MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashun3 14348
Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashun3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem hashun3
StepHypRef Expression
1 diffi 9181 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
21adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
3 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4 inss1 4227 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
5 ssfi 9175 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
7 sslin 4233 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴))
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴)
9 disjdifr 4471 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
10 sseq0 4398 . . . . . . . 8 ((((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) ∧ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
118, 9, 10mp2an 688 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
13 hashun 14346 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (♯‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))))
142, 6, 12, 13syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))))
15 incom 4200 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
1615uneq2i 4159 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
17 uncom 4152 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
18 inundif 4477 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵
1916, 17, 183eqtri 2762 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐵
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐵)
2120fveq2d 6894 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = (♯‘𝐵))
2214, 21eqtr3d 2772 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐵))
23 hashcl 14320 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2423adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2524nn0cnd 12538 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
26 hashcl 14320 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
276, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 12538 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
29 hashcl 14320 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∈ Fin → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
302, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 12538 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
3225, 28, 31subadd2d 11594 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘(𝐵𝐴)) ↔ ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐵)))
3322, 32mpbird 256 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘(𝐵𝐴)))
3433oveq2d 7427 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵)))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
35 hashcl 14320 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3635adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3736nn0cnd 12538 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
3837, 25, 28addsubassd 11595 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵)))))
39 undif2 4475 . . . 4 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
4039fveq2i 6893 . . 3 (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (♯‘(𝐴𝐵))
41 disjdif 4470 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
4241a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
43 hashun 14346 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
443, 2, 42, 43syl3anc 1369 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
4540, 44eqtr3id 2784 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
4634, 38, 453eqtr4rd 2781 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4321  cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941   + caddc 11115  cmin 11448  0cn0 12476  chash 14294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-hash 14295
This theorem is referenced by:  incexclem  15786
  Copyright terms: Public domain W3C validator