Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fldc 47082
Description: The restriction of the category of division rings to the set of field homomorphisms is a category, the "category of fields". (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
drhmsubc.c 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
drhmsubc.j 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
fldhmsubc.d 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
fldhmsubc.f 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fldc (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ÿ,𝑠   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠   𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝐷,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,π‘Ÿ)   𝐽(𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem fldc
StepHypRef Expression
1 fvexd 6906 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (RingCatβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
2 drhmsubc.j . . . . 5 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
3 ovex 7445 . . . . 5 (π‘Ÿ RingHom 𝑠) ∈ V
42, 3fnmpoi 8060 . . . 4 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢)
54a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢))
6 fldhmsubc.f . . . . 5 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
76, 3fnmpoi 8060 . . . 4 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷)
87a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷))
9 drhmsubc.c . . . 4 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
10 inex1g 5319 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ DivRing) ∈ V)
119, 10eqeltrid 2836 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
12 df-field 20507 . . . . . 6 Field = (DivRing ∩ CRing)
13 inss1 4228 . . . . . 6 (DivRing ∩ CRing) βŠ† DivRing
1412, 13eqsstri 4016 . . . . 5 Field βŠ† DivRing
15 sslin 4234 . . . . 5 (Field βŠ† DivRing β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
17 fldhmsubc.d . . . 4 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
1816, 17, 93sstr4g 4027 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 βŠ† 𝐢)
191, 5, 8, 11, 18rescabs 17789 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) = ((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐹))
209, 2, 17, 6fldcat 47081 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
2119, 20eqeltrd 2832 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Catccat 17615   β†Ύcat cresc 17762  CRingccrg 20132   RingHom crh 20364  DivRingcdr 20504  Fieldcfield 20505  RingCatcringc 47002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-cat 17619  df-cid 17620  df-homf 17621  df-ssc 17764  df-resc 17765  df-subc 17766  df-estrc 18081  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-mhm 18708  df-grp 18861  df-ghm 19132  df-mgp 20033  df-ur 20080  df-ring 20133  df-cring 20134  df-rhm 20367  df-field 20507  df-ringc 47004
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator