Theorem hashun3 14535

Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashun3	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

Proof of Theorem hashun3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 9198	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
2	1	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
3		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4		inss1 4132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
5		ssfi 9196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
6	3, 4, 5	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
7		sslin 4138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴))
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴)
9		disjdifr 4426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
10		sseq0 4353	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) ∧ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅)
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅)
13		hashun 14533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅) → (♯‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
14	2, 6, 12, 13	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
15		incom 4105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
16	15	uneq2i 4163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴))
17		uncom 4156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴)) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))
18		inundif 4434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵
19	16, 17, 18	3eqtri 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐵
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐵)
21	20	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘𝐵))
22	14, 21	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘𝐵))
23		hashcl 14507	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
24	23	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
25	24	nn0cnd 12676	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
26		hashcl 14507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℕ0)
27	6, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12676	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
29		hashcl 14507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
30	2, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12676	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℂ)
32	25, 28, 31	subadd2d 11695	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘𝐵)))
33	22, 32	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)))
34	33	oveq2d 7440	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
35		hashcl 14507	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
36	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
37	36	nn0cnd 12676	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
38	37, 25, 28	addsubassd 11696	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
39		undif2 4430	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
40	39	fveq2i 6893	. . 3 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵))
41		disjdif 4425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
43		hashun 14533	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
44	3, 2, 42, 43	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
45	40, 44	eqtr3id 2809	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
46	34, 38, 45	3eqtr4rd 2806	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088   ∪ cun 4148  ∅c0 4277  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Fincfn 8981   + caddc 11210   − cmin 11548  ℕ₀cn0 12613  ♯chash 14481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-oadd 8488  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-hash 14482

This theorem is used by:  incexclem  16014