Theorem rplogsum 27585

Description: The sum of log𝑝 / 𝑝 over the primes 𝑝≡𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to log𝑥 / ϕ(𝑥) + 𝑂(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
rpvmasum.t	⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})

Assertion

Ref	Expression
rplogsum	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐴   𝑁,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥   𝑇,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝐿,𝑝,𝑥

Proof of Theorem rplogsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		rpvmasum.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
6		rpvmasum.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	rpvmasum 27584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
8	3	phicld 16805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
11		fzfid 14010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
12		inss1 4244	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
13		ssfi 9211	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
16	15	elin1d 4213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
17		elfznn 13589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑝 ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ ℕ)
19		vmacl 27175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (Λ‘𝑝) ∈ ℝ)
20		nndivre 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Λ‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
21	19, 20	mpancom 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
22	18, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
23	14, 22	fsumrecl 15766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
25	10, 24	mulcld 11278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) ∈ ℂ)
26		relogcl 26631	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
29	25, 28	subcld 11617	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
30		inss1 4244	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
31		ssfi 9211	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
32	11, 30, 31	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
33		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))
34	33	elin1d 4213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
35	34, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ℕ)
36		nnrp 13043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℝ+)
37	36	relogcld 26679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
38	37, 36	rerpdivcld 13105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
39	35, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
40	32, 39	fsumrecl 15766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
42	10, 41	mulcld 11278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) ∈ ℂ)
43	42, 28	subcld 11617	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
44	10, 24, 41	subdid 11716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
45	19	recnd 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (Λ‘𝑝) ∈ ℂ)
46		0re 11260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		ifcl 4575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℝ)
48	37, 46, 47	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℂ)
50	36	rpcnne0d 13083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0))
51		divsubdir 11958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Λ‘𝑝) ∈ ℂ ∧ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℂ ∧ (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
52	45, 49, 50, 51	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
53	18, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
54	53	sumeq2dv 15734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
55	21	recnd 11286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
56	18, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
57	48, 36	rerpdivcld 13105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
59	18, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
60	14, 56, 59	fsumsub 15820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
61		inss2 4245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇
62		sslin 4250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇 → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
63	61, 62	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
64	35, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
65		eldif 3972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ ¬ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))))
66		incom 4216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ ℙ)
67	66	ineq2i 4224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝑇 ∩ ℙ))
68		inass 4235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝑇 ∩ ℙ))
69	67, 68	eqtr4i 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) = (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∩ ℙ)
70	69	elin2 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
71	70	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) → (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))))
72	71	con3dimp 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ ¬ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
73	65, 72	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
75	74	iffalsed 4541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) = 0)
76	75	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = (0 / 𝑝))
77		eldifi 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
78	77, 18	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → 𝑝 ∈ ℕ)
79		div0 11952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0) → (0 / 𝑝) = 0)
80	50, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (0 / 𝑝) = 0)
81	78, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (0 / 𝑝) = 0)
82	76, 81	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = 0)
83	63, 64, 82, 14	fsumss 15757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝))
84		inss2 4245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)
85		inss1 4244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℙ
86	84, 85	sstri 4004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ℙ
87	86, 33	sselid 3992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ℙ)
88	87	iftrued 4538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) = (log‘𝑝))
89	88	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = ((log‘𝑝) / 𝑝))
90	89	sumeq2dv 15734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))
91	83, 90	eqtr3d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))
92	91	oveq2d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)))
93	54, 60, 92	3eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)))
94	93	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = ((ϕ‘𝑁) · (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
95	25, 42, 28	nnncan2d 11652	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
96	44, 94, 95	3eqtr4d 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))))
97	96	mpteq2dva 5247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)))))
98	19, 48	resubcld 11688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) ∈ ℝ)
99	98, 36	rerpdivcld 13105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
100	18, 99	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
101	14, 100	fsumrecl 15766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
102	101	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℂ)
103		rpssre 13039	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
104	8	nncnd 12279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
105		o1const 15652	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
106	103, 104, 105	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
107	103	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
108		1red 11259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
109		2re 12337	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
110	109	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
111		breq1 5150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((log‘𝑝) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) → ((log‘𝑝) ≤ (Λ‘𝑝) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
112		breq1 5150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) → (0 ≤ (Λ‘𝑝) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
113	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
114		vmaprm 27174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (Λ‘𝑝) = (log‘𝑝))
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (Λ‘𝑝) = (log‘𝑝))
116	115	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) = (Λ‘𝑝))
117	113, 116	eqled 11361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) ≤ (Λ‘𝑝))
118		vmage0 27178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑝))
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (Λ‘𝑝))
120	111, 112, 117, 119	ifbothda 4568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝))
121	19, 48	subge0d 11850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (0 ≤ ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
122	120, 121	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)))
123	98, 36, 122	divge0d 13114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
124	18, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
125	14, 100, 124	fsumge0 15827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
126	101, 125	absidd 15457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
127	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑝 ∈ ℕ)
128	127, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
129	11, 128	fsumrecl 15766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
130	109	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ)
131	127, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
132	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
133	11, 128, 131, 132	fsumless 15828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
134	107	sselda 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
135	134	flcld 13834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
136		rplogsumlem2 27543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℤ → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
138	101, 129, 130, 133, 137	letrd 11415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
139	126, 138	eqbrtrd 5169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ≤ 2)
140	139	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ≤ 2)
141	107, 102, 108, 110, 140	elo1d 15568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ∈ 𝑂(1))
142	10, 102, 106, 141	o1mul2 15657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))) ∈ 𝑂(1))
143	97, 142	eqeltrrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
144	29, 43, 143	o1dif 15662	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)))
145	7, 144	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   ∖ cdif 3959   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5687   “ cima 5691  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   ≤ cle 11293   − cmin 11489   / cdiv 11917  ℕcn 12263  2c2 12318  ℤcz 12610  ℝ⁺crp 13031  ...cfz 13543  ⌊cfl 13826  abscabs 15269  𝑂(1)co1 15518  Σcsu 15718  ℙcprime 16704  ϕcphi 16797  Unitcui 20371  ℤRHomczrh 21527  ℤ/nℤczn 21530  logclog 26610  Λcvma 27149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-rpss 7741  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-o1 15522  df-lo1 15523  df-sum 15719  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-numer 16768  df-denom 16769  df-phi 16799  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-qus 17555  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-ga 19320  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-od 19560  df-gex 19561  df-pgp 19562  df-lsm 19668  df-pj1 19669  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-cyg 19910  df-dprd 20029  df-dpj 20030  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-2idl 21277  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-zn 21534  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ply 26241  df-idp 26242  df-coe 26243  df-dgr 26244  df-quot 26347  df-ulm 26434  df-log 26612  df-cxp 26613  df-atan 26924  df-em 27050  df-cht 27154  df-vma 27155  df-chp 27156  df-ppi 27157  df-mu 27158  df-dchr 27291

This theorem is referenced by:  dirith2  27586