Theorem rplogsum 27445

Description: The sum of log𝑝 / 𝑝 over the primes 𝑝≡𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to log𝑥 / ϕ(𝑥) + 𝑂(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
rpvmasum.t	⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})

Assertion

Ref	Expression
rplogsum	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐴   𝑁,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥   𝑇,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝐿,𝑝,𝑥

Proof of Theorem rplogsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		rpvmasum.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
6		rpvmasum.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	rpvmasum 27444	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
8	3	phicld 16749	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
11		fzfid 13945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
12		inss1 4203	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
13		ssfi 9143	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
16	15	elin1d 4170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
17		elfznn 13521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑝 ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ ℕ)
19		vmacl 27035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (Λ‘𝑝) ∈ ℝ)
20		nndivre 12234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Λ‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
21	19, 20	mpancom 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
22	18, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
23	14, 22	fsumrecl 15707	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
25	10, 24	mulcld 11201	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) ∈ ℂ)
26		relogcl 26491	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11209	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
29	25, 28	subcld 11540	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
30		inss1 4203	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
31		ssfi 9143	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
32	11, 30, 31	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
33		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))
34	33	elin1d 4170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
35	34, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ℕ)
36		nnrp 12970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℝ+)
37	36	relogcld 26539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
38	37, 36	rerpdivcld 13033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
39	35, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
40	32, 39	fsumrecl 15707	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
42	10, 41	mulcld 11201	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) ∈ ℂ)
43	42, 28	subcld 11540	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
44	10, 24, 41	subdid 11641	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
45	19	recnd 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (Λ‘𝑝) ∈ ℂ)
46		0re 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		ifcl 4537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℝ)
48	37, 46, 47	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℂ)
50	36	rpcnne0d 13011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0))
51		divsubdir 11883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Λ‘𝑝) ∈ ℂ ∧ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℂ ∧ (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
52	45, 49, 50, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
53	18, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
54	53	sumeq2dv 15675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
55	21	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
56	18, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
57	48, 36	rerpdivcld 13033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
59	18, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
60	14, 56, 59	fsumsub 15761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
61		inss2 4204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇
62		sslin 4209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇 → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
63	61, 62	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
64	35, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
65		eldif 3927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ ¬ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))))
66		incom 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ ℙ)
67	66	ineq2i 4183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝑇 ∩ ℙ))
68		inass 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝑇 ∩ ℙ))
69	67, 68	eqtr4i 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) = (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∩ ℙ)
70	69	elin2 4169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
71	70	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) → (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))))
72	71	con3dimp 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ ¬ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
73	65, 72	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
75	74	iffalsed 4502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) = 0)
76	75	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = (0 / 𝑝))
77		eldifi 4097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
78	77, 18	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → 𝑝 ∈ ℕ)
79		div0 11877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0) → (0 / 𝑝) = 0)
80	50, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (0 / 𝑝) = 0)
81	78, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (0 / 𝑝) = 0)
82	76, 81	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = 0)
83	63, 64, 82, 14	fsumss 15698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝))
84		inss2 4204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)
85		inss1 4203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℙ
86	84, 85	sstri 3959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ℙ
87	86, 33	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ℙ)
88	87	iftrued 4499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) = (log‘𝑝))
89	88	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = ((log‘𝑝) / 𝑝))
90	89	sumeq2dv 15675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))
91	83, 90	eqtr3d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))
92	91	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)))
93	54, 60, 92	3eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)))
94	93	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = ((ϕ‘𝑁) · (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
95	25, 42, 28	nnncan2d 11575	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
96	44, 94, 95	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))))
97	96	mpteq2dva 5203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)))))
98	19, 48	resubcld 11613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) ∈ ℝ)
99	98, 36	rerpdivcld 13033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
100	18, 99	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
101	14, 100	fsumrecl 15707	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
102	101	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℂ)
103		rpssre 12966	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
104	8	nncnd 12209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
105		o1const 15593	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
106	103, 104, 105	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
107	103	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
108		1red 11182	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
109		2re 12267	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
110	109	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
111		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((log‘𝑝) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) → ((log‘𝑝) ≤ (Λ‘𝑝) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
112		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) → (0 ≤ (Λ‘𝑝) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
113	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
114		vmaprm 27034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (Λ‘𝑝) = (log‘𝑝))
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (Λ‘𝑝) = (log‘𝑝))
116	115	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) = (Λ‘𝑝))
117	113, 116	eqled 11284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) ≤ (Λ‘𝑝))
118		vmage0 27038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑝))
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (Λ‘𝑝))
120	111, 112, 117, 119	ifbothda 4530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝))
121	19, 48	subge0d 11775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (0 ≤ ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
122	120, 121	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)))
123	98, 36, 122	divge0d 13042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
124	18, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
125	14, 100, 124	fsumge0 15768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
126	101, 125	absidd 15396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
127	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑝 ∈ ℕ)
128	127, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
129	11, 128	fsumrecl 15707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
130	109	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ)
131	127, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
132	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
133	11, 128, 131, 132	fsumless 15769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
134	107	sselda 3949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
135	134	flcld 13767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
136		rplogsumlem2 27403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℤ → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
138	101, 129, 130, 133, 137	letrd 11338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
139	126, 138	eqbrtrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ≤ 2)
140	139	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ≤ 2)
141	107, 102, 108, 110, 140	elo1d 15509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ∈ 𝑂(1))
142	10, 102, 106, 141	o1mul2 15598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))) ∈ 𝑂(1))
143	97, 142	eqeltrrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
144	29, 43, 143	o1dif 15603	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)))
145	7, 144	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  {csn 4592   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℤcz 12536  ℝ⁺crp 12958  ...cfz 13475  ⌊cfl 13759  abscabs 15207  𝑂(1)co1 15459  Σcsu 15659  ℙcprime 16648  ϕcphi 16741  Unitcui 20271  ℤRHomczrh 21416  ℤ/nℤczn 21419  logclog 26470  Λcvma 27009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-rpss 7702  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-o1 15463  df-lo1 15464  df-sum 15660  df-ef 16040  df-e 16041  df-sin 16042  df-cos 16043  df-tan 16044  df-pi 16045  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-numer 16712  df-denom 16713  df-phi 16743  df-pc 16815  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-qus 17479  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-ghm 19152  df-gim 19198  df-ga 19229  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-od 19465  df-gex 19466  df-pgp 19467  df-lsm 19573  df-pj1 19574  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-cyg 19815  df-dprd 19934  df-dpj 19935  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-rsp 21126  df-2idl 21167  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-zring 21364  df-zrh 21420  df-zn 21423  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-0p 25578  df-limc 25774  df-dv 25775  df-ply 26100  df-idp 26101  df-coe 26102  df-dgr 26103  df-quot 26206  df-ulm 26293  df-log 26472  df-cxp 26473  df-atan 26784  df-em 26910  df-cht 27014  df-vma 27015  df-chp 27016  df-ppi 27017  df-mu 27018  df-dchr 27151

This theorem is referenced by:  dirith2  27446