Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldhmsubcALTV Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fldhmsubcALTV 47088
Description: According to df-subc 17763, the subcategories (Subcatβ€˜πΆ) of a category 𝐢 are subsets of the homomorphisms of 𝐢 (see subcssc 17794 and subcss2 17797). Therefore, the set of field homomorphisms is a "subcategory" of the category of division rings. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
drhmsubcALTV.c 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
drhmsubcALTV.j 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
fldhmsubcALTV.d 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
fldhmsubcALTV.f 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fldhmsubcALTV (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ÿ,𝑠   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠   𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝐷,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,π‘Ÿ)   𝐽(𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem fldhmsubcALTV
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3963 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ (DivRing ∩ CRing) ↔ (π‘Ÿ ∈ DivRing ∧ π‘Ÿ ∈ CRing))
21simprbi 495 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ (DivRing ∩ CRing) β†’ π‘Ÿ ∈ CRing)
3 crngring 20139 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ CRing β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (DivRing ∩ CRing) β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
5 df-field 20503 . . . . 5 Field = (DivRing ∩ CRing)
64, 5eleq2s 2849 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ Field β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
76rgen 3061 . . 3 βˆ€π‘Ÿ ∈ Field π‘Ÿ ∈ Ring
8 fldhmsubcALTV.d . . 3 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
9 fldhmsubcALTV.f . . 3 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
107, 8, 9srhmsubcALTV 47080 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
11 inss1 4227 . . . . . . 7 (DivRing ∩ CRing) βŠ† DivRing
125, 11eqsstri 4015 . . . . . 6 Field βŠ† DivRing
13 sslin 4233 . . . . . 6 (Field βŠ† DivRing β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing)
1514a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
16 drhmsubcALTV.c . . . . 5 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
178, 16sseq12i 4011 . . . 4 (𝐷 βŠ† 𝐢 ↔ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
1815, 17sylibr 233 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 βŠ† 𝐢)
19 ssidd 4004 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯ RingHom 𝑦) βŠ† (π‘₯ RingHom 𝑦))
209a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠)))
21 oveq12 7420 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ = π‘₯ ∧ 𝑠 = 𝑦) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
2221adantl 480 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (π‘Ÿ = π‘₯ ∧ 𝑠 = 𝑦)) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
23 simprl 767 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
24 simpr 483 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
2524adantl 480 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
26 ovexd 7446 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯ RingHom 𝑦) ∈ V)
2720, 22, 23, 25, 26ovmpod 7562 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
28 drhmsubcALTV.j . . . . . . 7 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
2928a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠)))
3014, 17mpbir 230 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† 𝐢
3130sseli 3977 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
3231ad2antrl 724 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
3330sseli 3977 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
3433adantl 480 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
3534adantl 480 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
3629, 22, 32, 35, 26ovmpod 7562 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯𝐽𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
3719, 27, 363sstr4d 4028 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯𝐹𝑦) βŠ† (π‘₯𝐽𝑦))
3837ralrimivva 3198 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯𝐹𝑦) βŠ† (π‘₯𝐽𝑦))
39 ovex 7444 . . . . . 6 (π‘Ÿ RingHom 𝑠) ∈ V
409, 39fnmpoi 8058 . . . . 5 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷)
4140a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷))
4228, 39fnmpoi 8058 . . . . 5 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢)
4342a1i 11 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢))
44 inex1g 5318 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ DivRing) ∈ V)
4516, 44eqeltrid 2835 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
4641, 43, 45isssc 17771 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 βŠ†cat 𝐽 ↔ (𝐷 βŠ† 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯𝐹𝑦) βŠ† (π‘₯𝐽𝑦))))
4718, 38, 46mpbir2and 709 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 βŠ†cat 𝐽)
4816, 28drhmsubcALTV 47084 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
49 eqid 2730 . . . 4 ((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) = ((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)
5049subsubc 17807 . . 3 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)) ↔ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐹 βŠ†cat 𝐽)))
5148, 50syl 17 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)) ↔ (𝐹 ∈ (Subcatβ€˜(RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐹 βŠ†cat 𝐽)))
5210, 47, 51mpbir2and 709 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (Subcatβ€˜((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   βŠ†cat cssc 17758   β†Ύcat cresc 17759  Subcatcsubc 17760  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128   RingHom crh 20360  DivRingcdr 20500  Fieldcfield 20501  RingCatALTVcringcALTV 46990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-cat 17616  df-cid 17617  df-homf 17618  df-ssc 17761  df-resc 17762  df-subc 17763  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-ghm 19128  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-rhm 20363  df-drng 20502  df-field 20503  df-ringcALTV 46992
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator