Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfzcons1 42728
Description: Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
Assertion
Ref Expression
mapfzcons1 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)

Proof of Theorem mapfzcons1
StepHypRef Expression
1 elmapi 8889 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
2 ffn 6736 . . . 4 (𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵𝐴 Fn (1...𝑁))
3 fnresdm 6687 . . . 4 (𝐴 Fn (1...𝑁) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
54uneq1d 4167 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))))
6 resundir 6012 . 2 ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
7 dmres 6030 . . . . . 6 dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩})
8 dmsnopss 6234 . . . . . . . . 9 dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {𝑀}
9 mapfzcons.1 . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑁 + 1)
109sneqi 4637 . . . . . . . . 9 {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
118, 10sseqtri 4032 . . . . . . . 8 dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)}
12 sslin 4243 . . . . . . . 8 (dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)} → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
14 fzp1disj 13623 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
15 sseq0 4403 . . . . . . 7 ((((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅)
1613, 14, 15mp2an 692 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅
177, 16eqtri 2765 . . . . 5 dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
18 relres 6023 . . . . . 6 Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))
19 reldm0 5938 . . . . . 6 (Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) → (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅)
2117, 20mpbir 231 . . . 4 ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
2221uneq2i 4165 . . 3 (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ∅)
23 un0 4394 . . 3 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
2422, 23eqtr2i 2766 . 2 𝐴 = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
255, 6, 243eqtr4g 2802 1 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cop 4632  dom cdm 5685  cres 5687  Rel wrel 5690   Fn wfn 6556  wf 6557  (class class class)co 7431  m cmap 8866  1c1 11156   + caddc 11158  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  42805
  Copyright terms: Public domain W3C validator