Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldhmsubcALTV Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fldhmsubcALTV 46953
Description: According to df-subc 17755, the subcategories (Subcatβ€˜πΆ) of a category 𝐢 are subsets of the homomorphisms of 𝐢 (see subcssc 17786 and subcss2 17789). Therefore, the set of field homomorphisms is a "subcategory" of the category of division rings. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
drhmsubcALTV.c 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
drhmsubcALTV.j 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
fldhmsubcALTV.d 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
fldhmsubcALTV.f 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fldhmsubcALTV (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ÿ,𝑠   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠   𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝐷,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,π‘Ÿ)   𝐽(𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem fldhmsubcALTV
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3963 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ (DivRing ∩ CRing) ↔ (π‘Ÿ ∈ DivRing ∧ π‘Ÿ ∈ CRing))
21simprbi 497 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ (DivRing ∩ CRing) β†’ π‘Ÿ ∈ CRing)
3 crngring 20061 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ CRing β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (DivRing ∩ CRing) β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
5 df-field 20310 . . . . 5 Field = (DivRing ∩ CRing)
64, 5eleq2s 2851 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ Field β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
76rgen 3063 . . 3 βˆ€π‘Ÿ ∈ Field π‘Ÿ ∈ Ring
8 fldhmsubcALTV.d . . 3 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
9 fldhmsubcALTV.f . . 3 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
107, 8, 9srhmsubcALTV 46945 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
11 inss1 4227 . . . . . . 7 (DivRing ∩ CRing) βŠ† DivRing
125, 11eqsstri 4015 . . . . . 6 Field βŠ† DivRing
13 sslin 4233 . . . . . 6 (Field βŠ† DivRing β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing)
1514a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
16 drhmsubcALTV.c . . . . 5 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
178, 16sseq12i 4011 . . . 4 (𝐷 βŠ† 𝐢 ↔ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
1815, 17sylibr 233 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 βŠ† 𝐢)
19 ssidd 4004 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯ RingHom 𝑦) βŠ† (π‘₯ RingHom 𝑦))
209a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠)))
21 oveq12 7414 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ = π‘₯ ∧ 𝑠 = 𝑦) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
2221adantl 482 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (π‘Ÿ = π‘₯ ∧ 𝑠 = 𝑦)) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
23 simprl 769 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
24 simpr 485 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
2524adantl 482 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
26 ovexd 7440 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯ RingHom 𝑦) ∈ V)
2720, 22, 23, 25, 26ovmpod 7556 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
28 drhmsubcALTV.j . . . . . . 7 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
2928a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠)))
3014, 17mpbir 230 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† 𝐢
3130sseli 3977 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
3231ad2antrl 726 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
3330sseli 3977 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
3433adantl 482 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
3534adantl 482 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
3629, 22, 32, 35, 26ovmpod 7556 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯𝐽𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
3719, 27, 363sstr4d 4028 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯𝐹𝑦) βŠ† (π‘₯𝐽𝑦))
3837ralrimivva 3200 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯𝐹𝑦) βŠ† (π‘₯𝐽𝑦))
39 ovex 7438 . . . . . 6 (π‘Ÿ RingHom 𝑠) ∈ V
409, 39fnmpoi 8052 . . . . 5 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷)
4140a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷))
4228, 39fnmpoi 8052 . . . . 5 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢)
4342a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢))
44 inex1g 5318 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ DivRing) ∈ V)
4516, 44eqeltrid 2837 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
4641, 43, 45isssc 17763 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 βŠ†cat 𝐽 ↔ (𝐷 βŠ† 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯𝐹𝑦) βŠ† (π‘₯𝐽𝑦))))
4718, 38, 46mpbir2and 711 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 βŠ†cat 𝐽)
4816, 28drhmsubcALTV 46949 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
49 eqid 2732 . . . 4 ((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) = ((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)
5049subsubc 17799 . . 3 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)) ↔ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐹 βŠ†cat 𝐽)))
5148, 50syl 17 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)) ↔ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐹 βŠ†cat 𝐽)))
5210, 47, 51mpbir2and 711 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673   Fn wfn 6535  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   βŠ†cat cssc 17750   β†Ύcat cresc 17751  Subcatcsubc 17752  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  DivRingcdr 20307  Fieldcfield 20308  RingCatALTVcringcALTV 46855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-cat 17608  df-cid 17609  df-homf 17610  df-ssc 17753  df-resc 17754  df-subc 17755  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-field 20310  df-ringcALTV 46857
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator