Theorem swrdrndisj 33017

Description: Condition for the range of two subwords of an injective word to be disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdf1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
swrdf1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
swrdf1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
swrdf1.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
swrdrndisj.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑁...𝑃))
swrdrndisj.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)))

Assertion

Ref	Expression
swrdrndisj	⊢ (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ∅)

Proof of Theorem swrdrndisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdf1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
2		swrdf1.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
3		swrdf1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4		swrdrn3 33015	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))
6		elfzuz 13474	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
7		fzss1 13517	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁...𝑃) ⊆ (0...𝑃))
8	3, 6, 7	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁...𝑃) ⊆ (0...𝑃))
9		swrdrndisj.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑁...𝑃))
10	8, 9	sseldd 3922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (0...𝑃))
11		fzss1 13517	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊)))
12	3, 6, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊)))
13		swrdrndisj.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)))
14	12, 13	sseldd 3922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
15		swrdrn3 33015	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑂 ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩) = (𝑊 “ (𝑂..^𝑃)))
16	1, 10, 14, 15	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩) = (𝑊 “ (𝑂..^𝑃)))
17	5, 16	ineq12d 4161	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
18		swrdf1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
19		df-f1 6503	. . . 4 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
20	19	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → Fun ◡𝑊)
21		imain 6583	. . 3 ⊢ (Fun ◡𝑊 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
22	18, 20, 21	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
23		elfzuz 13474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑁...𝑃) → 𝑂 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
24		fzoss1 13641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^𝑃))
25	9, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^𝑃))
26		elfzuz3 13475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑃))
27		fzoss2 13642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑃) → (𝑁..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
28	13, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
29	25, 28	sstrd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
30		sslin 4183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)) → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))))
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))))
32		fzodisj 13648	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))) = ∅
33	31, 32	sseqtrdi 3962	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ∅)
34		ss0 4342	. . . . 5 ⊢ (((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ∅ → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) = ∅)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) = ∅)
36	35	imaeq2d 6025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = (𝑊 “ ∅))
37		ima0 6042	. . 3 ⊢ (𝑊 “ ∅) = ∅
38	36, 37	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ∅)
39	17, 22, 38	3eqtr2d 2777	1 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ⟨cop 4573  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  Fun wfun 6492  ⟶wf 6494  –1-1→wf1 6495  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475   substr csubstr 14603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-substr 14604

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  33185