Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldhmsubc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fldhmsubc 47071
Description: According to df-subc 17764, the subcategories (Subcatβ€˜πΆ) of a category 𝐢 are subsets of the homomorphisms of 𝐢 (see subcssc 17795 and subcss2 17798). Therefore, the set of field homomorphisms is a "subcategory" of the category of division rings. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
drhmsubc.c 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
drhmsubc.j 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
fldhmsubc.d 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
fldhmsubc.f 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fldhmsubc (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ÿ,𝑠   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠   𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝐷,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,π‘Ÿ)   𝐽(𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem fldhmsubc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3964 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ (DivRing ∩ CRing) ↔ (π‘Ÿ ∈ DivRing ∧ π‘Ÿ ∈ CRing))
21simprbi 496 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ (DivRing ∩ CRing) β†’ π‘Ÿ ∈ CRing)
3 crngring 20140 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ CRing β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (DivRing ∩ CRing) β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
5 df-field 20504 . . . . 5 Field = (DivRing ∩ CRing)
64, 5eleq2s 2850 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ Field β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
76rgen 3062 . . 3 βˆ€π‘Ÿ ∈ Field π‘Ÿ ∈ Ring
8 fldhmsubc.d . . 3 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
9 fldhmsubc.f . . 3 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
107, 8, 9srhmsubc 47063 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
11 inss1 4228 . . . . . . 7 (DivRing ∩ CRing) βŠ† DivRing
125, 11eqsstri 4016 . . . . . 6 Field βŠ† DivRing
13 sslin 4234 . . . . . 6 (Field βŠ† DivRing β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing)
1514a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
16 drhmsubc.c . . . . 5 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
178, 16sseq12i 4012 . . . 4 (𝐷 βŠ† 𝐢 ↔ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
1815, 17sylibr 233 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 βŠ† 𝐢)
19 ssidd 4005 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯ RingHom 𝑦) βŠ† (π‘₯ RingHom 𝑦))
209a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠)))
21 oveq12 7421 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ = π‘₯ ∧ 𝑠 = 𝑦) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
2221adantl 481 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (π‘Ÿ = π‘₯ ∧ 𝑠 = 𝑦)) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
23 simprl 768 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
24 simpr 484 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
2524adantl 481 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
26 ovexd 7447 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯ RingHom 𝑦) ∈ V)
2720, 22, 23, 25, 26ovmpod 7563 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
28 drhmsubc.j . . . . . . 7 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
2928a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠)))
3014, 17mpbir 230 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† 𝐢
3130sseli 3978 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
3231ad2antrl 725 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
3330sseli 3978 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
3433adantl 481 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
3534adantl 481 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
3629, 22, 32, 35, 26ovmpod 7563 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯𝐽𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
3719, 27, 363sstr4d 4029 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯𝐹𝑦) βŠ† (π‘₯𝐽𝑦))
3837ralrimivva 3199 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯𝐹𝑦) βŠ† (π‘₯𝐽𝑦))
39 ovex 7445 . . . . . 6 (π‘Ÿ RingHom 𝑠) ∈ V
409, 39fnmpoi 8060 . . . . 5 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷)
4140a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷))
4228, 39fnmpoi 8060 . . . . 5 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢)
4342a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢))
44 inex1g 5319 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ DivRing) ∈ V)
4516, 44eqeltrid 2836 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
4641, 43, 45isssc 17772 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 βŠ†cat 𝐽 ↔ (𝐷 βŠ† 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯𝐹𝑦) βŠ† (π‘₯𝐽𝑦))))
4718, 38, 46mpbir2and 710 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 βŠ†cat 𝐽)
4816, 28drhmsubc 47067 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
49 eqid 2731 . . . 4 ((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) = ((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)
5049subsubc 17808 . . 3 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)) ↔ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐹 βŠ†cat 𝐽)))
5148, 50syl 17 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)) ↔ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐹 βŠ†cat 𝐽)))
5210, 47, 51mpbir2and 710 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   βŠ†cat cssc 17759   β†Ύcat cresc 17760  Subcatcsubc 17761  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129   RingHom crh 20361  DivRingcdr 20501  Fieldcfield 20502  RingCatcringc 46990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-cat 17617  df-cid 17618  df-homf 17619  df-ssc 17762  df-resc 17763  df-subc 17764  df-estrc 18079  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-grp 18859  df-ghm 19129  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-drng 20503  df-field 20504  df-ringc 46992
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator