Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  swrdrndisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdrndisj 32699
Description: Condition for the range of two subwords of an injective word to be disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
swrdf1.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
swrdf1.m (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
swrdf1.n (𝜑𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
swrdf1.1 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
swrdrndisj.1 (𝜑𝑂 ∈ (𝑁...𝑃))
swrdrndisj.2 (𝜑𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)))
Assertion
Ref Expression
swrdrndisj (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ∅)

Proof of Theorem swrdrndisj
StepHypRef Expression
1 swrdf1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
2 swrdf1.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
3 swrdf1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4 swrdrn3 32697 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))
6 elfzuz 13537 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
7 fzss1 13580 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (𝑁...𝑃) ⊆ (0...𝑃))
83, 6, 73syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁...𝑃) ⊆ (0...𝑃))
9 swrdrndisj.1 . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ (𝑁...𝑃))
108, 9sseldd 3983 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (0...𝑃))
11 fzss1 13580 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (𝑁...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊)))
123, 6, 113syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊)))
13 swrdrndisj.2 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)))
1412, 13sseldd 3983 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
15 swrdrn3 32697 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝑂 ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩) = (𝑊 “ (𝑂..^𝑃)))
161, 10, 14, 15syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩) = (𝑊 “ (𝑂..^𝑃)))
175, 16ineq12d 4215 . 2 (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
18 swrdf1.1 . . 3 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
19 df-f1 6558 . . . 4 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
2019simprbi 495 . . 3 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 → Fun 𝑊)
21 imain 6643 . . 3 (Fun 𝑊 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
2218, 20, 213syl 18 . 2 (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
23 elfzuz 13537 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑁...𝑃) → 𝑂 ∈ (ℤ𝑁))
24 fzoss1 13699 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^𝑃))
259, 23, 243syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^𝑃))
26 elfzuz3 13538 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑃))
27 fzoss2 13700 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑃) → (𝑁..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
2813, 26, 273syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
2925, 28sstrd 3992 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
30 sslin 4237 . . . . . . 7 ((𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)) → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))))
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))))
32 fzodisj 13706 . . . . . 6 ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))) = ∅
3331, 32sseqtrdi 4032 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ∅)
34 ss0 4402 . . . . 5 (((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ∅ → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) = ∅)
3533, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) = ∅)
3635imaeq2d 6068 . . 3 (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = (𝑊 “ ∅))
37 ima0 6085 . . 3 (𝑊 “ ∅) = ∅
3836, 37eqtrdi 2784 . 2 (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ∅)
3917, 22, 383eqtr2d 2774 1 (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3948  wss 3949  c0 4326  cop 4638  ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683  cima 5685  Fun wfun 6547  wf 6549  1-1wf1 6550  cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  cuz 12860  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  chash 14329  Word cword 14504   substr csubstr 14630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-substr 14631
This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  32866
  Copyright terms: Public domain W3C validator