Theorem swrdrndisj 30631

Description: Condition for the range of two subwords of an injective word to be disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdf1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
swrdf1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
swrdf1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
swrdf1.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
swrdrndisj.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑁...𝑃))
swrdrndisj.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)))

Assertion

Ref	Expression
swrdrndisj	⊢ (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ∅)

Proof of Theorem swrdrndisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdf1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
2		swrdf1.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
3		swrdf1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4		swrdrn3 30629	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))
6		elfzuz 12905	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
7		fzss1 12947	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁...𝑃) ⊆ (0...𝑃))
8	3, 6, 7	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁...𝑃) ⊆ (0...𝑃))
9		swrdrndisj.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑁...𝑃))
10	8, 9	sseldd 3968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (0...𝑃))
11		fzss1 12947	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊)))
12	3, 6, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊)))
13		swrdrndisj.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)))
14	12, 13	sseldd 3968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
15		swrdrn3 30629	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑂 ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩) = (𝑊 “ (𝑂..^𝑃)))
16	1, 10, 14, 15	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩) = (𝑊 “ (𝑂..^𝑃)))
17	5, 16	ineq12d 4190	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
18		swrdf1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
19		df-f1 6360	. . . 4 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
20	19	simprbi 499	. . 3 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → Fun ◡𝑊)
21		imain 6439	. . 3 ⊢ (Fun ◡𝑊 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
22	18, 20, 21	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ((𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ∩ (𝑊 “ (𝑂..^𝑃))))
23		elfzuz 12905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑁...𝑃) → 𝑂 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
24		fzoss1 13065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^𝑃))
25	9, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^𝑃))
26		elfzuz3 12906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑁...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑃))
27		fzoss2 13066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑃) → (𝑁..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
28	13, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
29	25, 28	sstrd 3977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)))
30		sslin 4211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂..^𝑃) ⊆ (𝑁..^(♯‘𝑊)) → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))))
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))))
32		fzodisj 13072	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑁..^(♯‘𝑊))) = ∅
33	31, 32	sseqtrdi 4017	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ∅)
34		ss0 4352	. . . . 5 ⊢ (((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) ⊆ ∅ → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) = ∅)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃)) = ∅)
36	35	imaeq2d 5929	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = (𝑊 “ ∅))
37		ima0 5945	. . 3 ⊢ (𝑊 “ ∅) = ∅
38	36, 37	syl6eq 2872	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ ((𝑀..^𝑁) ∩ (𝑂..^𝑃))) = ∅)
39	17, 22, 38	3eqtr2d 2862	1 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∩ ran (𝑊 substr ⟨𝑂, 𝑃⟩)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ⟨cop 4573  ^◡ccnv 5554  dom cdm 5555  ran crn 5556   “ cima 5558  Fun wfun 6349  ⟶wf 6351  –1-1→wf1 6352  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  ℤ_≥cuz 12244  ...cfz 12893  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862   substr csubstr 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-substr 14003

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  30766