Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfzcons1 39588
 Description: Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
Assertion
Ref Expression
mapfzcons1 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)

Proof of Theorem mapfzcons1
StepHypRef Expression
1 elmapi 8415 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
2 ffn 6494 . . . 4 (𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵𝐴 Fn (1...𝑁))
3 fnresdm 6446 . . . 4 (𝐴 Fn (1...𝑁) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
54uneq1d 4113 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))))
6 resundir 5846 . 2 ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
7 dmres 5853 . . . . . 6 dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩})
8 dmsnopss 6049 . . . . . . . . 9 dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {𝑀}
9 mapfzcons.1 . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑁 + 1)
109sneqi 4550 . . . . . . . . 9 {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
118, 10sseqtri 3978 . . . . . . . 8 dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)}
12 sslin 4185 . . . . . . . 8 (dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)} → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
14 fzp1disj 12961 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
15 sseq0 4325 . . . . . . 7 ((((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅)
1613, 14, 15mp2an 691 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅
177, 16eqtri 2845 . . . . 5 dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
18 relres 5860 . . . . . 6 Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))
19 reldm0 5775 . . . . . 6 (Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) → (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅)
2117, 20mpbir 234 . . . 4 ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
2221uneq2i 4111 . . 3 (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ∅)
23 un0 4316 . . 3 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
2422, 23eqtr2i 2846 . 2 𝐴 = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
255, 6, 243eqtr4g 2882 1 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4265  {csn 4539  ⟨cop 4545  dom cdm 5532   ↾ cres 5534  Rel wrel 5537   Fn wfn 6329  ⟶wf 6330  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8393  1c1 10527   + caddc 10529  ...cfz 12885 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886 This theorem is referenced by:  rexrabdioph  39665
 Copyright terms: Public domain W3C validator