Theorem rhmsubcALTVlem4 49380

Description: Lemma 4 for rhmsubcALTV 49381. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTVlem4	⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑧,𝑅,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝑅(𝑓, 𝑔)   𝑈(𝑥, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝑉(𝑥, 𝑧, 𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝜑)
2	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝜑)
3		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
4	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑅)
5		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ 𝑅)
6	5	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
7		rngcrescrhmALTV.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
8		rngcrescrhmALTV.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
9		rngcrescrhmALTV.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
10		rngcrescrhmALTV.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
11	7, 8, 9, 10	rhmsubcALTVlem2 49378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
12	2, 4, 6, 11	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
13	12	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)))
14		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ 𝑅)
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑅)
16	7, 8, 9, 10	rhmsubcALTVlem2 49378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
17	2, 6, 15, 16	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
18	17	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
19	13, 18	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) ↔ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))))
20		rhmco 20739	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
21	20	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
22	19, 21	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧)))
23	22	imp 412	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
24		eqid 2761	. . 3 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
25		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))
26	7	ad3antrrr 743	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
27		eqid 2761	. . 3 ⊢ (comp‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (comp‘(RngCatALTV‘𝑈))
28		incom 4155	. . . . . . . 8 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
29		ringrng 20514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng))
31	30	ssrdv 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Ring ⊆ Rng)
32		sslin 4188	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ring ⊆ Rng → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
34	28, 33	eqsstrid 3969	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Ring ∩ 𝑈) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
35	24, 25, 7	rngcbasALTV 49362	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
36	34, 9, 35	3sstr4d 3986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
37	36	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
38	37	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
39	38	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
40	36	sseld 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
41	40	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
42	41	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
43	42	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
44	43	impcom 413	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
45	44	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
46	36	sseld 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
47	46	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
48	47	adantld 496	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
49	48	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
50	49	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
51		rhmisrnghm 20711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦))
52	13, 51	biimtrdi 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦)))
53	52	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦)))
54	53	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦)))
55	54	impcom 413	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦))
56		rhmisrnghm 20711	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧))
57	18, 56	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧)))
58	57	adantld 496	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧)))
59	58	imp 412	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧))
60	24, 25, 26, 27, 39, 45, 50, 55, 59	rngccoALTV 49367	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
61	7, 8, 9, 10	rhmsubcALTVlem2 49378	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
62	2, 4, 15, 61	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
63	62	adantr 486	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
64	23, 60, 63	3eltr4d 2876	1 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590   × cxp 5649   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  compcco 17440  Rngcrng 20374  Ringcrg 20459   RngHom crnghm 20664   RingHom crh 20699  RngCatALTVcrngcALTV 49359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-mgmhm 18881  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-ghm 19428  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-rnghm 20666  df-rhm 20702  df-rngcALTV 49360

This theorem is used by:  rhmsubcALTV  49381