Theorem mapfzcons1 42901

Description: Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons1	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)

Proof of Theorem mapfzcons1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8784	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
2		ffn 6660	. . . 4 ⊢ (𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 → 𝐴 Fn (1...𝑁))
3		fnresdm 6609	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn (1...𝑁) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
5	4	uneq1d 4117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))))
6		resundir 5951	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
7		dmres 5969	. . . . . 6 ⊢ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩})
8		dmsnopss 6170	. . . . . . . . 9 ⊢ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {𝑀}
9		mapfzcons.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
10	9	sneqi 4589	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
11	8, 10	sseqtri 3980	. . . . . . . 8 ⊢ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)}
12		sslin 4193	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)} → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
14		fzp1disj 13497	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
15		sseq0 4353	. . . . . . 7 ⊢ ((((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅)
16	13, 14, 15	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅
17	7, 16	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
18		relres 5962	. . . . . 6 ⊢ Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))
19		reldm0 5875	. . . . . 6 ⊢ (Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) → (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅)
21	17, 20	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
22	21	uneq2i 4115	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ∅)
23		un0 4344	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
24	22, 23	eqtr2i 2758	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
25	5, 6, 24	3eqtr4g 2794	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  {csn 4578  ⟨cop 4584  dom cdm 5622   ↾ cres 5624  Rel wrel 5627   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  1c1 11025   + caddc 11027  ...cfz 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  42978