Theorem rplogsum 27490

Description: The sum of log𝑝 / 𝑝 over the primes 𝑝≡𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to log𝑥 / ϕ(𝑥) + 𝑂(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
rpvmasum.t	⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})

Assertion

Ref	Expression
rplogsum	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐴   𝑁,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥   𝑇,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝐿,𝑝,𝑥

Proof of Theorem rplogsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		rpvmasum.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
6		rpvmasum.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	rpvmasum 27489	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
8	3	phicld 16740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
9	8	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12258	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
11		fzfid 13970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
12		inss1 4228	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
13		ssfi 9196	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
14	11, 12, 13	sylancl 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
16	15	elin1d 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
17		elfznn 13562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑝 ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ ℕ)
19		vmacl 27080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (Λ‘𝑝) ∈ ℝ)
20		nndivre 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Λ‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
21	19, 20	mpancom 686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
22	18, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
23	14, 22	fsumrecl 15712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
25	10, 24	mulcld 11264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) ∈ ℂ)
26		relogcl 26539	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
27	26	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
29	25, 28	subcld 11601	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
30		inss1 4228	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
31		ssfi 9196	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
32	11, 30, 31	sylancl 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
33		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))
34	33	elin1d 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
35	34, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ℕ)
36		nnrp 13017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℝ+)
37	36	relogcld 26587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
38	37, 36	rerpdivcld 13079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
39	35, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
40	32, 39	fsumrecl 15712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
42	10, 41	mulcld 11264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) ∈ ℂ)
43	42, 28	subcld 11601	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
44	10, 24, 41	subdid 11700	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
45	19	recnd 11272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (Λ‘𝑝) ∈ ℂ)
46		0re 11246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		ifcl 4574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℝ)
48	37, 46, 47	sylancl 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℂ)
50	36	rpcnne0d 13057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0))
51		divsubdir 11938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Λ‘𝑝) ∈ ℂ ∧ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℂ ∧ (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
52	45, 49, 50, 51	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
53	18, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
54	53	sumeq2dv 15681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
55	21	recnd 11272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
56	18, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
57	48, 36	rerpdivcld 13079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
59	18, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
60	14, 56, 59	fsumsub 15766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
61		inss2 4229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇
62		sslin 4234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇 → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
63	61, 62	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
64	35, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
65		eldif 3955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ ¬ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))))
66		incom 4200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ ℙ)
67	66	ineq2i 4208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝑇 ∩ ℙ))
68		inass 4219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝑇 ∩ ℙ))
69	67, 68	eqtr4i 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) = (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∩ ℙ)
70	69	elin2 4196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
71	70	simplbi2 499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) → (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))))
72	71	con3dimp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ ¬ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
73	65, 72	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
74	73	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
75	74	iffalsed 4540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) = 0)
76	75	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = (0 / 𝑝))
77		eldifi 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
78	77, 18	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → 𝑝 ∈ ℕ)
79		div0 11932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0) → (0 / 𝑝) = 0)
80	50, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (0 / 𝑝) = 0)
81	78, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (0 / 𝑝) = 0)
82	76, 81	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = 0)
83	63, 64, 82, 14	fsumss 15703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝))
84		inss2 4229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)
85		inss1 4228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℙ
86	84, 85	sstri 3987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ℙ
87	86, 33	sselid 3975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ℙ)
88	87	iftrued 4537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) = (log‘𝑝))
89	88	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = ((log‘𝑝) / 𝑝))
90	89	sumeq2dv 15681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))
91	83, 90	eqtr3d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))
92	91	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)))
93	54, 60, 92	3eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)))
94	93	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = ((ϕ‘𝑁) · (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
95	25, 42, 28	nnncan2d 11636	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
96	44, 94, 95	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))))
97	96	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)))))
98	19, 48	resubcld 11672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) ∈ ℝ)
99	98, 36	rerpdivcld 13079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
100	18, 99	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
101	14, 100	fsumrecl 15712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
102	101	recnd 11272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℂ)
103		rpssre 13013	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
104	8	nncnd 12258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
105		o1const 15596	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
106	103, 104, 105	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
107	103	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
108		1red 11245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
109		2re 12316	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
110	109	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
111		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((log‘𝑝) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) → ((log‘𝑝) ≤ (Λ‘𝑝) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
112		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) → (0 ≤ (Λ‘𝑝) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
113	37	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
114		vmaprm 27079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (Λ‘𝑝) = (log‘𝑝))
115	114	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (Λ‘𝑝) = (log‘𝑝))
116	115	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) = (Λ‘𝑝))
117	113, 116	eqled 11347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) ≤ (Λ‘𝑝))
118		vmage0 27083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑝))
119	118	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (Λ‘𝑝))
120	111, 112, 117, 119	ifbothda 4567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝))
121	19, 48	subge0d 11834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (0 ≤ ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
122	120, 121	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)))
123	98, 36, 122	divge0d 13088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
124	18, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
125	14, 100, 124	fsumge0 15773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
126	101, 125	absidd 15401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
127	17	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑝 ∈ ℕ)
128	127, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
129	11, 128	fsumrecl 15712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
130	109	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ)
131	127, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
132	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
133	11, 128, 131, 132	fsumless 15774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
134	107	sselda 3977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
135	134	flcld 13795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
136		rplogsumlem2 27448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℤ → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
138	101, 129, 130, 133, 137	letrd 11401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
139	126, 138	eqbrtrd 5170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ≤ 2)
140	139	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ≤ 2)
141	107, 102, 108, 110, 140	elo1d 15512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ∈ 𝑂(1))
142	10, 102, 106, 141	o1mul2 15601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))) ∈ 𝑂(1))
143	97, 142	eqeltrrd 2826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
144	29, 43, 143	o1dif 15606	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)))
145	7, 144	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3942   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5676   “ cima 5680  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  Fincfn 8962  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   · cmul 11143   ≤ cle 11279   − cmin 11474   / cdiv 11901  ℕcn 12242  2c2 12297  ℤcz 12588  ℝ⁺crp 13006  ...cfz 13516  ⌊cfl 13787  abscabs 15213  𝑂(1)co1 15462  Σcsu 15664  ℙcprime 16641  ϕcphi 16732  Unitcui 20298  ℤRHomczrh 21429  ℤ/nℤczn 21432  logclog 26518  Λcvma 27054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-rpss 7727  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-o1 15466  df-lo1 15467  df-sum 15665  df-ef 16043  df-e 16044  df-sin 16045  df-cos 16046  df-tan 16047  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-numer 16706  df-denom 16707  df-phi 16734  df-pc 16805  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-qus 17490  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-nsg 19083  df-eqg 19084  df-ghm 19172  df-gim 19217  df-ga 19245  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-od 19487  df-gex 19488  df-pgp 19489  df-lsm 19595  df-pj1 19596  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-cyg 19837  df-dprd 19956  df-dpj 19957  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109  df-2idl 21148  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-zn 21436  df-top 22826  df-topon 22843  df-topsp 22865  df-bases 22879  df-cld 22953  df-ntr 22954  df-cls 22955  df-nei 23032  df-lp 23070  df-perf 23071  df-cn 23161  df-cnp 23162  df-haus 23249  df-cmp 23321  df-tx 23496  df-hmeo 23689  df-fil 23780  df-fm 23872  df-flim 23873  df-flf 23874  df-xms 24256  df-ms 24257  df-tms 24258  df-cncf 24828  df-0p 25629  df-limc 25825  df-dv 25826  df-ply 26152  df-idp 26153  df-coe 26154  df-dgr 26155  df-quot 26256  df-ulm 26343  df-log 26520  df-cxp 26521  df-atan 26829  df-em 26955  df-cht 27059  df-vma 27060  df-chp 27061  df-ppi 27062  df-mu 27063  df-dchr 27196

This theorem is referenced by:  dirith2  27491