Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcALTVlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcALTVlem4 46495
Description: Lemma 4 for rhmsubcALTV 46496. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhmALTV.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
rngcrescrhmALTV.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rngcrescrhmALTV.h 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcALTVlem4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅,𝑦   𝑦,π‘ˆ   𝑦,𝑉   πœ‘,𝑦   𝑧,𝑅,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐢(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   π‘ˆ(π‘₯,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(π‘₯,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem4
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ πœ‘)
21adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ πœ‘)
3 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
43adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
5 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
65adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
7 rngcrescrhmALTV.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
8 rngcrescrhmALTV.c . . . . . . . 8 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
9 rngcrescrhmALTV.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
10 rngcrescrhmALTV.h . . . . . . . 8 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
117, 8, 9, 10rhmsubcALTVlem2 46493 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
122, 4, 6, 11syl3anc 1372 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
1312eleq2d 2820 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))
14 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑧 ∈ 𝑅)
1514adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑅)
167, 8, 9, 10rhmsubcALTVlem2 46493 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
172, 6, 15, 16syl3anc 1372 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
1817eleq2d 2820 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
1913, 18anbi12d 632 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) ↔ (𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))))
20 rhmco 20181 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
2120ancoms 460 . . . 4 ((𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
2219, 21syl6bi 253 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧)))
2322imp 408 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
24 eqid 2733 . . 3 (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ) = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
25 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))
267ad3antrrr 729 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
27 eqid 2733 . . 3 (compβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)) = (compβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))
28 incom 4165 . . . . . . . 8 (Ring ∩ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∩ Ring)
29 ringrng 46267 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ Ring β†’ π‘₯ ∈ Rng)
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ Ring β†’ π‘₯ ∈ Rng))
3130ssrdv 3954 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ring βŠ† Rng)
32 sslin 4198 . . . . . . . . 9 (Ring βŠ† Rng β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) βŠ† (π‘ˆ ∩ Rng))
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) βŠ† (π‘ˆ ∩ Rng))
3428, 33eqsstrid 3996 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Ring ∩ π‘ˆ) βŠ† (π‘ˆ ∩ Rng))
3524, 25, 7rngcbasALTV 46371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)) = (π‘ˆ ∩ Rng))
3634, 9, 353sstr4d 3995 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
3736sselda 3948 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
3837adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
3938adantr 482 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
4036sseld 3947 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑅 β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))))
4140adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ (𝑦 ∈ 𝑅 β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))))
4241com12 32 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑅 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))))
4342adantr 482 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))))
4443impcom 409 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
4544adantr 482 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
4636sseld 3947 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑅 β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))))
4746adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ (𝑧 ∈ 𝑅 β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))))
4847adantld 492 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))))
4948imp 408 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
5049adantr 482 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)))
51 rhmisrnghm 46308 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦))
5213, 51syl6bi 253 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)))
5352com12 32 . . . . 5 (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)))
5453adantr 482 . . . 4 ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)))
5554impcom 409 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦))
56 rhmisrnghm 46308 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧))
5718, 56syl6bi 253 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧)))
5857adantld 492 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧)))
5958imp 408 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧))
6024, 25, 26, 27, 39, 45, 50, 55, 59rngccoALTV 46376 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
617, 8, 9, 10rhmsubcALTVlem2 46493 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
622, 4, 15, 61syl3anc 1372 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
6362adantr 482 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
6423, 60, 633eltr4d 2849 1 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatALTVβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βŸ¨cop 4596   Γ— cxp 5635   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  compcco 17153  Ringcrg 19972   RingHom crh 20153  Rngcrng 46262   RngHomo crngh 46273  RngCatALTVcrngcALTV 46346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-rnghom 20156  df-mgmhm 46163  df-rng 46263  df-rnghomo 46275  df-rngcALTV 46348
This theorem is referenced by:  rhmsubcALTV  46496
  Copyright terms: Public domain W3C validator