Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldcALTV Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fldcALTV 47282
Description: The restriction of the category of division rings to the set of field homomorphisms is a category, the "category of fields". (Contributed by AV, 20-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
drhmsubcALTV.c 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
drhmsubcALTV.j 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
fldhmsubcALTV.d 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
fldhmsubcALTV.f 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fldcALTV (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ÿ,𝑠   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠   𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝐷,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,π‘Ÿ)   𝐽(𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem fldcALTV
StepHypRef Expression
1 fvexd 6900 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
2 drhmsubcALTV.j . . . . 5 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
3 ovex 7438 . . . . 5 (π‘Ÿ RingHom 𝑠) ∈ V
42, 3fnmpoi 8055 . . . 4 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢)
54a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢))
6 fldhmsubcALTV.f . . . . 5 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
76, 3fnmpoi 8055 . . . 4 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷)
87a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷))
9 drhmsubcALTV.c . . . 4 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
10 inex1g 5312 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ DivRing) ∈ V)
119, 10eqeltrid 2831 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
12 df-field 20590 . . . . . 6 Field = (DivRing ∩ CRing)
13 inss1 4223 . . . . . 6 (DivRing ∩ CRing) βŠ† DivRing
1412, 13eqsstri 4011 . . . . 5 Field βŠ† DivRing
15 sslin 4229 . . . . 5 (Field βŠ† DivRing β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
17 fldhmsubcALTV.d . . . 4 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
1816, 17, 93sstr4g 4022 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 βŠ† 𝐢)
191, 5, 8, 11, 18rescabs 17791 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) = ((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐹))
209, 2, 17, 6fldcatALTV 47281 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
2119, 20eqeltrd 2827 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943   Γ— cxp 5667   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Catccat 17617   β†Ύcat cresc 17764  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  DivRingcdr 20587  Fieldcfield 20588  RingCatALTVcringcALTV 47237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-cat 17621  df-cid 17622  df-homf 17623  df-ssc 17766  df-resc 17767  df-subc 17768  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-ghm 19139  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-field 20590  df-ringcALTV 47238
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator