MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashun3 13733
Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashun3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem hashun3
StepHypRef Expression
1 diffi 8738 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
21adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
3 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4 inss1 4202 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
5 ssfi 8726 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
7 sslin 4208 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴))
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴)
9 incom 4175 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵𝐴))
10 disjdif 4417 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
119, 10eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
12 sseq0 4350 . . . . . . . 8 ((((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) ∧ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
138, 11, 12mp2an 688 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
15 hashun 13731 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (♯‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))))
162, 6, 14, 15syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))))
17 incom 4175 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
1817uneq2i 4133 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
19 uncom 4126 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
20 inundif 4423 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵
2118, 19, 203eqtri 2845 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐵
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐵)
2322fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = (♯‘𝐵))
2416, 23eqtr3d 2855 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐵))
25 hashcl 13705 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2726nn0cnd 11945 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
28 hashcl 13705 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
296, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 11945 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
31 hashcl 13705 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∈ Fin → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
322, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
3332nn0cnd 11945 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
3427, 30, 33subadd2d 11004 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘(𝐵𝐴)) ↔ ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐵)))
3524, 34mpbird 258 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘(𝐵𝐴)))
3635oveq2d 7161 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵)))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
37 hashcl 13705 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3837adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 11945 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
4039, 27, 30addsubassd 11005 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵)))))
41 undif2 4421 . . . 4 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
4241fveq2i 6666 . . 3 (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (♯‘(𝐴𝐵))
4310a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
44 hashun 13731 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
453, 2, 43, 44syl3anc 1363 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
4642, 45syl5eqr 2867 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
4736, 40, 463eqtr4rd 2864 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497   + caddc 10528  cmin 10858  0cn0 11885  chash 13678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-hash 13679
This theorem is referenced by:  incexclem  15179
  Copyright terms: Public domain W3C validator