Theorem rplogsum 26105

Description: The sum of log𝑝 / 𝑝 over the primes 𝑝≡𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to log𝑥 / ϕ(𝑥) + 𝑂(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
rpvmasum.t	⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})

Assertion

Ref	Expression
rplogsum	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐴   𝑁,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥   𝑇,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝐿,𝑝,𝑥

Proof of Theorem rplogsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		rpvmasum.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
6		rpvmasum.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	rpvmasum 26104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
8	3	phicld 16111	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
9	8	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 11656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
11		fzfid 13344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
12		inss1 4207	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
13		ssfi 8740	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
14	11, 12, 13	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
16	15	elin1d 4177	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
17		elfznn 12939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑝 ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ ℕ)
19		vmacl 25697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (Λ‘𝑝) ∈ ℝ)
20		nndivre 11681	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Λ‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
21	19, 20	mpancom 686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
22	18, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
23	14, 22	fsumrecl 15093	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
24	23	recnd 10671	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
25	10, 24	mulcld 10663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) ∈ ℂ)
26		relogcl 25161	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
27	26	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
28	27	recnd 10671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
29	25, 28	subcld 10999	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
30		inss1 4207	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
31		ssfi 8740	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
32	11, 30, 31	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
33		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))
34	33	elin1d 4177	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
35	34, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ℕ)
36		nnrp 12403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℝ+)
37	36	relogcld 25208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
38	37, 36	rerpdivcld 12465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
39	35, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
40	32, 39	fsumrecl 15093	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
41	40	recnd 10671	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
42	10, 41	mulcld 10663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) ∈ ℂ)
43	42, 28	subcld 10999	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
44	10, 24, 41	subdid 11098	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
45	19	recnd 10671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (Λ‘𝑝) ∈ ℂ)
46		0re 10645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		ifcl 4513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℝ)
48	37, 46, 47	sylancl 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℝ)
49	48	recnd 10671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℂ)
50	36	rpcnne0d 12443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0))
51		divsubdir 11336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Λ‘𝑝) ∈ ℂ ∧ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℂ ∧ (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
52	45, 49, 50, 51	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
53	18, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
54	53	sumeq2dv 15062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
55	21	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
56	18, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
57	48, 36	rerpdivcld 12465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℝ)
58	57	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
59	18, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
60	14, 56, 59	fsumsub 15145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
61		inss2 4208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇
62		sslin 4213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇 → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
63	61, 62	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
64	35, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
65		eldif 3948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ ¬ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))))
66		incom 4180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ ℙ)
67	66	ineq2i 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝑇 ∩ ℙ))
68		inass 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝑇 ∩ ℙ))
69	67, 68	eqtr4i 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) = (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∩ ℙ)
70	69	elin2 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
71	70	simplbi2 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) → (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))))
72	71	con3dimp 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ ¬ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
73	65, 72	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
74	73	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
75	74	iffalsed 4480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) = 0)
76	75	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = (0 / 𝑝))
77		eldifi 4105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
78	77, 18	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → 𝑝 ∈ ℕ)
79		div0 11330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0) → (0 / 𝑝) = 0)
80	50, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (0 / 𝑝) = 0)
81	78, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (0 / 𝑝) = 0)
82	76, 81	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = 0)
83	63, 64, 82, 14	fsumss 15084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝))
84		inss2 4208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)
85		inss1 4207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℙ
86	84, 85	sstri 3978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ℙ
87	86, 33	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ℙ)
88	87	iftrued 4477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) = (log‘𝑝))
89	88	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = ((log‘𝑝) / 𝑝))
90	89	sumeq2dv 15062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))
91	83, 90	eqtr3d 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))
92	91	oveq2d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)))
93	54, 60, 92	3eqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)))
94	93	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = ((ϕ‘𝑁) · (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
95	25, 42, 28	nnncan2d 11034	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
96	44, 94, 95	3eqtr4d 2868	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))))
97	96	mpteq2dva 5163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)))))
98	19, 48	resubcld 11070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) ∈ ℝ)
99	98, 36	rerpdivcld 12465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
100	18, 99	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
101	14, 100	fsumrecl 15093	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
102	101	recnd 10671	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℂ)
103		rpssre 12399	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
104	8	nncnd 11656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
105		o1const 14978	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
106	103, 104, 105	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
107	103	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
108		1red 10644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
109		2re 11714	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
110	109	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
111		breq1 5071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((log‘𝑝) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) → ((log‘𝑝) ≤ (Λ‘𝑝) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
112		breq1 5071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) → (0 ≤ (Λ‘𝑝) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
113	37	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
114		vmaprm 25696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (Λ‘𝑝) = (log‘𝑝))
115	114	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (Λ‘𝑝) = (log‘𝑝))
116	115	eqcomd 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) = (Λ‘𝑝))
117	113, 116	eqled 10745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) ≤ (Λ‘𝑝))
118		vmage0 25700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑝))
119	118	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (Λ‘𝑝))
120	111, 112, 117, 119	ifbothda 4506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝))
121	19, 48	subge0d 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (0 ≤ ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
122	120, 121	mpbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)))
123	98, 36, 122	divge0d 12474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
124	18, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
125	14, 100, 124	fsumge0 15152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
126	101, 125	absidd 14784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
127	17	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑝 ∈ ℕ)
128	127, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
129	11, 128	fsumrecl 15093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
130	109	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ)
131	127, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
132	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
133	11, 128, 131, 132	fsumless 15153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
134	107	sselda 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
135	134	flcld 13171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
136		rplogsumlem2 26063	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℤ → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
138	101, 129, 130, 133, 137	letrd 10799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
139	126, 138	eqbrtrd 5090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ≤ 2)
140	139	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ≤ 2)
141	107, 102, 108, 110, 140	elo1d 14895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ∈ 𝑂(1))
142	10, 102, 106, 141	o1mul2 14983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))) ∈ 𝑂(1))
143	97, 142	eqeltrrd 2916	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
144	29, 43, 143	o1dif 14988	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)))
145	7, 144	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ∖ cdif 3935   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ifcif 4469  {csn 4569   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ^◡ccnv 5556   “ cima 5560  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  2c2 11695  ℤcz 11984  ℝ⁺crp 12392  ...cfz 12895  ⌊cfl 13163  abscabs 14595  𝑂(1)co1 14845  Σcsu 15044  ℙcprime 16017  ϕcphi 16103  Unitcui 19391  ℤRHomczrh 20649  ℤ/nℤczn 20652  logclog 25140  Λcvma 25671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-rpss 7451  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-ec 8293  df-qs 8297  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13925  df-s1 13952  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-o1 14849  df-lo1 14850  df-sum 15045  df-ef 15423  df-e 15424  df-sin 15425  df-cos 15426  df-tan 15427  df-pi 15428  df-dvds 15610  df-gcd 15846  df-prm 16018  df-numer 16077  df-denom 16078  df-phi 16105  df-pc 16176  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-qus 16784  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-nsg 18279  df-eqg 18280  df-ghm 18358  df-gim 18401  df-ga 18422  df-cntz 18449  df-oppg 18476  df-od 18658  df-gex 18659  df-pgp 18660  df-lsm 18763  df-pj1 18764  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-cyg 18999  df-dprd 19119  df-dpj 19120  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-rnghom 19469  df-drng 19506  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-lidl 19948  df-rsp 19949  df-2idl 20007  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-zring 20620  df-zrh 20653  df-zn 20656  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-cmp 21997  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-0p 24273  df-limc 24466  df-dv 24467  df-ply 24780  df-idp 24781  df-coe 24782  df-dgr 24783  df-quot 24882  df-ulm 24967  df-log 25142  df-cxp 25143  df-atan 25447  df-em 25572  df-cht 25676  df-vma 25677  df-chp 25678  df-ppi 25679  df-mu 25680  df-dchr 25811

This theorem is referenced by:  dirith2  26106