Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldcALTV Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fldcALTV 46999
Description: The restriction of the category of division rings to the set of field homomorphisms is a category, the "category of fields". (Contributed by AV, 20-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
drhmsubcALTV.c 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
drhmsubcALTV.j 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
fldhmsubcALTV.d 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
fldhmsubcALTV.f 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fldcALTV (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ÿ,𝑠   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠   𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝐷,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,π‘Ÿ)   𝐽(𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem fldcALTV
StepHypRef Expression
1 fvexd 6907 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
2 drhmsubcALTV.j . . . . 5 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
3 ovex 7442 . . . . 5 (π‘Ÿ RingHom 𝑠) ∈ V
42, 3fnmpoi 8056 . . . 4 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢)
54a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐽 Fn (𝐢 Γ— 𝐢))
6 fldhmsubcALTV.f . . . . 5 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
76, 3fnmpoi 8056 . . . 4 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷)
87a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 Fn (𝐷 Γ— 𝐷))
9 drhmsubcALTV.c . . . 4 𝐢 = (π‘ˆ ∩ DivRing)
10 inex1g 5320 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ DivRing) ∈ V)
119, 10eqeltrid 2838 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
12 df-field 20360 . . . . . 6 Field = (DivRing ∩ CRing)
13 inss1 4229 . . . . . 6 (DivRing ∩ CRing) βŠ† DivRing
1412, 13eqsstri 4017 . . . . 5 Field βŠ† DivRing
15 sslin 4235 . . . . 5 (Field βŠ† DivRing β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Field) βŠ† (π‘ˆ ∩ DivRing))
17 fldhmsubcALTV.d . . . 4 𝐷 = (π‘ˆ ∩ Field)
1816, 17, 93sstr4g 4028 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 βŠ† 𝐢)
191, 5, 8, 11, 18rescabs 17782 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) = ((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐹))
209, 2, 17, 6fldcatALTV 46998 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
2119, 20eqeltrd 2834 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((RingCatALTVβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat 𝐽) β†Ύcat 𝐹) ∈ Cat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5675   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  Catccat 17608   β†Ύcat cresc 17755  CRingccrg 20057   RingHom crh 20248  DivRingcdr 20357  Fieldcfield 20358  RingCatALTVcringcALTV 46902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-cat 17612  df-cid 17613  df-homf 17614  df-ssc 17757  df-resc 17758  df-subc 17759  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-ghm 19090  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-rnghom 20251  df-field 20360  df-ringcALTV 46904
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator