MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rplogsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rplogsum 27267
Description: The sum of log𝑝 / 𝑝 over the primes 𝑝≑𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to logπ‘₯ / Ο•(π‘₯) + 𝑂(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
rpvmasum.b (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
rpvmasum.t 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
rplogsum (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑝,𝐴   𝑁,𝑝,π‘₯   πœ‘,𝑝,π‘₯   𝑇,𝑝,π‘₯   π‘ˆ,𝑝,π‘₯   𝑍,𝑝,π‘₯   𝐿,𝑝,π‘₯

Proof of Theorem rplogsum
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
3 rpvmasum.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 rpvmasum.u . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
5 rpvmasum.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
6 rpvmasum.t . . 3 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
71, 2, 3, 4, 5, 6rpvmasum 27266 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
83phicld 16710 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
98adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
109nncnd 12233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
11 fzfid 13943 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
12 inss1 4228 . . . . . . . 8 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))
13 ssfi 9176 . . . . . . . 8 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
1411, 12, 13sylancl 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇))
1615elin1d 4198 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
17 elfznn 13535 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
19 vmacl 26859 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘) ∈ ℝ)
20 nndivre 12258 . . . . . . . . 9 (((Ξ›β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ β„•) β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
2119, 20mpancom 685 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
2218, 21syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
2314, 22fsumrecl 15685 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
2423recnd 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ β„‚)
2510, 24mulcld 11239 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) ∈ β„‚)
26 relogcl 26321 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2726adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2827recnd 11247 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2925, 28subcld 11576 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
30 inss1 4228 . . . . . . . 8 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))
31 ssfi 9176 . . . . . . . 8 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
3211, 30, 31sylancl 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
33 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))
3433elin1d 4198 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
3534, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
36 nnrp 12990 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„• β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
3736relogcld 26368 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„• β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
3837, 36rerpdivcld 13052 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„• β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
3935, 38syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
4032, 39fsumrecl 15685 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
4140recnd 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝) ∈ β„‚)
4210, 41mulcld 11239 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) ∈ β„‚)
4342, 28subcld 11576 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4410, 24, 41subdid 11675 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))) = (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))))
4519recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘) ∈ β„‚)
46 0re 11221 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
47 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . 13 (((logβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ∈ ℝ)
4837, 46, 47sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ β„• β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ∈ ℝ)
4948recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ∈ β„‚)
5036rpcnne0d 13030 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ (𝑝 ∈ β„‚ ∧ 𝑝 β‰  0))
51 divsubdir 11913 . . . . . . . . . . 11 (((Ξ›β€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ∈ β„‚ ∧ (𝑝 ∈ β„‚ ∧ 𝑝 β‰  0)) β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = (((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
5245, 49, 50, 51syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„• β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = (((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
5318, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = (((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
5453sumeq2dv 15654 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
5521recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ β„‚)
5618, 55syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ β„‚)
5748, 36rerpdivcld 13052 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) ∈ ℝ)
5857recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„• β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) ∈ β„‚)
5918, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) ∈ β„‚)
6014, 56, 59fsumsub 15739 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
61 inss2 4229 . . . . . . . . . . . 12 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† 𝑇
62 sslin 4234 . . . . . . . . . . . 12 ((β„™ ∩ 𝑇) βŠ† 𝑇 β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇))
6361, 62mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇))
6435, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) ∈ β„‚)
65 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))))
66 incom 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (β„™ ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ β„™)
6766ineq2i 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (𝑇 ∩ β„™))
68 inass 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∩ β„™) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (𝑇 ∩ β„™))
6967, 68eqtr4i 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) = (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∩ β„™)
7069elin2 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ β„™))
7170simplbi2 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) β†’ (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))))
7271con3dimp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ β„™)
7365, 72sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ β„™)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ β„™)
7574iffalsed 4539 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) = 0)
7675oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = (0 / 𝑝))
77 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇))
7877, 18sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
79 div0 11907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„‚ ∧ 𝑝 β‰  0) β†’ (0 / 𝑝) = 0)
8050, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ β„• β†’ (0 / 𝑝) = 0)
8178, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ (0 / 𝑝) = 0)
8276, 81eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = 0)
8363, 64, 82, 14fsumss 15676 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝))
84 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇)
85 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„™
8684, 85sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† β„™
8786, 33sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
8887iftrued 4536 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) = (logβ€˜π‘))
8988oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = ((logβ€˜π‘) / 𝑝))
9089sumeq2dv 15654 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))
9183, 90eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))
9291oveq2d 7428 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)))
9354, 60, 923eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)))
9493oveq2d 7428 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) = ((Ο•β€˜π‘) Β· (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))))
9525, 42, 28nnncan2d 11611 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) = (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))))
9644, 94, 953eqtr4d 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) = ((((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))))
9796mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))))
9819, 48resubcld 11647 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) ∈ ℝ)
9998, 36rerpdivcld 13052 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„• β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
10018, 99syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
10114, 100fsumrecl 15685 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
102101recnd 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ β„‚)
103 rpssre 12986 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
1048nncnd 12233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
105 o1const 15569 . . . . . 6 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
106103, 104, 105sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
107103a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
108 1red 11220 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
109 2re 12291 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
110109a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
111 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((logβ€˜π‘) = if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) β†’ ((logβ€˜π‘) ≀ (Ξ›β€˜π‘) ↔ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ≀ (Ξ›β€˜π‘)))
112 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) β†’ (0 ≀ (Ξ›β€˜π‘) ↔ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ≀ (Ξ›β€˜π‘)))
11337adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
114 vmaprm 26858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (Ξ›β€˜π‘) = (logβ€˜π‘))
115114adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (Ξ›β€˜π‘) = (logβ€˜π‘))
116115eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (logβ€˜π‘) = (Ξ›β€˜π‘))
117113, 116eqled 11322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (logβ€˜π‘) ≀ (Ξ›β€˜π‘))
118 vmage0 26862 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜π‘))
119118adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„• ∧ Β¬ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜π‘))
120111, 112, 117, 119ifbothda 4566 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ β„• β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ≀ (Ξ›β€˜π‘))
12119, 48subge0d 11809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ β„• β†’ (0 ≀ ((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) ↔ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ≀ (Ξ›β€˜π‘)))
122120, 121mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ β„• β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)))
12398, 36, 122divge0d 13061 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ 0 ≀ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
12418, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 0 ≀ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
12514, 100, 124fsumge0 15746 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
126101, 125absidd 15374 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
12717adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
128127, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
12911, 128fsumrecl 15685 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
130109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ ℝ)
131127, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
13212a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
13311, 128, 131, 132fsumless 15747 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ≀ Σ𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
134107sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
135134flcld 13768 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
136 rplogsumlem2 27225 . . . . . . . . . 10 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„€ β†’ Σ𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ≀ 2)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ≀ 2)
138101, 129, 130, 133, 137letrd 11376 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ≀ 2)
139126, 138eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) ≀ 2)
140139adantrr 714 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) ≀ 2)
141107, 102, 108, 110, 140elo1d 15485 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) ∈ 𝑂(1))
14210, 102, 106, 141o1mul2 15574 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))) ∈ 𝑂(1))
14397, 142eqeltrrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
14429, 43, 143o1dif 15579 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)))
1457, 144mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   Β· cmul 11118   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  β„€cz 12563  β„+crp 12979  ...cfz 13489  βŒŠcfl 13760  abscabs 15186  π‘‚(1)co1 15435  Ξ£csu 15637  β„™cprime 16613  Ο•cphi 16702  Unitcui 20247  β„€RHomczrh 21269  β„€/nβ„€czn 21272  logclog 26300  Ξ›cvma 26833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-rpss 7716  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-ec 8708  df-qs 8712  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-o1 15439  df-lo1 15440  df-sum 15638  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-numer 16676  df-denom 16677  df-phi 16704  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-qus 17460  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-ga 19196  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-od 19438  df-gex 19439  df-pgp 19440  df-lsm 19546  df-pj1 19547  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-cyg 19788  df-dprd 19907  df-dpj 19908  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-lidl 20933  df-rsp 20934  df-2idl 21007  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-zring 21219  df-zrh 21273  df-zn 21276  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-0p 25420  df-limc 25616  df-dv 25617  df-ply 25938  df-idp 25939  df-coe 25940  df-dgr 25941  df-quot 26041  df-ulm 26126  df-log 26302  df-cxp 26303  df-atan 26609  df-em 26734  df-cht 26838  df-vma 26839  df-chp 26840  df-ppi 26841  df-mu 26842  df-dchr 26973
This theorem is referenced by:  dirith2  27268
  Copyright terms: Public domain W3C validator