Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldcALTV Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fldcALTV 47490
Description: The restriction of the category of division rings to the set of field homomorphisms is a category, the "category of fields". (Contributed by AV, 20-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
drhmsubcALTV.c 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
drhmsubcALTV.j 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
fldhmsubcALTV.d 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
fldhmsubcALTV.f 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fldcALTV (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ÿ,𝑠   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠   𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝐷,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,π‘Ÿ)   𝐽(𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem fldcALTV
StepHypRef Expression
1 fvexd 6917 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
2 drhmsubcALTV.j . . . . 5 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
3 ovex 7459 . . . . 5 (π‘Ÿ RingHom 𝑠) ∈ V
42, 3fnmpoi 8082 . . . 4 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢)
54a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢))
6 fldhmsubcALTV.f . . . . 5 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
76, 3fnmpoi 8082 . . . 4 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷)
87a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷))
9 drhmsubcALTV.c . . . 4 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
10 inex1g 5323 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ DivRing) ∈ V)
119, 10eqeltrid 2833 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
12 df-field 20641 . . . . . 6 Field = (DivRing ∩ CRing)
13 inss1 4231 . . . . . 6 (DivRing ∩ CRing) βŠ† DivRing
1412, 13eqsstri 4016 . . . . 5 Field βŠ† DivRing
15 sslin 4237 . . . . 5 (Field βŠ† DivRing β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
17 fldhmsubcALTV.d . . . 4 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
1816, 17, 93sstr4g 4027 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 βŠ† 𝐢)
191, 5, 8, 11, 18rescabs 17827 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) = ((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐹))
209, 2, 17, 6fldcatALTV 47489 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
2119, 20eqeltrd 2829 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5680   Fn wfn 6548  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  Catccat 17653   β†Ύcat cresc 17800  CRingccrg 20188   RingHom crh 20422  DivRingcdr 20638  Fieldcfield 20639  RingCatALTVcringcALTV 47445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-cat 17657  df-cid 17658  df-homf 17659  df-ssc 17802  df-resc 17803  df-subc 17804  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-grp 18907  df-ghm 19182  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-rhm 20425  df-field 20641  df-ringcALTV 47446
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator