MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rplogsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rplogsum 26891
Description: The sum of log𝑝 / 𝑝 over the primes 𝑝≑𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to logπ‘₯ / Ο•(π‘₯) + 𝑂(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
rpvmasum.b (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
rpvmasum.t 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
rplogsum (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑝,𝐴   𝑁,𝑝,π‘₯   πœ‘,𝑝,π‘₯   𝑇,𝑝,π‘₯   π‘ˆ,𝑝,π‘₯   𝑍,𝑝,π‘₯   𝐿,𝑝,π‘₯

Proof of Theorem rplogsum
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
3 rpvmasum.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 rpvmasum.u . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
5 rpvmasum.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
6 rpvmasum.t . . 3 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
71, 2, 3, 4, 5, 6rpvmasum 26890 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
83phicld 16651 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
98adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
109nncnd 12176 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
11 fzfid 13885 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
12 inss1 4193 . . . . . . . 8 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))
13 ssfi 9124 . . . . . . . 8 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
1411, 12, 13sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇))
1615elin1d 4163 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
17 elfznn 13477 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
19 vmacl 26483 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘) ∈ ℝ)
20 nndivre 12201 . . . . . . . . 9 (((Ξ›β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ β„•) β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
2119, 20mpancom 687 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
2218, 21syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
2314, 22fsumrecl 15626 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
2423recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ β„‚)
2510, 24mulcld 11182 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) ∈ β„‚)
26 relogcl 25947 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2726adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2827recnd 11190 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2925, 28subcld 11519 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
30 inss1 4193 . . . . . . . 8 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))
31 ssfi 9124 . . . . . . . 8 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
3211, 30, 31sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
33 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))
3433elin1d 4163 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
3534, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
36 nnrp 12933 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„• β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
3736relogcld 25994 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„• β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
3837, 36rerpdivcld 12995 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„• β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
3935, 38syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
4032, 39fsumrecl 15626 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
4140recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝) ∈ β„‚)
4210, 41mulcld 11182 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) ∈ β„‚)
4342, 28subcld 11519 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4410, 24, 41subdid 11618 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))) = (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))))
4519recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘) ∈ β„‚)
46 0re 11164 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
47 ifcl 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (((logβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ∈ ℝ)
4837, 46, 47sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ β„• β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ∈ ℝ)
4948recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ∈ β„‚)
5036rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ (𝑝 ∈ β„‚ ∧ 𝑝 β‰  0))
51 divsubdir 11856 . . . . . . . . . . 11 (((Ξ›β€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ∈ β„‚ ∧ (𝑝 ∈ β„‚ ∧ 𝑝 β‰  0)) β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = (((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
5245, 49, 50, 51syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„• β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = (((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
5318, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = (((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
5453sumeq2dv 15595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
5521recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ β„‚)
5618, 55syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ β„‚)
5748, 36rerpdivcld 12995 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) ∈ ℝ)
5857recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„• β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) ∈ β„‚)
5918, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) ∈ β„‚)
6014, 56, 59fsumsub 15680 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
61 inss2 4194 . . . . . . . . . . . 12 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† 𝑇
62 sslin 4199 . . . . . . . . . . . 12 ((β„™ ∩ 𝑇) βŠ† 𝑇 β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇))
6361, 62mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇))
6435, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) ∈ β„‚)
65 eldif 3925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))))
66 incom 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (β„™ ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ β„™)
6766ineq2i 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (𝑇 ∩ β„™))
68 inass 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∩ β„™) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (𝑇 ∩ β„™))
6967, 68eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) = (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∩ β„™)
7069elin2 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ β„™))
7170simplbi2 502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) β†’ (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))))
7271con3dimp 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ β„™)
7365, 72sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ β„™)
7473adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ β„™)
7574iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) = 0)
7675oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = (0 / 𝑝))
77 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇))
7877, 18sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
79 div0 11850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„‚ ∧ 𝑝 β‰  0) β†’ (0 / 𝑝) = 0)
8050, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ β„• β†’ (0 / 𝑝) = 0)
8178, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ (0 / 𝑝) = 0)
8276, 81eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = 0)
8363, 64, 82, 14fsumss 15617 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝))
84 inss2 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇)
85 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„™
8684, 85sstri 3958 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† β„™
8786, 33sselid 3947 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
8887iftrued 4499 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) = (logβ€˜π‘))
8988oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = ((logβ€˜π‘) / 𝑝))
9089sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))
9183, 90eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))
9291oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)))
9354, 60, 923eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)))
9493oveq2d 7378 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) = ((Ο•β€˜π‘) Β· (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))))
9525, 42, 28nnncan2d 11554 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) = (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))))
9644, 94, 953eqtr4d 2787 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) = ((((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))))
9796mpteq2dva 5210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))))
9819, 48resubcld 11590 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) ∈ ℝ)
9998, 36rerpdivcld 12995 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„• β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
10018, 99syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
10114, 100fsumrecl 15626 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
102101recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ β„‚)
103 rpssre 12929 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
1048nncnd 12176 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
105 o1const 15509 . . . . . 6 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
106103, 104, 105sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
107103a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
108 1red 11163 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
109 2re 12234 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
110109a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
111 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . 14 ((logβ€˜π‘) = if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) β†’ ((logβ€˜π‘) ≀ (Ξ›β€˜π‘) ↔ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ≀ (Ξ›β€˜π‘)))
112 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) β†’ (0 ≀ (Ξ›β€˜π‘) ↔ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ≀ (Ξ›β€˜π‘)))
11337adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
114 vmaprm 26482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (Ξ›β€˜π‘) = (logβ€˜π‘))
115114adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (Ξ›β€˜π‘) = (logβ€˜π‘))
116115eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (logβ€˜π‘) = (Ξ›β€˜π‘))
117113, 116eqled 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (logβ€˜π‘) ≀ (Ξ›β€˜π‘))
118 vmage0 26486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜π‘))
119118adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„• ∧ Β¬ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜π‘))
120111, 112, 117, 119ifbothda 4529 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ β„• β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ≀ (Ξ›β€˜π‘))
12119, 48subge0d 11752 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ β„• β†’ (0 ≀ ((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) ↔ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ≀ (Ξ›β€˜π‘)))
122120, 121mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ β„• β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)))
12398, 36, 122divge0d 13004 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ 0 ≀ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
12418, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 0 ≀ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
12514, 100, 124fsumge0 15687 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
126101, 125absidd 15314 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
12717adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
128127, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
12911, 128fsumrecl 15626 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
130109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ ℝ)
131127, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
13212a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
13311, 128, 131, 132fsumless 15688 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ≀ Σ𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
134107sselda 3949 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
135134flcld 13710 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
136 rplogsumlem2 26849 . . . . . . . . . 10 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„€ β†’ Σ𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ≀ 2)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ≀ 2)
138101, 129, 130, 133, 137letrd 11319 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ≀ 2)
139126, 138eqbrtrd 5132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) ≀ 2)
140139adantrr 716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) ≀ 2)
141107, 102, 108, 110, 140elo1d 15425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) ∈ 𝑂(1))
14210, 102, 106, 141o1mul2 15514 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))) ∈ 𝑂(1))
14397, 142eqeltrrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
14429, 43, 143o1dif 15519 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)))
1457, 144mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637   β€œ cima 5641  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„€cz 12506  β„+crp 12922  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  abscabs 15126  π‘‚(1)co1 15375  Ξ£csu 15577  β„™cprime 16554  Ο•cphi 16643  Unitcui 20075  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  logclog 25926  Ξ›cvma 26457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-rpss 7665  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-numer 16617  df-denom 16618  df-phi 16645  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-gim 19056  df-ga 19077  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-od 19317  df-gex 19318  df-pgp 19319  df-lsm 19425  df-pj1 19426  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-cyg 19662  df-dprd 19781  df-dpj 19782  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ply 25565  df-idp 25566  df-coe 25567  df-dgr 25568  df-quot 25667  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-atan 26233  df-em 26358  df-cht 26462  df-vma 26463  df-chp 26464  df-ppi 26465  df-mu 26466  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dirith2  26892
  Copyright terms: Public domain W3C validator