Theorem fldcALTV 48293

Description: The restriction of the category of division rings to the set of field homomorphisms is a category, the "category of fields". (Contributed by AV, 20-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
drhmsubcALTV.c	⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
drhmsubcALTV.j	⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
fldhmsubcALTV.d	⊢ 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
fldhmsubcALTV.f	⊢ 𝐹 = (𝑟 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))

Assertion

Ref	Expression
fldcALTV	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝐷,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,𝑟)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem fldcALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6855	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (RingCatALTV‘𝑈) ∈ V)
2		drhmsubcALTV.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
3		ovex 7402	. . . . 5 ⊢ (𝑟 RingHom 𝑠) ∈ V
4	2, 3	fnmpoi 8028	. . . 4 ⊢ 𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶))
6		fldhmsubcALTV.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑟 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
7	6, 3	fnmpoi 8028	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷))
9		drhmsubcALTV.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
10		inex1g 5269	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ DivRing) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
12		df-field 20617	. . . . . 6 ⊢ Field = (DivRing ∩ CRing)
13		inss1 4196	. . . . . 6 ⊢ (DivRing ∩ CRing) ⊆ DivRing
14	12, 13	eqsstri 3990	. . . . 5 ⊢ Field ⊆ DivRing
15		sslin 4202	. . . . 5 ⊢ (Field ⊆ DivRing → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
17		fldhmsubcALTV.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
18	16, 17, 9	3sstr4g 3997	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐷 ⊆ 𝐶)
19	1, 5, 8, 11, 18	rescabs 17771	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) = ((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐹))
20	9, 2, 17, 6	fldcatALTV 48292	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)
21	19, 20	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911   × cxp 5629   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  Catccat 17601   ↾_cat cresc 17746  CRingccrg 20119   RingHom crh 20354  DivRingcdr 20614  Fieldcfield 20615  RingCatALTVcringcALTV 48248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-cat 17605  df-cid 17606  df-homf 17607  df-ssc 17748  df-resc 17749  df-subc 17750  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-grp 18844  df-ghm 19121  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-rhm 20357  df-field 20617  df-ringcALTV 48249

This theorem is referenced by: (None)