Theorem rhmsubclem3 45686

Description: Lemma 3 for rhmsubc 45688. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubclem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCat‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rhmsubclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcrescrhm.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3		elinel1 4132	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
4	2, 3	syl6bi 252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 → 𝑥 ∈ Ring))
5	4	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ Ring)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
7	6	idrhm 20003	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9		rngcrescrhm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
10		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
11	9	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ (RngCat‘𝑈) = 𝐶
12	11	fveq2i 6795	. . 3 ⊢ (Id‘(RngCat‘𝑈)) = (Id‘𝐶)
13		rngcrescrhm.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ 𝑉)
15		incom 4138	. . . . . 6 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
16		ringssrng 45478	. . . . . . 7 ⊢ Ring ⊆ Rng
17		sslin 4171	. . . . . . 7 ⊢ (Ring ⊆ Rng → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
19	15, 18	eqsstrid 3971	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Ring ∩ 𝑈) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
20	9, 10, 13	rngcbas 45563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
21	19, 1, 20	3sstr4d 3970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐶))
22	21	sselda 3923	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
23	9, 10, 12, 14, 22, 6	rngcid 45577	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCat‘𝑈))‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
24		rngcrescrhm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
25	13, 9, 1, 24	rhmsubclem2 45685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
26	25	3anidm23 1419	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
27	8, 23, 26	3eltr4d 2849	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCat‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889   I cid 5490   × cxp 5589   ↾ cres 5593  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  Basecbs 16940  Idccid 17402  Ringcrg 19811   RingHom crh 19984  Rngcrng 45472  RngCatcrngc 45555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-pm 8638  df-ixp 8706  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-fz 13268  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-hom 17014  df-cco 17015  df-0g 17180  df-cat 17405  df-cid 17406  df-homf 17407  df-ssc 17550  df-resc 17551  df-subc 17552  df-estrc 17867  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-mhm 18458  df-grp 18608  df-minusg 18609  df-ghm 18860  df-cmn 19416  df-abl 19417  df-mgp 19749  df-ur 19766  df-ring 19813  df-rnghom 19987  df-mgmhm 45373  df-rng0 45473  df-rnghomo 45485  df-rngc 45557

This theorem is referenced by:  rhmsubc  45688