Theorem mapfzcons1 42705

Description: Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons1	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)

Proof of Theorem mapfzcons1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8888	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
2		ffn 6737	. . . 4 ⊢ (𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 → 𝐴 Fn (1...𝑁))
3		fnresdm 6688	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn (1...𝑁) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
5	4	uneq1d 4177	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))))
6		resundir 6015	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
7		dmres 6032	. . . . . 6 ⊢ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩})
8		dmsnopss 6236	. . . . . . . . 9 ⊢ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {𝑀}
9		mapfzcons.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
10	9	sneqi 4642	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
11	8, 10	sseqtri 4032	. . . . . . . 8 ⊢ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)}
12		sslin 4251	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)} → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
14		fzp1disj 13620	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
15		sseq0 4409	. . . . . . 7 ⊢ ((((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅)
16	13, 14, 15	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅
17	7, 16	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
18		relres 6026	. . . . . 6 ⊢ Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))
19		reldm0 5941	. . . . . 6 ⊢ (Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) → (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅)
21	17, 20	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
22	21	uneq2i 4175	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ∅)
23		un0 4400	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
24	22, 23	eqtr2i 2764	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
25	5, 6, 24	3eqtr4g 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631  ⟨cop 4637  dom cdm 5689   ↾ cres 5691  Rel wrel 5694   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  1c1 11154   + caddc 11156  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  42782