Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubclem3 47087
Description: Lemma 3 for rhmsubc 47089. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubclem3 ((𝜑𝑥𝑅) → ((Id‘(RngCat‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rhmsubclem3
StepHypRef Expression
1 rngcrescrhm.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
21eleq2d 2818 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3 elinel1 4195 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
42, 3syl6bi 253 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑥 ∈ Ring))
54imp 406 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥 ∈ Ring)
6 eqid 2731 . . . 4 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
76idrhm 20385 . . 3 (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
85, 7syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9 rngcrescrhm.c . . 3 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
10 eqid 2731 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
119eqcomi 2740 . . . 4 (RngCat‘𝑈) = 𝐶
1211fveq2i 6894 . . 3 (Id‘(RngCat‘𝑈)) = (Id‘𝐶)
13 rngcrescrhm.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
1413adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑈𝑉)
15 incom 4201 . . . . . 6 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
16 ringssrng 20178 . . . . . . 7 Ring ⊆ Rng
17 sslin 4234 . . . . . . 7 (Ring ⊆ Rng → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
1816, 17mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
1915, 18eqsstrid 4030 . . . . 5 (𝜑 → (Ring ∩ 𝑈) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
209, 10, 13rngcbas 46964 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
2119, 1, 203sstr4d 4029 . . . 4 (𝜑𝑅 ⊆ (Base‘𝐶))
2221sselda 3982 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
239, 10, 12, 14, 22, 6rngcid 46978 . 2 ((𝜑𝑥𝑅) → ((Id‘(RngCat‘𝑈))‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
24 rngcrescrhm.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
2513, 9, 1, 24rhmsubclem2 47086 . . 3 ((𝜑𝑥𝑅𝑥𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
26253anidm23 1420 . 2 ((𝜑𝑥𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
278, 23, 263eltr4d 2847 1 ((𝜑𝑥𝑅) → ((Id‘(RngCat‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  cin 3947  wss 3948   I cid 5573   × cxp 5674  cres 5678  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  Idccid 17616  Rngcrng 20050  Ringcrg 20131   RingHom crh 20364  RngCatcrngc 46956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-cat 17619  df-cid 17620  df-homf 17621  df-ssc 17764  df-resc 17765  df-subc 17766  df-estrc 18081  df-mgm 18568  df-mgmhm 18620  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-mhm 18708  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-ghm 19132  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-rnghm 20331  df-rhm 20367  df-rngc 46958
This theorem is referenced by:  rhmsubc  47089
  Copyright terms: Public domain W3C validator