Theorem hashun3 14319

Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashun3	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

Proof of Theorem hashun3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 9111	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4		inss1 4191	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
5		ssfi 9109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
6	3, 4, 5	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
7		sslin 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴))
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴)
9		disjdifr 4427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
10		sseq0 4357	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) ∧ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅)
11	8, 9, 10	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅)
13		hashun 14317	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅) → (♯‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
14	2, 6, 12, 13	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
15		incom 4163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
16	15	uneq2i 4119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴))
17		uncom 4112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴)) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))
18		inundif 4433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵
19	16, 17, 18	3eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐵
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐵)
21	20	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘𝐵))
22	14, 21	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘𝐵))
23		hashcl 14291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
25	24	nn0cnd 12476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
26		hashcl 14291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℕ0)
27	6, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
29		hashcl 14291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
30	2, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℂ)
32	25, 28, 31	subadd2d 11523	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘𝐵)))
33	22, 32	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)))
34	33	oveq2d 7384	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
35		hashcl 14291	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
37	36	nn0cnd 12476	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
38	37, 25, 28	addsubassd 11524	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
39		undif2 4431	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
40	39	fveq2i 6845	. . 3 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵))
41		disjdif 4426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
43		hashun 14317	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
44	3, 2, 42, 43	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
45	40, 44	eqtr3id 2786	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
46	34, 38, 45	3eqtr4rd 2783	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895   + caddc 11041   − cmin 11376  ℕ₀cn0 12413  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  incexclem  15771