Theorem fldcALTV 48363

Description: The restriction of the category of division rings to the set of field homomorphisms is a category, the "category of fields". (Contributed by AV, 20-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
drhmsubcALTV.c	⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
drhmsubcALTV.j	⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
fldhmsubcALTV.d	⊢ 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
fldhmsubcALTV.f	⊢ 𝐹 = (𝑟 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))

Assertion

Ref	Expression
fldcALTV	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝐷,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,𝑟)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem fldcALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6832	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (RingCatALTV‘𝑈) ∈ V)
2		drhmsubcALTV.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
3		ovex 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑟 RingHom 𝑠) ∈ V
4	2, 3	fnmpoi 7997	. . . 4 ⊢ 𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶))
6		fldhmsubcALTV.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑟 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
7	6, 3	fnmpoi 7997	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷))
9		drhmsubcALTV.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
10		inex1g 5252	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ DivRing) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrid 2835	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
12		df-field 20642	. . . . . 6 ⊢ Field = (DivRing ∩ CRing)
13		inss1 4182	. . . . . 6 ⊢ (DivRing ∩ CRing) ⊆ DivRing
14	12, 13	eqsstri 3976	. . . . 5 ⊢ Field ⊆ DivRing
15		sslin 4188	. . . . 5 ⊢ (Field ⊆ DivRing → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
17		fldhmsubcALTV.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
18	16, 17, 9	3sstr4g 3983	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐷 ⊆ 𝐶)
19	1, 5, 8, 11, 18	rescabs 17735	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) = ((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐹))
20	9, 2, 17, 6	fldcatALTV 48362	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)
21	19, 20	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897   × cxp 5609   Fn wfn 6471  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  Catccat 17565   ↾_cat cresc 17710  CRingccrg 20147   RingHom crh 20382  DivRingcdr 20639  Fieldcfield 20640  RingCatALTVcringcALTV 48318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-cat 17569  df-cid 17570  df-homf 17571  df-ssc 17712  df-resc 17713  df-subc 17714  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-grp 18844  df-ghm 19120  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-rhm 20385  df-field 20642  df-ringcALTV 48319

This theorem is referenced by: (None)