Theorem rhmsubclem3 20618

Description: Lemma 3 for rhmsubc 20620. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubclem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCat‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rhmsubclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcrescrhm.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3		elinel1 4151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
4	2, 3	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑅 → 𝑥 ∈ Ring))
5	4	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ Ring)
6		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
7	6	idrhm 20423	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9		rngcrescrhm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
11	9	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ (RngCat‘𝑈) = 𝐶
12	11	fveq2i 6835	. . 3 ⊢ (Id‘(RngCat‘𝑈)) = (Id‘𝐶)
13		rngcrescrhm.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ 𝑉)
15		incom 4159	. . . . . 6 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
16		ringssrng 20219	. . . . . . 7 ⊢ Ring ⊆ Rng
17		sslin 4193	. . . . . . 7 ⊢ (Ring ⊆ Rng → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
19	15, 18	eqsstrid 3970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Ring ∩ 𝑈) ⊆ (𝑈 ∩ Rng))
20	9, 10, 13	rngcbas 20552	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
21	19, 1, 20	3sstr4d 3987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐶))
22	21	sselda 3931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
23	9, 10, 12, 14, 22, 6	rngcid 20566	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCat‘𝑈))‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
24		rngcrescrhm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
25	13, 9, 1, 24	rhmsubclem2 20617	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
26	25	3anidm23 1423	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
27	8, 23, 26	3eltr4d 2849	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCat‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   I cid 5516   × cxp 5620   ↾ cres 5624  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  Idccid 17586  Rngcrng 20085  Ringcrg 20166   RingHom crh 20403  RngCatcrngc 20547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-cat 17589  df-cid 17590  df-homf 17591  df-ssc 17732  df-resc 17733  df-subc 17734  df-estrc 18044  df-mgm 18563  df-mgmhm 18615  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-ghm 19140  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-rnghm 20370  df-rhm 20406  df-rngc 20548

This theorem is referenced by:  rhmsubc  20620