Theorem hashun3 14416

Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashun3	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

Proof of Theorem hashun3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 9155	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
2	1	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
3		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4		inss1 4189	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
5		ssfi 9153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
6	3, 4, 5	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
7		sslin 4195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴))
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴)
9		disjdifr 4434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
10		sseq0 4361	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) ∧ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅)
11	8, 9, 10	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅)
13		hashun 14414	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅) → (♯‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
14	2, 6, 12, 13	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
15		incom 4162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
16	15	uneq2i 4119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴))
17		uncom 4112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴)) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))
18		inundif 4440	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵
19	16, 17, 18	3eqtri 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐵
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐵)
21	20	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘𝐵))
22	14, 21	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘𝐵))
23		hashcl 14388	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
24	23	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
25	24	nn0cnd 12562	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
26		hashcl 14388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℕ0)
27	6, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12562	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
29		hashcl 14388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
30	2, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12562	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℂ)
32	25, 28, 31	subadd2d 11583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘𝐵)))
33	22, 32	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)))
34	33	oveq2d 7426	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
35		hashcl 14388	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
36	35	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
37	36	nn0cnd 12562	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
38	37, 25, 28	addsubassd 11584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
39		undif2 4438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
40	39	fveq2i 6884	. . 3 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵))
41		disjdif 4433	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
43		hashun 14414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
44	3, 2, 42, 43	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
45	40, 44	eqtr3id 2812	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
46	34, 38, 45	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939   + caddc 11098   − cmin 11436  ℕ₀cn0 12499  ♯chash 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-hash 14363

This theorem is referenced by:  incexclem  15886