Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldhmsubc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fldhmsubc 46982
Description: According to df-subc 17759, the subcategories (Subcatβ€˜πΆ) of a category 𝐢 are subsets of the homomorphisms of 𝐢 (see subcssc 17790 and subcss2 17793). Therefore, the set of field homomorphisms is a "subcategory" of the category of division rings. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
drhmsubc.c 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
drhmsubc.j 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
fldhmsubc.d 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
fldhmsubc.f 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fldhmsubc (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ÿ,𝑠   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠   𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝐷,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,π‘Ÿ)   𝐽(𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem fldhmsubc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3965 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ (DivRing ∩ CRing) ↔ (π‘Ÿ ∈ DivRing ∧ π‘Ÿ ∈ CRing))
21simprbi 498 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ (DivRing ∩ CRing) β†’ π‘Ÿ ∈ CRing)
3 crngring 20068 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ CRing β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (DivRing ∩ CRing) β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
5 df-field 20360 . . . . 5 Field = (DivRing ∩ CRing)
64, 5eleq2s 2852 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ Field β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
76rgen 3064 . . 3 βˆ€π‘Ÿ ∈ Field π‘Ÿ ∈ Ring
8 fldhmsubc.d . . 3 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
9 fldhmsubc.f . . 3 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
107, 8, 9srhmsubc 46974 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
11 inss1 4229 . . . . . . 7 (DivRing ∩ CRing) βŠ† DivRing
125, 11eqsstri 4017 . . . . . 6 Field βŠ† DivRing
13 sslin 4235 . . . . . 6 (Field βŠ† DivRing β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing)
1514a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
16 drhmsubc.c . . . . 5 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
178, 16sseq12i 4013 . . . 4 (𝐷 βŠ† 𝐢 ↔ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
1815, 17sylibr 233 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 βŠ† 𝐢)
19 ssidd 4006 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯ RingHom 𝑦) βŠ† (π‘₯ RingHom 𝑦))
209a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠)))
21 oveq12 7418 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ = π‘₯ ∧ 𝑠 = 𝑦) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
2221adantl 483 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (π‘Ÿ = π‘₯ ∧ 𝑠 = 𝑦)) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
23 simprl 770 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
24 simpr 486 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
2524adantl 483 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
26 ovexd 7444 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯ RingHom 𝑦) ∈ V)
2720, 22, 23, 25, 26ovmpod 7560 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
28 drhmsubc.j . . . . . . 7 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
2928a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠)))
3014, 17mpbir 230 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† 𝐢
3130sseli 3979 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
3231ad2antrl 727 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
3330sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
3433adantl 483 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
3534adantl 483 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
3629, 22, 32, 35, 26ovmpod 7560 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯𝐽𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
3719, 27, 363sstr4d 4030 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯𝐹𝑦) βŠ† (π‘₯𝐽𝑦))
3837ralrimivva 3201 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯𝐹𝑦) βŠ† (π‘₯𝐽𝑦))
39 ovex 7442 . . . . . 6 (π‘Ÿ RingHom 𝑠) ∈ V
409, 39fnmpoi 8056 . . . . 5 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷)
4140a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷))
4228, 39fnmpoi 8056 . . . . 5 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢)
4342a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢))
44 inex1g 5320 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ DivRing) ∈ V)
4516, 44eqeltrid 2838 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
4641, 43, 45isssc 17767 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 βŠ†cat 𝐽 ↔ (𝐷 βŠ† 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯𝐹𝑦) βŠ† (π‘₯𝐽𝑦))))
4718, 38, 46mpbir2and 712 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 βŠ†cat 𝐽)
4816, 28drhmsubc 46978 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
49 eqid 2733 . . . 4 ((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) = ((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)
5049subsubc 17803 . . 3 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)) ↔ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐹 βŠ†cat 𝐽)))
5148, 50syl 17 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)) ↔ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐹 βŠ†cat 𝐽)))
5210, 47, 51mpbir2and 712 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   βŠ†cat cssc 17754   β†Ύcat cresc 17755  Subcatcsubc 17756  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057   RingHom crh 20248  DivRingcdr 20357  Fieldcfield 20358  RingCatcringc 46901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-cat 17612  df-cid 17613  df-homf 17614  df-ssc 17757  df-resc 17758  df-subc 17759  df-estrc 18074  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-ghm 19090  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-rnghom 20251  df-drng 20359  df-field 20360  df-ringc 46903
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator