ⊢ 𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶))
6		fldhmsubc.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑟 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
7	6, 3	fnmpoi 8012	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷))
9		drhmsubc.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
10		inex1g 5261	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ DivRing) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
12		df-field 20635	. . . . . 6 ⊢ Field = (DivRing ∩ CRing)
13		inss1 4190	. . . . . 6 ⊢ (DivRing ∩ CRing) ⊆ DivRing
14	12, 13	eqsstri 3984	. . . . 5 ⊢ Field ⊆ DivRing
15		sslin 4196	. . . . 5 ⊢ (Field ⊆ DivRing → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
17		fldhmsubc.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
18	16, 17, 9	3sstr4g 3991	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐷 ⊆ 𝐶)
19	1, 5, 8, 11, 18	rescabs 17758	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCat‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) = ((RingCat‘𝑈) ↾cat 𝐹))
20	9, 2, 17, 6	fldcat 20686	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((RingCat‘𝑈) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)
21	19, 20	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCat‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905   × cxp 5621   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  Catccat 17588   ↾_cat cresc 17733  CRingccrg 20137   RingHom crh 20372  RingCatcringc 20548  DivRingcdr 20632  Fieldcfield 20633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-cat 17592  df-cid 17593  df-homf 17594  df-ssc 17735  df-resc 17736  df-subc 17737  df-estrc 18047  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-grp 18833  df-ghm 19110  df-mgp 20044  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20375  df-ringc 20549  df-field 20635

This theorem is referenced by: (None)