Theorem mapfzcons1 41441

Description: Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons1	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)

Proof of Theorem mapfzcons1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8840	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
2		ffn 6715	. . . 4 ⊢ (𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 → 𝐴 Fn (1...𝑁))
3		fnresdm 6667	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn (1...𝑁) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
5	4	uneq1d 4162	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))))
6		resundir 5995	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
7		dmres 6002	. . . . . 6 ⊢ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩})
8		dmsnopss 6211	. . . . . . . . 9 ⊢ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {𝑀}
9		mapfzcons.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
10	9	sneqi 4639	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
11	8, 10	sseqtri 4018	. . . . . . . 8 ⊢ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)}
12		sslin 4234	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)} → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
14		fzp1disj 13557	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
15		sseq0 4399	. . . . . . 7 ⊢ ((((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅)
16	13, 14, 15	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅
17	7, 16	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
18		relres 6009	. . . . . 6 ⊢ Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))
19		reldm0 5926	. . . . . 6 ⊢ (Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) → (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅)
21	17, 20	mpbir 230	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
22	21	uneq2i 4160	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ∅)
23		un0 4390	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
24	22, 23	eqtr2i 2762	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
25	5, 6, 24	3eqtr4g 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628  ⟨cop 4634  dom cdm 5676   ↾ cres 5678  Rel wrel 5681   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  (class class class)co 7406   ↑_m cmap 8817  1c1 11108   + caddc 11110  ...cfz 13481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  41518