Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcALTVlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcALTVlem4 45147
 Description: Lemma 4 for rhmsubcALTV 45148. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhmALTV.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhmALTV.c 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcALTVlem4 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑧,𝑅,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem4
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝜑)
21adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝜑)
3 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥𝑅)
43adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑅)
5 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑦𝑅)
65adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑅)
7 rngcrescrhmALTV.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑉)
8 rngcrescrhmALTV.c . . . . . . . 8 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
9 rngcrescrhmALTV.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
10 rngcrescrhmALTV.h . . . . . . . 8 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
117, 8, 9, 10rhmsubcALTVlem2 45145 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑅𝑦𝑅) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
122, 4, 6, 11syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
1312eleq2d 2837 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)))
14 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑧𝑅)
1514adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑅)
167, 8, 9, 10rhmsubcALTVlem2 45145 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑅𝑧𝑅) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
172, 6, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
1817eleq2d 2837 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
1913, 18anbi12d 633 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) ↔ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))))
20 rhmco 19573 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
2120ancoms 462 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
2219, 21syl6bi 256 . . 3 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧)))
2322imp 410 . 2 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
24 eqid 2758 . . 3 (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
25 eqid 2758 . . 3 (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))
267ad3antrrr 729 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈𝑉)
27 eqid 2758 . . 3 (comp‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (comp‘(RngCatALTV‘𝑈))
28 incom 4108 . . . . . . . 8 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
29 ringrng 44919 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng))
3130ssrdv 3900 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Ring ⊆ Rng)
32 sslin 4141 . . . . . . . . 9 (Ring ⊆ Rng → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
3428, 33eqsstrid 3942 . . . . . . 7 (𝜑 → (Ring ∩ 𝑈) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
3524, 25, 7rngcbasALTV 45023 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
3634, 9, 353sstr4d 3941 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ⊆ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
3736sselda 3894 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
3837adantr 484 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
3938adantr 484 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
4036sseld 3893 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4140adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑅) → (𝑦𝑅𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4241com12 32 . . . . . 6 (𝑦𝑅 → ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4342adantr 484 . . . . 5 ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4443impcom 411 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
4544adantr 484 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
4636sseld 3893 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝑅𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4746adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑅) → (𝑧𝑅𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4847adantld 494 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑅) → ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈))))
4948imp 410 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
5049adantr 484 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ (Base‘(RngCatALTV‘𝑈)))
51 rhmisrnghm 44960 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHomo 𝑦))
5213, 51syl6bi 256 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHomo 𝑦)))
5352com12 32 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHomo 𝑦)))
5453adantr 484 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHomo 𝑦)))
5554impcom 411 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHomo 𝑦))
56 rhmisrnghm 44960 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧))
5718, 56syl6bi 256 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧)))
5857adantld 494 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧)))
5958imp 410 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧))
6024, 25, 26, 27, 39, 45, 50, 55, 59rngccoALTV 45028 . 2 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) = (𝑔𝑓))
617, 8, 9, 10rhmsubcALTVlem2 45145 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅𝑧𝑅) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
622, 4, 15, 61syl3anc 1368 . . 3 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
6362adantr 484 . 2 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
6423, 60, 633eltr4d 2867 1 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ⟨cop 4531   × cxp 5526   ↾ cres 5530   ∘ ccom 5532  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16554  compcco 16648  Ringcrg 19378   RingHom crh 19548  Rngcrng 44914   RngHomo crngh 44925  RngCatALTVcrngcALTV 44998 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-plusg 16649  df-hom 16660  df-cco 16661  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-ghm 18436  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-rnghom 19551  df-mgmhm 44815  df-rng0 44915  df-rnghomo 44927  df-rngcALTV 45000 This theorem is referenced by:  rhmsubcALTV  45148
 Copyright terms: Public domain W3C validator