Theorem fldcALTV 48953

Description: The restriction of the category of division rings to the set of field homomorphisms is a category, the "category of fields". (Contributed by AV, 20-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
drhmsubcALTV.c	⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
drhmsubcALTV.j	⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
fldhmsubcALTV.d	⊢ 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
fldhmsubcALTV.f	⊢ 𝐹 = (𝑟 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))

Assertion

Ref	Expression
fldcALTV	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝐷,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,𝑟)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem fldcALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6886	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (RingCatALTV‘𝑈) ∈ V)
2		drhmsubcALTV.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
3		ovex 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑟 RingHom 𝑠) ∈ V
4	2, 3	fnmpoi 8055	. . . 4 ⊢ 𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶))
6		fldhmsubcALTV.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑟 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
7	6, 3	fnmpoi 8055	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷))
9		drhmsubcALTV.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
10		inex1g 5279	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ DivRing) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrid 2869	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
12		df-field 20804	. . . . . 6 ⊢ Field = (DivRing ∩ CRing)
13		inss1 4191	. . . . . 6 ⊢ (DivRing ∩ CRing) ⊆ DivRing
14	12, 13	eqsstri 3985	. . . . 5 ⊢ Field ⊆ DivRing
15		sslin 4197	. . . . 5 ⊢ (Field ⊆ DivRing → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
16	14, 15	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
17		fldhmsubcALTV.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
18	16, 17, 9	3sstr4g 3992	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐷 ⊆ 𝐶)
19	1, 5, 8, 11, 18	rescabs 17878	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) = ((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐹))
20	9, 2, 17, 6	fldcatALTV 48952	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)
21	19, 20	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907   × cxp 5649   Fn wfn 6520  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  Catccat 17708   ↾_cat cresc 17853  CRingccrg 20304   RingHom crh 20539  DivRingcdr 20801  Fieldcfield 20802  RingCatALTVcringcALTV 48908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-cat 17712  df-cid 17713  df-homf 17714  df-ssc 17855  df-resc 17856  df-subc 17857  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-grp 18991  df-ghm 19272  df-mgp 20205  df-ur 20252  df-ring 20305  df-cring 20306  df-rhm 20542  df-field 20804  df-ringcALTV 48909

This theorem is referenced by: (None)