MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashun3 14343
Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashun3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem hashun3
StepHypRef Expression
1 diffi 9178 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
21adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
3 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4 inss1 4228 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
5 ssfi 9172 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
7 sslin 4234 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴))
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴)
9 disjdifr 4472 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
10 sseq0 4399 . . . . . . . 8 ((((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) ∧ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
118, 9, 10mp2an 690 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
13 hashun 14341 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (♯‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))))
142, 6, 12, 13syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))))
15 incom 4201 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
1615uneq2i 4160 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
17 uncom 4153 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
18 inundif 4478 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵
1916, 17, 183eqtri 2764 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐵
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐵)
2120fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = (♯‘𝐵))
2214, 21eqtr3d 2774 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐵))
23 hashcl 14315 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2423adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2524nn0cnd 12533 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
26 hashcl 14315 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
276, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 12533 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
29 hashcl 14315 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∈ Fin → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
302, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 12533 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
3225, 28, 31subadd2d 11589 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘(𝐵𝐴)) ↔ ((♯‘(𝐵𝐴)) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐵)))
3322, 32mpbird 256 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘(𝐵𝐴)))
3433oveq2d 7424 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵)))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
35 hashcl 14315 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3635adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3736nn0cnd 12533 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
3837, 25, 28addsubassd 11590 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐴𝐵)))))
39 undif2 4476 . . . 4 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
4039fveq2i 6894 . . 3 (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (♯‘(𝐴𝐵))
41 disjdif 4471 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
4241a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
43 hashun 14341 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
443, 2, 42, 43syl3anc 1371 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
4540, 44eqtr3id 2786 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
4634, 38, 453eqtr4rd 2783 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938   + caddc 11112  cmin 11443  0cn0 12471  chash 14289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-hash 14290
This theorem is referenced by:  incexclem  15781
  Copyright terms: Public domain W3C validator