MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashun3 14351
Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashun3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem hashun3
StepHypRef Expression
1 diffi 9185 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
21adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
3 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4 inss1 4228 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
5 ssfi 9179 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
7 sslin 4234 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴))
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴)
9 disjdifr 4472 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
10 sseq0 4399 . . . . . . . 8 ((((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) ∧ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
118, 9, 10mp2an 689 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
13 hashun 14349 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (♯‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))))
142, 6, 12, 13syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))))
15 incom 4201 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
1615uneq2i 4160 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
17 uncom 4153 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
18 inundif 4478 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵
1916, 17, 183eqtri 2763 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐵
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐵)
2120fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = (♯‘𝐵))
2214, 21eqtr3d 2773 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐵))
23 hashcl 14323 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2423adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2524nn0cnd 12541 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
26 hashcl 14323 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
276, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 12541 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
29 hashcl 14323 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∈ Fin → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
302, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 12541 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
3225, 28, 31subadd2d 11597 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘(𝐵𝐴)) ↔ ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐵)))
3322, 32mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘(𝐵𝐴)))
3433oveq2d 7428 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵)))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
35 hashcl 14323 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3635adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3736nn0cnd 12541 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
3837, 25, 28addsubassd 11598 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵)))))
39 undif2 4476 . . . 4 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
4039fveq2i 6894 . . 3 (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (♯‘(𝐴𝐵))
41 disjdif 4471 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
4241a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
43 hashun 14349 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
443, 2, 42, 43syl3anc 1370 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
4540, 44eqtr3id 2785 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
4634, 38, 453eqtr4rd 2782 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945   + caddc 11119  cmin 11451  0cn0 12479  chash 14297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-hash 14298
This theorem is referenced by:  incexclem  15789
  Copyright terms: Public domain W3C validator