MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmsubclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubclem3 20602
Description: Lemma 3 for rhmsubc 20604. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcrescrhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubclem3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ ((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem rhmsubclem3
StepHypRef Expression
1 rngcrescrhm.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
21eleq2d 2814 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑅 ↔ π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ)))
3 elinel1 4191 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ Ring)
42, 3biimtrdi 252 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑅 β†’ π‘₯ ∈ Ring))
54imp 406 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ Ring)
6 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘₯)
76idrhm 20411 . . 3 (π‘₯ ∈ Ring β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯))
85, 7syl 17 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯))
9 rngcrescrhm.c . . 3 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
10 eqid 2727 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
119eqcomi 2736 . . . 4 (RngCatβ€˜π‘ˆ) = 𝐢
1211fveq2i 6894 . . 3 (Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (Idβ€˜πΆ)
13 rngcrescrhm.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
1413adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
15 incom 4197 . . . . . 6 (Ring ∩ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∩ Ring)
16 ringssrng 20204 . . . . . . 7 Ring βŠ† Rng
17 sslin 4230 . . . . . . 7 (Ring βŠ† Rng β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) βŠ† (π‘ˆ ∩ Rng))
1816, 17mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) βŠ† (π‘ˆ ∩ Rng))
1915, 18eqsstrid 4026 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ring ∩ π‘ˆ) βŠ† (π‘ˆ ∩ Rng))
209, 10, 13rngcbas 20536 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (π‘ˆ ∩ Rng))
2119, 1, 203sstr4d 4025 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
2221sselda 3978 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
239, 10, 12, 14, 22, 6rngcid 20550 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ ((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))
24 rngcrescrhm.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
2513, 9, 1, 24rhmsubclem2 20601 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ (π‘₯𝐻π‘₯) = (π‘₯ RingHom π‘₯))
26253anidm23 1419 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ (π‘₯𝐻π‘₯) = (π‘₯ RingHom π‘₯))
278, 23, 263eltr4d 2843 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ ((Idβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944   I cid 5569   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  Idccid 17630  Rngcrng 20076  Ringcrg 20157   RingHom crh 20390  RngCatcrngc 20531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-cat 17633  df-cid 17634  df-homf 17635  df-ssc 17778  df-resc 17779  df-subc 17780  df-estrc 18098  df-mgm 18585  df-mgmhm 18637  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-ghm 19152  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-rnghm 20357  df-rhm 20393  df-rngc 20532
This theorem is referenced by:  rhmsubc  20604
  Copyright terms: Public domain W3C validator