volcn - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > volcn		Structured version Visualization version GIF version

Theorem volcn 25573

Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
volcn.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))

**Assertion**
Ref	Expression
volcn	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑥)

Proof of Theorem volcn Dummy variables 𝑢 𝑒 𝑣 𝑦 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2		iccmbl 25533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
3	2	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
4		inmbl 25509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
5	1, 3, 4	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
6		mblvol 25497	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
8		inss2 4178	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥)
9		mblss 25498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
10	3, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
11		mblvol 25497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
12	3, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
13		iccvolcl 25534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
14	13	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
15	12, 14	eqeltrrd 2837	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
16		ovolsscl 25453	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥) ∧ (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ ∧ (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
17	8, 10, 15, 16	mp3an2i 1469	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
18	7, 17	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
19		volcn.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
20	18, 19	fmptd 7066	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
21		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
22		oveq12 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 = 𝑧 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (𝑣 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑦))
23	22	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → (𝑣 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑦))
24	23	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → (abs‘(𝑣 − 𝑢)) = (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
25	24	breq1d 5095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → ((abs‘(𝑣 − 𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒))
26		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑧))
27		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑦))
28	26, 27	oveqan12rd 7387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → ((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)))
29	28	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))))
30	29	breq1d 5095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → ((abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
31	25, 30	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → (((abs‘(𝑣 − 𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒)))
32		oveq12 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 = 𝑦 ∧ 𝑢 = 𝑧) → (𝑣 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑧))
33	32	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → (𝑣 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑧))
34	33	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → (abs‘(𝑣 − 𝑢)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
35	34	breq1d 5095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → ((abs‘(𝑣 − 𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑒))
36		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑦))
37		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑧))
38	36, 37	oveqan12rd 7387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → ((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)))
39	38	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) = (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))))
40	39	breq1d 5095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
41	35, 40	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → (((abs‘(𝑣 − 𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑒)))
42		ssidd 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ℝ ⊆ ℝ)
43		recn 11128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
44		recn 11128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
45		abssub 15289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
46	43, 44, 45	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
48	47	breq1d 5095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑒))
49	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
50		ffvelcdm 7033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
51		ffvelcdm 7033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
52	50, 51	anim12dan 620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ))
53	49, 52	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ))
54		recn 11128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
55		recn 11128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
56		abssub 15289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))))
57	54, 55, 56	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))))
58	53, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))))
59	58	breq1d 5095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
60	48, 59	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑒)))
61		simpr2 1197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
62		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑧))
63	62	ineq2d 4160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
64	63	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
65		fvex 6853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ V
66	64, 19, 65	fvmpt 6947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
67	61, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
68		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐴 ∈ dom vol)
69		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
71		iccmbl 25533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
72	70, 61, 71	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
73		inmbl 25509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
74	68, 72, 73	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
75		mblvol 25497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
77	67, 76	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑧) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
78		simpr1 1196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ∈ ℝ)
79		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑦))
80	79	ineq2d 4160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))
81	80	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
82		fvex 6853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ V
83	81, 19, 82	fvmpt 6947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
84	78, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
85		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
86		iccmbl 25533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
87	69, 85, 86	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
88		inmbl 25509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
89	68, 87, 88	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
90		mblvol 25497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
92	84, 91	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑦) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
93	77, 92	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) = ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))))
94	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
95	94, 61	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
96	77, 95	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ ℝ)
97	70	leidd 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ≤ 𝐵)
98		simpr3 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ≤ 𝑧)
99		iccss 13367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≤ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
100	70, 61, 97, 98, 99	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
101		sslin 4183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
103		mblss 25498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
104	74, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
105	102, 104	sstrd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ)
106		iccssre 13382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
107	78, 61, 106	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
108	105, 107	unssd 4132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
109	94, 78	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
110	92, 109	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ)
111	61, 78	resubcld 11578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ)
112	110, 111	readdcld 11174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)) ∈ ℝ)
113		ovolicc 25490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
114	113	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
115	114, 111	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)
116		ovolun 25466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ ∧ (vol‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
117	105, 110, 107, 115, 116	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
118	114	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol‘(𝑦[,]𝑧))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)))
119	117, 118	breqtrd 5111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)))
120		ovollecl 25450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦))) → (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
121	108, 112, 119, 120	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
122	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
123	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ ℝ)
124	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
125		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝐵 ≤ 𝑦)
126	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ 𝑧)
127		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
128		elicc2 13364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)))
129	69, 127, 128	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)))
130	129	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)))
131	124, 125, 126, 130	mpbir3and 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧))
132		iccsplit 13438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
133	122, 123, 131, 132	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
134		eqimss 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
136	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
137	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
138		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ≤ 𝐵)
139	137	leidd 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝑧)
140		iccss 13367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝑧 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
141	136, 137, 138, 139, 140	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
142		ssun4 4121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
143	141, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
144	70, 78, 135, 143	lecasei 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
145		sslin 4183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
147		indi 4224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) = ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)))
148		inss2 4178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
149		unss2 4127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
150	148, 149	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
151	147, 150	eqsstri 3968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
152	146, 151	sstrdi 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
153		ovolss 25452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
154	152, 108, 153	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
155	96, 121, 112, 154, 119	letrd 11303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)))
156	96, 110, 111	lesubadd2d 11749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧 − 𝑦) ↔ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦))))
157	155, 156	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧 − 𝑦))
158	93, 157	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ≤ (𝑧 − 𝑦))
159	95, 109	resubcld 11578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ)
160		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
161	160	rpred 12986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ)
162		lelttr 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ≤ (𝑧 − 𝑦) ∧ (𝑧 − 𝑦) < 𝑒) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) < 𝑒))
163	159, 111, 161, 162	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ≤ (𝑧 − 𝑦) ∧ (𝑧 − 𝑦) < 𝑒) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) < 𝑒))
164	158, 163	mpand 696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝑧 − 𝑦) < 𝑒 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) < 𝑒))
165		abssubge0 15290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (𝑧 − 𝑦))
166	165	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (𝑧 − 𝑦))
167	166	breq1d 5095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑧 − 𝑦) < 𝑒))
168		ovolss 25452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∧ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
169	102, 104, 168	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
170	169, 92, 77	3brtr4d 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑧))
171	109, 95, 170	abssubge0d 15396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)))
172	171	breq1d 5095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) < 𝑒))
173	164, 167, 172	3imtr4d 294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
174	31, 41, 42, 60, 173	wlogle 11683	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
175	174	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
176	175	ralrimiva 3129	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
177	176	anasss 466	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
178	177	ancom2s 651	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
179		breq2 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒))
180	179	rspceaimv 3570	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
181	21, 178, 180	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
182	181	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
183		ax-resscn 11095	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
184		elcncf2 24857	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))))
185	183, 183, 184	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒)))
186	20, 182, 185	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ∀wral 3051 ∃wrex 3061 ∪ cun 3887 ∩ cin 3888 ⊆ wss 3889 class class class wbr 5085 ↦ cmpt 5166 dom cdm 5631 ⟶wf 6494 ‘cfv 6498 (class class class)co 7367 ℂcc 11036 ℝcr 11037 + caddc 11041 < clt 11179 ≤ cle 11180 − cmin 11377 ℝ⁺crp 12942 [,]cicc 13301 abscabs 15196 –cn→ccncf 24843 vol*covol 25429 volcvol 25430

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-inf2 9562 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-op 4574 df-uni 4851 df-int 4890 df-iun 4935 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-isom 6507 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-of 7631 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-2o 8406 df-er 8643 df-map 8775 df-pm 8776 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-fi 9324 df-sup 9355 df-inf 9356 df-oi 9425 df-dju 9825 df-card 9863 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-n0 12438 df-z 12525 df-uz 12789 df-q 12899 df-rp 12943 df-xneg 13063 df-xadd 13064 df-xmul 13065 df-ioo 13302 df-ico 13304 df-icc 13305 df-fz 13462 df-fzo 13609 df-fl 13751 df-seq 13964 df-exp 14024 df-hash 14293 df-cj 15061 df-re 15062 df-im 15063 df-sqrt 15197 df-abs 15198 df-clim 15450 df-rlim 15451 df-sum 15649 df-rest 17385 df-topgen 17406 df-psmet 21344 df-xmet 21345 df-met 21346 df-bl 21347 df-mopn 21348 df-top 22859 df-topon 22876 df-bases 22911 df-cmp 23352 df-cncf 24845 df-ovol 25431 df-vol 25432

This theorem is referenced by: volivth 25574

W3C validator