Theorem rhmsubcALTVlem4 48205

Description: Lemma 4 for rhmsubcALTV 48206. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTVlem4	⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑧,𝑅,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝜑)
2	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝜑)
3		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑅)
5		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ 𝑅)
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
7		rngcrescrhmALTV.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
8		rngcrescrhmALTV.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
9		rngcrescrhmALTV.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
10		rngcrescrhmALTV.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
11	7, 8, 9, 10	rhmsubcALTVlem2 48203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
12	2, 4, 6, 11	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
13	12	eleq2d 2826	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)))
14		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ 𝑅)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑅)
16	7, 8, 9, 10	rhmsubcALTVlem2 48203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
17	2, 6, 15, 16	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
18	17	eleq2d 2826	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
19	13, 18	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) ↔ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))))
20		rhmco 20502	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
21	20	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
22	19, 21	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧)))
23	22	imp 406	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
24		eqid 2736	. . 3 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
25		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))
26	7	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
27		eqid 2736	. . 3 ⊢ (comp‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (comp‘(RngCatALTV‘𝑈))
28		incom 4208	. . . . . . . 8 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
29		ringrng 20283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng))
31	30	ssrdv 3988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Ring ⊆ Rng)
32		sslin 4242	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ring ⊆ Rng → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
34	28, 33	eqsstrid 4021	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Ring ∩ 𝑈) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
35	24, 25, 7	rngcbasALTV 48187	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
36	34, 9, 35	3sstr4d 4038	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
37	36	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
39	38	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
40	36	sseld 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
42	41	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
43	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
44	43	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
45	44	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
46	36	sseld 3981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
48	47	adantld 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
49	48	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
50	49	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
51		rhmisrnghm 20481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦))
52	13, 51	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦)))
53	52	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦)))
54	53	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦)))
55	54	impcom 407	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦))
56		rhmisrnghm 20481	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧))
57	18, 56	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧)))
58	57	adantld 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧)))
59	58	imp 406	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧))
60	24, 25, 26, 27, 39, 45, 50, 55, 59	rngccoALTV 48192	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
61	7, 8, 9, 10	rhmsubcALTVlem2 48203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
62	2, 4, 15, 61	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
63	62	adantr 480	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
64	23, 60, 63	3eltr4d 2855	1 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  ⟨cop 4631   × cxp 5682   ↾ cres 5686   ∘ ccom 5688  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  compcco 17310  Rngcrng 20150  Ringcrg 20231   RngHom crnghm 20435   RingHom crh 20470  RngCatALTVcrngcALTV 48184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-mgmhm 18706  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-ghm 19232  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-rnghm 20437  df-rhm 20473  df-rngcALTV 48185

This theorem is referenced by:  rhmsubcALTV  48206