Theorem rhmsubcALTVlem4 48775

Description: Lemma 4 for rhmsubcALTV 48776. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTVlem4	⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑧,𝑅,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝜑)
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝜑)
3		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑅)
5		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ 𝑅)
6	5	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
7		rngcrescrhmALTV.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
8		rngcrescrhmALTV.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
9		rngcrescrhmALTV.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
10		rngcrescrhmALTV.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
11	7, 8, 9, 10	rhmsubcALTVlem2 48773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
12	2, 4, 6, 11	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
13	12	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)))
14		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ 𝑅)
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑅)
16	7, 8, 9, 10	rhmsubcALTVlem2 48773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
17	2, 6, 15, 16	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
18	17	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
19	13, 18	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) ↔ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))))
20		rhmco 20472	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
21	20	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
22	19, 21	biimtrdi 254	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧)))
23	22	imp 407	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
24		eqid 2739	. . 3 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
25		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))
26	7	ad3antrrr 736	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
27		eqid 2739	. . 3 ⊢ (comp‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (comp‘(RngCatALTV‘𝑈))
28		incom 4138	. . . . . . . 8 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
29		ringrng 20257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng))
31	30	ssrdv 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Ring ⊆ Rng)
32		sslin 4171	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ring ⊆ Rng → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
34	28, 33	eqsstrid 3953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Ring ∩ 𝑈) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
35	24, 25, 7	rngcbasALTV 48757	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
36	34, 9, 35	3sstr4d 3970	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
37	36	sselda 3915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
38	37	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
39	38	adantr 481	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
40	36	sseld 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
41	40	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
42	41	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
43	42	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
44	43	impcom 408	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
45	44	adantr 481	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
46	36	sseld 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
47	46	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
48	47	adantld 491	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
49	48	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
50	49	adantr 481	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
51		rhmisrnghm 20451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦))
52	13, 51	biimtrdi 254	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦)))
53	52	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦)))
54	53	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦)))
55	54	impcom 408	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦))
56		rhmisrnghm 20451	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧))
57	18, 56	biimtrdi 254	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧)))
58	57	adantld 491	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧)))
59	58	imp 407	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧))
60	24, 25, 26, 27, 39, 45, 50, 55, 59	rngccoALTV 48762	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
61	7, 8, 9, 10	rhmsubcALTVlem2 48773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
62	2, 4, 15, 61	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
63	62	adantr 481	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
64	23, 60, 63	3eltr4d 2854	1 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ⟨cop 4561   × cxp 5616   ↾ cres 5620   ∘ ccom 5622  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  compcco 17223  Rngcrng 20124  Ringcrg 20205   RngHom crnghm 20405   RingHom crh 20440  RngCatALTVcrngcALTV 48754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-mgmhm 18651  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-ghm 19179  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-rnghm 20407  df-rhm 20443  df-rngcALTV 48755

This theorem is referenced by:  rhmsubcALTV  48776