Theorem rplogsum 27458

Description: The sum of log𝑝 / 𝑝 over the primes 𝑝≡𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to log𝑥 / ϕ(𝑥) + 𝑂(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
rpvmasum.t	⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})

Assertion

Ref	Expression
rplogsum	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐴   𝑁,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥   𝑇,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝐿,𝑝,𝑥

Proof of Theorem rplogsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		rpvmasum.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
6		rpvmasum.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	rpvmasum 27457	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
8	3	phicld 16675	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
11		fzfid 13872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
12		inss1 4185	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
13		ssfi 9077	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
16	15	elin1d 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
17		elfznn 13445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑝 ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑝 ∈ ℕ)
19		vmacl 27048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (Λ‘𝑝) ∈ ℝ)
20		nndivre 12158	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Λ‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
21	19, 20	mpancom 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
22	18, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
23	14, 22	fsumrecl 15633	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
25	10, 24	mulcld 11124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) ∈ ℂ)
26		relogcl 26504	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
29	25, 28	subcld 11464	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
30		inss1 4185	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
31		ssfi 9077	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
32	11, 30, 31	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
33		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))
34	33	elin1d 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
35	34, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ℕ)
36		nnrp 12894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℝ+)
37	36	relogcld 26552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
38	37, 36	rerpdivcld 12957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
39	35, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
40	32, 39	fsumrecl 15633	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
42	10, 41	mulcld 11124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) ∈ ℂ)
43	42, 28	subcld 11464	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
44	10, 24, 41	subdid 11565	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
45	19	recnd 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (Λ‘𝑝) ∈ ℂ)
46		0re 11106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		ifcl 4519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℝ)
48	37, 46, 47	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℂ)
50	36	rpcnne0d 12935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0))
51		divsubdir 11807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Λ‘𝑝) ∈ ℂ ∧ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ∈ ℂ ∧ (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
52	45, 49, 50, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
53	18, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
54	53	sumeq2dv 15601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
55	21	recnd 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
56	18, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑝) / 𝑝) ∈ ℂ)
57	48, 36	rerpdivcld 12957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
59	18, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
60	14, 56, 59	fsumsub 15687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) / 𝑝) − (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)))
61		inss2 4186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇
62		sslin 4191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇 → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
63	61, 62	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
64	35, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) ∈ ℂ)
65		eldif 3910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ ¬ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))))
66		incom 4157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ ℙ)
67	66	ineq2i 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝑇 ∩ ℙ))
68		inass 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝑇 ∩ ℙ))
69	67, 68	eqtr4i 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) = (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∩ ℙ)
70	69	elin2 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ↔ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
71	70	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) → (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))))
72	71	con3dimp 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∧ ¬ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
73	65, 72	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → ¬ 𝑝 ∈ ℙ)
75	74	iffalsed 4484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) = 0)
76	75	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = (0 / 𝑝))
77		eldifi 4079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇))
78	77, 18	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → 𝑝 ∈ ℕ)
79		div0 11801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0) → (0 / 𝑝) = 0)
80	50, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (0 / 𝑝) = 0)
81	78, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (0 / 𝑝) = 0)
82	76, 81	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∖ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = 0)
83	63, 64, 82, 14	fsumss 15624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝))
84		inss2 4186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)
85		inss1 4185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℙ
86	84, 85	sstri 3942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ ℙ
87	86, 33	sselid 3930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ℙ)
88	87	iftrued 4481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) = (log‘𝑝))
89	88	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → (if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = ((log‘𝑝) / 𝑝))
90	89	sumeq2dv 15601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))
91	83, 90	eqtr3d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))
92	91	oveq2d 7357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) / 𝑝)) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)))
93	54, 60, 92	3eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)))
94	93	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = ((ϕ‘𝑁) · (Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝) − Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
95	25, 42, 28	nnncan2d 11499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝))))
96	44, 94, 95	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))))
97	96	mpteq2dva 5182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)))))
98	19, 48	resubcld 11537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) ∈ ℝ)
99	98, 36	rerpdivcld 12957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
100	18, 99	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
101	14, 100	fsumrecl 15633	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
102	101	recnd 11132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℂ)
103		rpssre 12890	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
104	8	nncnd 12133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
105		o1const 15519	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
106	103, 104, 105	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
107	103	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
108		1red 11105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
109		2re 12191	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
110	109	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
111		breq1 5092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((log‘𝑝) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) → ((log‘𝑝) ≤ (Λ‘𝑝) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
112		breq1 5092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) → (0 ≤ (Λ‘𝑝) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
113	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
114		vmaprm 27047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (Λ‘𝑝) = (log‘𝑝))
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (Λ‘𝑝) = (log‘𝑝))
116	115	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) = (Λ‘𝑝))
117	113, 116	eqled 11208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (log‘𝑝) ≤ (Λ‘𝑝))
118		vmage0 27051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑝))
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (Λ‘𝑝))
120	111, 112, 117, 119	ifbothda 4512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝))
121	19, 48	subge0d 11699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (0 ≤ ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) ↔ if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0) ≤ (Λ‘𝑝)))
122	120, 121	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ ((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)))
123	98, 36, 122	divge0d 12966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
124	18, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
125	14, 100, 124	fsumge0 15694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
126	101, 125	absidd 15322	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
127	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑝 ∈ ℕ)
128	127, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
129	11, 128	fsumrecl 15633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ∈ ℝ)
130	109	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ)
131	127, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
132	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
133	11, 128, 131, 132	fsumless 15695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))
134	107	sselda 3932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
135	134	flcld 13694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
136		rplogsumlem2 27416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℤ → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
138	101, 129, 130, 133, 137	letrd 11262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝) ≤ 2)
139	126, 138	eqbrtrd 5111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ≤ 2)
140	139	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ≤ 2)
141	107, 102, 108, 110, 140	elo1d 15435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝)) ∈ 𝑂(1))
142	10, 102, 106, 141	o1mul2 15524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)(((Λ‘𝑝) − if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘𝑝), 0)) / 𝑝))) ∈ 𝑂(1))
143	97, 142	eqeltrrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)) − (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
144	29, 43, 143	o1dif 15529	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)))
145	7, 144	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑝) / 𝑝)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3897   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  ifcif 4473  {csn 4574   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999   · cmul 11003   ≤ cle 11139   − cmin 11336   / cdiv 11766  ℕcn 12117  2c2 12172  ℤcz 12460  ℝ⁺crp 12882  ...cfz 13399  ⌊cfl 13686  abscabs 15133  𝑂(1)co1 15385  Σcsu 15585  ℙcprime 16574  ϕcphi 16667  Unitcui 20266  ℤRHomczrh 21429  ℤ/nℤczn 21432  logclog 26483  Λcvma 27022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076  ax-addf 11077  ax-mulf 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-rpss 7651  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-ec 8619  df-qs 8623  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9786  df-card 9824  df-acn 9827  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-xnn0 12447  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-ioo 13241  df-ioc 13242  df-ico 13243  df-icc 13244  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-fl 13688  df-mod 13766  df-seq 13901  df-exp 13961  df-fac 14173  df-bc 14202  df-hash 14230  df-word 14413  df-concat 14470  df-s1 14496  df-shft 14966  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-limsup 15370  df-clim 15387  df-rlim 15388  df-o1 15389  df-lo1 15390  df-sum 15586  df-ef 15966  df-e 15967  df-sin 15968  df-cos 15969  df-tan 15970  df-pi 15971  df-dvds 16156  df-gcd 16398  df-prm 16575  df-numer 16638  df-denom 16639  df-phi 16669  df-pc 16741  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-hom 17177  df-cco 17178  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-qus 17405  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-mulg 18973  df-subg 19028  df-nsg 19029  df-eqg 19030  df-ghm 19118  df-gim 19164  df-ga 19195  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-od 19433  df-gex 19434  df-pgp 19435  df-lsm 19541  df-pj1 19542  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-cyg 19783  df-dprd 19902  df-dpj 19903  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-cring 20147  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-dvr 20312  df-rhm 20383  df-subrng 20454  df-subrg 20478  df-drng 20639  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-lidl 21138  df-rsp 21139  df-2idl 21180  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-zn 21436  df-top 22802  df-topon 22819  df-topsp 22841  df-bases 22854  df-cld 22927  df-ntr 22928  df-cls 22929  df-nei 23006  df-lp 23044  df-perf 23045  df-cn 23135  df-cnp 23136  df-haus 23223  df-cmp 23295  df-tx 23470  df-hmeo 23663  df-fil 23754  df-fm 23846  df-flim 23847  df-flf 23848  df-xms 24228  df-ms 24229  df-tms 24230  df-cncf 24791  df-0p 25591  df-limc 25787  df-dv 25788  df-ply 26113  df-idp 26114  df-coe 26115  df-dgr 26116  df-quot 26219  df-ulm 26306  df-log 26485  df-cxp 26486  df-atan 26797  df-em 26923  df-cht 27027  df-vma 27028  df-chp 27029  df-ppi 27030  df-mu 27031  df-dchr 27164

This theorem is referenced by:  dirith2  27459