Theorem rhmsubclem3 20607

Description: Lemma 3 for rhmsubc 20609. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubclem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCat‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rhmsubclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcrescrhm.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3		elinel1 4160	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
4	2, 3	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 → 𝑥 ∈ Ring))
5	4	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ Ring)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
7	6	idrhm 20410	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9		rngcrescrhm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
11	9	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ (RngCat‘𝑈) = 𝐶
12	11	fveq2i 6843	. . 3 ⊢ (Id‘(RngCat‘𝑈)) = (Id‘𝐶)
13		rngcrescrhm.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ 𝑉)
15		incom 4168	. . . . . 6 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
16		ringssrng 20206	. . . . . . 7 ⊢ Ring ⊆ Rng
17		sslin 4202	. . . . . . 7 ⊢ (Ring ⊆ Rng → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
19	15, 18	eqsstrid 3982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Ring ∩ 𝑈) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
20	9, 10, 13	rngcbas 20541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
21	19, 1, 20	3sstr4d 3999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐶))
22	21	sselda 3943	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
23	9, 10, 12, 14, 22, 6	rngcid 20555	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCat‘𝑈))‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
24		rngcrescrhm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
25	13, 9, 1, 24	rhmsubclem2 20606	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
26	25	3anidm23 1423	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
27	8, 23, 26	3eltr4d 2843	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCat‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911   I cid 5525   × cxp 5629   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  Idccid 17606  Rngcrng 20072  Ringcrg 20153   RingHom crh 20389  RngCatcrngc 20536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-cat 17609  df-cid 17610  df-homf 17611  df-ssc 17752  df-resc 17753  df-subc 17754  df-estrc 18064  df-mgm 18549  df-mgmhm 18601  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-ghm 19127  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-rnghm 20356  df-rhm 20392  df-rngc 20537

This theorem is referenced by:  rhmsubc  20609