Theorem hashun3 14351

Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashun3	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

Proof of Theorem hashun3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 9185	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4		inss1 4228	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
5		ssfi 9179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
6	3, 4, 5	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
7		sslin 4234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴))
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴)
9		disjdifr 4472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
10		sseq0 4399	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) ∧ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅)
11	8, 9, 10	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅)
13		hashun 14349	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅) → (♯‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
14	2, 6, 12, 13	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
15		incom 4201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
16	15	uneq2i 4160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴))
17		uncom 4153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴)) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))
18		inundif 4478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵
19	16, 17, 18	3eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐵
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐵)
21	20	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘𝐵))
22	14, 21	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘𝐵))
23		hashcl 14323	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
25	24	nn0cnd 12541	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
26		hashcl 14323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℕ0)
27	6, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12541	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
29		hashcl 14323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
30	2, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12541	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℂ)
32	25, 28, 31	subadd2d 11597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘𝐵)))
33	22, 32	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)))
34	33	oveq2d 7428	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
35		hashcl 14323	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
37	36	nn0cnd 12541	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
38	37, 25, 28	addsubassd 11598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
39		undif2 4476	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
40	39	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵))
41		disjdif 4471	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
43		hashun 14349	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
44	3, 2, 42, 43	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
45	40, 44	eqtr3id 2785	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
46	34, 38, 45	3eqtr4rd 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945   + caddc 11119   − cmin 11451  ℕ₀cn0 12479  ♯chash 14297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-hash 14298

This theorem is referenced by:  incexclem  15789