Theorem swrdrndisj 32623

Description: Condition for the range of two subwords of an injective word to be disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdf1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
swrdf1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
swrdf1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
swrdf1.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
swrdrndisj.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑁...𝑃))
swrdrndisj.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)))

Assertion

Ref	Expression
swrdrndisj	⊢ (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ∅)

Proof of Theorem swrdrndisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdf1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
2		swrdf1.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
3		swrdf1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4		swrdrn3 32621	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))
6		elfzuz 13500	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
7		fzss1 13543	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁...𝑃) ⊆ (0...𝑃))
8	3, 6, 7	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁...𝑃) ⊆ (0...𝑃))
9		swrdrndisj.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑁...𝑃))
10	8, 9	sseldd 3978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (0...𝑃))
11		fzss1 13543	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊)))
12	3, 6, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊)))
13		swrdrndisj.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)))
14	12, 13	sseldd 3978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
15		swrdrn3 32621	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑂 ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩) = (𝑊 “ (𝑂..^𝑃)))
16	1, 10, 14, 15	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩) = (𝑊 “ (𝑂..^𝑃)))
17	5, 16	ineq12d 4208	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
18		swrdf1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
19		df-f1 6541	. . . 4 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
20	19	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → Fun ◡𝑊)
21		imain 6626	. . 3 ⊢ (Fun ◡𝑊 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
22	18, 20, 21	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
23		elfzuz 13500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑁...𝑃) → 𝑂 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
24		fzoss1 13662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^𝑃))
25	9, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^𝑃))
26		elfzuz3 13501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑃))
27		fzoss2 13663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑃) → (𝑁..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
28	13, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
29	25, 28	sstrd 3987	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
30		sslin 4229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)) → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))))
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))))
32		fzodisj 13669	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))) = ∅
33	31, 32	sseqtrdi 4027	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ∅)
34		ss0 4393	. . . . 5 ⊢ (((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ∅ → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) = ∅)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) = ∅)
36	35	imaeq2d 6052	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = (𝑊 “ ∅))
37		ima0 6069	. . 3 ⊢ (𝑊 “ ∅) = ∅
38	36, 37	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ∅)
39	17, 22, 38	3eqtr2d 2772	1 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  ⟨cop 4629  ^◡ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   “ cima 5672  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  ℤ_≥cuz 12823  ...cfz 13487  ..^cfzo 13630  ♯chash 14292  Word cword 14467   substr csubstr 14593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14293  df-word 14468  df-substr 14594

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  32786