MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rplogsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rplogsum 27266
Description: The sum of log𝑝 / 𝑝 over the primes 𝑝≑𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to logπ‘₯ / Ο•(π‘₯) + 𝑂(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
rpvmasum.b (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
rpvmasum.t 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
rplogsum (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑝,𝐴   𝑁,𝑝,π‘₯   πœ‘,𝑝,π‘₯   𝑇,𝑝,π‘₯   π‘ˆ,𝑝,π‘₯   𝑍,𝑝,π‘₯   𝐿,𝑝,π‘₯

Proof of Theorem rplogsum
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
3 rpvmasum.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 rpvmasum.u . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
5 rpvmasum.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
6 rpvmasum.t . . 3 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
71, 2, 3, 4, 5, 6rpvmasum 27265 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
83phicld 16709 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
98adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
109nncnd 12232 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
11 fzfid 13942 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
12 inss1 4227 . . . . . . . 8 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))
13 ssfi 9175 . . . . . . . 8 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
1411, 12, 13sylancl 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇))
1615elin1d 4197 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
17 elfznn 13534 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
19 vmacl 26858 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘) ∈ ℝ)
20 nndivre 12257 . . . . . . . . 9 (((Ξ›β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ β„•) β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
2119, 20mpancom 684 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
2218, 21syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
2314, 22fsumrecl 15684 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
2423recnd 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ β„‚)
2510, 24mulcld 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) ∈ β„‚)
26 relogcl 26320 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2726adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2827recnd 11246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2925, 28subcld 11575 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
30 inss1 4227 . . . . . . . 8 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))
31 ssfi 9175 . . . . . . . 8 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
3211, 30, 31sylancl 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
33 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))
3433elin1d 4197 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
3534, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
36 nnrp 12989 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„• β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
3736relogcld 26367 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„• β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
3837, 36rerpdivcld 13051 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„• β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
3935, 38syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
4032, 39fsumrecl 15684 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝) ∈ ℝ)
4140recnd 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝) ∈ β„‚)
4210, 41mulcld 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) ∈ β„‚)
4342, 28subcld 11575 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4410, 24, 41subdid 11674 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))) = (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))))
4519recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘) ∈ β„‚)
46 0re 11220 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
47 ifcl 4572 . . . . . . . . . . . . 13 (((logβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ∈ ℝ)
4837, 46, 47sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ β„• β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ∈ ℝ)
4948recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ∈ β„‚)
5036rpcnne0d 13029 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ (𝑝 ∈ β„‚ ∧ 𝑝 β‰  0))
51 divsubdir 11912 . . . . . . . . . . 11 (((Ξ›β€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ∈ β„‚ ∧ (𝑝 ∈ β„‚ ∧ 𝑝 β‰  0)) β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = (((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
5245, 49, 50, 51syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„• β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = (((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
5318, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = (((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
5453sumeq2dv 15653 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
5521recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ β„‚)
5618, 55syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ ((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) ∈ β„‚)
5748, 36rerpdivcld 13051 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) ∈ ℝ)
5857recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„• β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) ∈ β„‚)
5918, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) ∈ β„‚)
6014, 56, 59fsumsub 15738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)))
61 inss2 4228 . . . . . . . . . . . 12 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† 𝑇
62 sslin 4233 . . . . . . . . . . . 12 ((β„™ ∩ 𝑇) βŠ† 𝑇 β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇))
6361, 62mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇))
6435, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) ∈ β„‚)
65 eldif 3957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))))
66 incom 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (β„™ ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ β„™)
6766ineq2i 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (𝑇 ∩ β„™))
68 inass 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∩ β„™) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (𝑇 ∩ β„™))
6967, 68eqtr4i 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) = (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∩ β„™)
7069elin2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ β„™))
7170simplbi2 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) β†’ (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))))
7271con3dimp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ β„™)
7365, 72sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ β„™)
7473adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ β„™)
7574iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) = 0)
7675oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = (0 / 𝑝))
77 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇))
7877, 18sylan2 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
79 div0 11906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„‚ ∧ 𝑝 β‰  0) β†’ (0 / 𝑝) = 0)
8050, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ β„• β†’ (0 / 𝑝) = 0)
8178, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ (0 / 𝑝) = 0)
8276, 81eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βˆ– ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)))) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = 0)
8363, 64, 82, 14fsumss 15675 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝))
84 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇)
85 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„™
8684, 85sstri 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† β„™
8786, 33sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
8887iftrued 4535 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) = (logβ€˜π‘))
8988oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ (if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = ((logβ€˜π‘) / 𝑝))
9089sumeq2dv 15653 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))
9183, 90eqtr3d 2772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))
9291oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)))
9354, 60, 923eqtrd 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)))
9493oveq2d 7427 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) = ((Ο•β€˜π‘) Β· (Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))))
9525, 42, 28nnncan2d 11610 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) = (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝))))
9644, 94, 953eqtr4d 2780 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) = ((((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))))
9796mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))))
9819, 48resubcld 11646 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) ∈ ℝ)
9998, 36rerpdivcld 13051 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„• β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
10018, 99syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
10114, 100fsumrecl 15684 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
102101recnd 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ β„‚)
103 rpssre 12985 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
1048nncnd 12232 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
105 o1const 15568 . . . . . 6 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
106103, 104, 105sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
107103a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
108 1red 11219 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
109 2re 12290 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
110109a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
111 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((logβ€˜π‘) = if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) β†’ ((logβ€˜π‘) ≀ (Ξ›β€˜π‘) ↔ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ≀ (Ξ›β€˜π‘)))
112 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) β†’ (0 ≀ (Ξ›β€˜π‘) ↔ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ≀ (Ξ›β€˜π‘)))
11337adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
114 vmaprm 26857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (Ξ›β€˜π‘) = (logβ€˜π‘))
115114adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (Ξ›β€˜π‘) = (logβ€˜π‘))
116115eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (logβ€˜π‘) = (Ξ›β€˜π‘))
117113, 116eqled 11321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (logβ€˜π‘) ≀ (Ξ›β€˜π‘))
118 vmage0 26861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜π‘))
119118adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„• ∧ Β¬ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜π‘))
120111, 112, 117, 119ifbothda 4565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ β„• β†’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ≀ (Ξ›β€˜π‘))
12119, 48subge0d 11808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ β„• β†’ (0 ≀ ((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) ↔ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0) ≀ (Ξ›β€˜π‘)))
122120, 121mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ β„• β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)))
12398, 36, 122divge0d 13060 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„• β†’ 0 ≀ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
12418, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 0 ≀ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
12514, 100, 124fsumge0 15745 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
126101, 125absidd 15373 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
12717adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
128127, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
12911, 128fsumrecl 15684 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
130109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ ℝ)
131127, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
13212a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
13311, 128, 131, 132fsumless 15746 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ≀ Σ𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))
134107sselda 3981 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
135134flcld 13767 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
136 rplogsumlem2 27224 . . . . . . . . . 10 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„€ β†’ Σ𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ≀ 2)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ≀ 2)
138101, 129, 130, 133, 137letrd 11375 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝) ≀ 2)
139126, 138eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) ≀ 2)
140139adantrr 713 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘ ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) ≀ 2)
141107, 102, 108, 110, 140elo1d 15484 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝)) ∈ 𝑂(1))
14210, 102, 106, 141o1mul2 15573 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)(((Ξ›β€˜π‘) βˆ’ if(𝑝 ∈ β„™, (logβ€˜π‘), 0)) / 𝑝))) ∈ 𝑂(1))
14397, 142eqeltrrd 2832 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
14429, 43, 143o1dif 15578 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)))
1457, 144mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘) / 𝑝)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„€cz 12562  β„+crp 12978  ...cfz 13488  βŒŠcfl 13759  abscabs 15185  π‘‚(1)co1 15434  Ξ£csu 15636  β„™cprime 16612  Ο•cphi 16701  Unitcui 20246  β„€RHomczrh 21268  β„€/nβ„€czn 21271  logclog 26299  Ξ›cvma 26832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-rpss 7715  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-o1 15438  df-lo1 15439  df-sum 15637  df-ef 16015  df-e 16016  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-numer 16675  df-denom 16676  df-phi 16703  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-qus 17459  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-ghm 19128  df-gim 19173  df-ga 19195  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-od 19437  df-gex 19438  df-pgp 19439  df-lsm 19545  df-pj1 19546  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-cyg 19787  df-dprd 19906  df-dpj 19907  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-rsp 20933  df-2idl 21006  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-zn 21275  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616  df-ply 25937  df-idp 25938  df-coe 25939  df-dgr 25940  df-quot 26040  df-ulm 26125  df-log 26301  df-cxp 26302  df-atan 26608  df-em 26733  df-cht 26837  df-vma 26838  df-chp 26839  df-ppi 26840  df-mu 26841  df-dchr 26972
This theorem is referenced by:  dirith2  27267
  Copyright terms: Public domain W3C validator