Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  swrdrndisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdrndisj 32673
Description: Condition for the range of two subwords of an injective word to be disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
swrdf1.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
swrdf1.m (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
swrdf1.n (𝜑𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
swrdf1.1 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
swrdrndisj.1 (𝜑𝑂 ∈ (𝑁...𝑃))
swrdrndisj.2 (𝜑𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)))
Assertion
Ref Expression
swrdrndisj (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ∅)

Proof of Theorem swrdrndisj
StepHypRef Expression
1 swrdf1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
2 swrdf1.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
3 swrdf1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4 swrdrn3 32671 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))
6 elfzuz 13524 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
7 fzss1 13567 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (𝑁...𝑃) ⊆ (0...𝑃))
83, 6, 73syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁...𝑃) ⊆ (0...𝑃))
9 swrdrndisj.1 . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ (𝑁...𝑃))
108, 9sseldd 3980 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (0...𝑃))
11 fzss1 13567 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (𝑁...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊)))
123, 6, 113syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊)))
13 swrdrndisj.2 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)))
1412, 13sseldd 3980 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
15 swrdrn3 32671 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝑂 ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩) = (𝑊 “ (𝑂..^𝑃)))
161, 10, 14, 15syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩) = (𝑊 “ (𝑂..^𝑃)))
175, 16ineq12d 4210 . 2 (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
18 swrdf1.1 . . 3 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
19 df-f1 6548 . . . 4 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
2019simprbi 496 . . 3 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 → Fun 𝑊)
21 imain 6633 . . 3 (Fun 𝑊 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
2218, 20, 213syl 18 . 2 (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
23 elfzuz 13524 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑁...𝑃) → 𝑂 ∈ (ℤ𝑁))
24 fzoss1 13686 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^𝑃))
259, 23, 243syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^𝑃))
26 elfzuz3 13525 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑃))
27 fzoss2 13687 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑃) → (𝑁..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
2813, 26, 273syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
2925, 28sstrd 3989 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
30 sslin 4231 . . . . . . 7 ((𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)) → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))))
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))))
32 fzodisj 13693 . . . . . 6 ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))) = ∅
3331, 32sseqtrdi 4029 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ∅)
34 ss0 4395 . . . . 5 (((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ∅ → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) = ∅)
3533, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) = ∅)
3635imaeq2d 6058 . . 3 (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = (𝑊 “ ∅))
37 ima0 6075 . . 3 (𝑊 “ ∅) = ∅
3836, 37eqtrdi 2784 . 2 (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ∅)
3917, 22, 383eqtr2d 2774 1 (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3944  wss 3945  c0 4319  cop 4631  ccnv 5672  dom cdm 5673  ran crn 5674  cima 5676  Fun wfun 6537  wf 6539  1-1wf1 6540  cfv 6543  (class class class)co 7415  0cc0 11133  cuz 12847  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654  chash 14316  Word cword 14491   substr csubstr 14617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-substr 14618
This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  32840
  Copyright terms: Public domain W3C validator