Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfzcons1 38222
Description: Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
Assertion
Ref Expression
mapfzcons1 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)

Proof of Theorem mapfzcons1
StepHypRef Expression
1 elmapi 8162 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
2 ffn 6291 . . . 4 (𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵𝐴 Fn (1...𝑁))
3 fnresdm 6246 . . . 4 (𝐴 Fn (1...𝑁) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
54uneq1d 3988 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) → ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))))
6 resundir 5661 . 2 ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
7 dmres 5668 . . . . . 6 dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩})
8 dmsnopss 5861 . . . . . . . . 9 dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {𝑀}
9 mapfzcons.1 . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑁 + 1)
109sneqi 4408 . . . . . . . . 9 {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
118, 10sseqtri 3855 . . . . . . . 8 dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)}
12 sslin 4058 . . . . . . . 8 (dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)} → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
14 fzp1disj 12717 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
15 sseq0 4200 . . . . . . 7 ((((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅)
1613, 14, 15mp2an 682 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅
177, 16eqtri 2801 . . . . 5 dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
18 relres 5675 . . . . . 6 Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))
19 reldm0 5588 . . . . . 6 (Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) → (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅)
2117, 20mpbir 223 . . . 4 ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
2221uneq2i 3986 . . 3 (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ∅)
23 un0 4192 . . 3 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
2422, 23eqtr2i 2802 . 2 𝐴 = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
255, 6, 243eqtr4g 2838 1 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2106  cun 3789  cin 3790  wss 3791  c0 4140  {csn 4397  cop 4403  dom cdm 5355  cres 5357  Rel wrel 5360   Fn wfn 6130  wf 6131  (class class class)co 6922  𝑚 cmap 8140  1c1 10273   + caddc 10275  ...cfz 12643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  38300
  Copyright terms: Public domain W3C validator