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Theorem volcn 23772

Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
volcn.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))

**Assertion**
Ref	Expression
volcn	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑥)

Proof of Theorem volcn Dummy variables 𝑢 𝑒 𝑣 𝑦 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2		iccmbl 23732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
3	2	adantll 707	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
4		inmbl 23708	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
5	1, 3, 4	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
6		mblvol 23696	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
8		inss2 4058	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥))
10		mblss 23697	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
12		mblvol 23696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
13	3, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
14		iccvolcl 23733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
15	14	adantll 707	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
16	13, 15	eqeltrrd 2907	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
17		ovolsscl 23652	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥) ∧ (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ ∧ (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
18	9, 11, 16, 17	syl3anc 1496	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
19	7, 18	eqeltrd 2906	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
20		volcn.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
21	19, 20	fmptd 6633	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22		simprr 791	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
23		oveq12 6914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 = 𝑧 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (𝑣 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑦))
24	23	ancoms 452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → (𝑣 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑦))
25	24	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → (abs‘(𝑣 − 𝑢)) = (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
26	25	breq1d 4883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → ((abs‘(𝑣 − 𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒))
27		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑧))
28		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑦))
29	27, 28	oveqan12rd 6925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → ((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)))
30	29	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))))
31	30	breq1d 4883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → ((abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
32	26, 31	imbi12d 336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → (((abs‘(𝑣 − 𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒)))
33		oveq12 6914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 = 𝑦 ∧ 𝑢 = 𝑧) → (𝑣 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑧))
34	33	ancoms 452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → (𝑣 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑧))
35	34	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → (abs‘(𝑣 − 𝑢)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
36	35	breq1d 4883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → ((abs‘(𝑣 − 𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑒))
37		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑦))
38		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑧))
39	37, 38	oveqan12rd 6925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → ((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)))
40	39	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) = (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))))
41	40	breq1d 4883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
42	36, 41	imbi12d 336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → (((abs‘(𝑣 − 𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑒)))
43		ssidd 3849	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ℝ ⊆ ℝ)
44		recn 10342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
45		recn 10342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
46		abssub 14443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
47	44, 45, 46	syl2anr 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
48	47	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
49	48	breq1d 4883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑒))
50	21	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
51		ffvelrn 6606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
52		ffvelrn 6606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
53	51, 52	anim12dan 614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ))
54	50, 53	sylan 577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ))
55		recn 10342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
56		recn 10342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
57		abssub 14443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))))
58	55, 56, 57	syl2anr 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))))
59	54, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))))
60	59	breq1d 4883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
61	49, 60	imbi12d 336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑒)))
62		simpr2 1256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
63		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑧))
64	63	ineq2d 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
65	64	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
66		fvex 6446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ V
67	65, 20, 66	fvmpt 6529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
68	62, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
69		simplll 793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐴 ∈ dom vol)
70		simplr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
71	70	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
72		iccmbl 23732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
73	71, 62, 72	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
74		inmbl 23708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
75	69, 73, 74	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
76		mblvol 23696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
78	68, 77	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑧) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
79		simpr1 1254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ∈ ℝ)
80		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑦))
81	80	ineq2d 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))
82	81	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
83		fvex 6446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ V
84	82, 20, 83	fvmpt 6529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
85	79, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
86		simp1 1172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
87		iccmbl 23732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
88	70, 86, 87	syl2an 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
89		inmbl 23708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
90	69, 88, 89	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
91		mblvol 23696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
93	85, 92	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑦) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
94	78, 93	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) = ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))))
95	50	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
96	95, 62	ffvelrnd 6609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
97	78, 96	eqeltrrd 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ ℝ)
98	71	leidd 10918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ≤ 𝐵)
99		simpr3 1258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ≤ 𝑧)
100		iccss 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≤ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
101	71, 62, 98, 99, 100	syl22anc 874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
102		sslin 4063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
104		mblss 23697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
105	75, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
106	103, 105	sstrd 3837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ)
107		iccssre 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
108	79, 62, 107	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
109	106, 108	unssd 4016	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
110	95, 79	ffvelrnd 6609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
111	93, 110	eqeltrrd 2907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ)
112	62, 79	resubcld 10782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ)
113	111, 112	readdcld 10386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)) ∈ ℝ)
114		ovolicc 23689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
115	114	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
116	115, 112	eqeltrd 2906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)
117		ovolun 23665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ ∧ (vol‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
118	106, 111, 108, 116, 117	syl22anc 874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
119	115	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol‘(𝑦[,]𝑧))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)))
120	118, 119	breqtrd 4899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)))
121		ovollecl 23649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦))) → (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
122	109, 113, 120, 121	syl3anc 1496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
123	71	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
124	62	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ ℝ)
125	79	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
126		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝐵 ≤ 𝑦)
127	99	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ 𝑧)
128		simp2 1173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
129		elicc2 12526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)))
130	70, 128, 129	syl2an 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)))
131	130	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)))
132	125, 126, 127, 131	mpbir3and 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧))
133		iccsplit 12598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
134	123, 124, 132, 133	syl3anc 1496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
135		eqimss 3882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
137	79	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
138	62	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
139		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ≤ 𝐵)
140	138	leidd 10918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝑧)
141		iccss 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝑧 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
142	137, 138, 139, 140, 141	syl22anc 874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
143		ssun4 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
145	71, 79, 136, 144	lecasei 10462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
146		sslin 4063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
148		indi 4103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) = ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)))
149		inss2 4058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
150		unss2 4011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
151	149, 150	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
152	148, 151	eqsstri 3860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
153	147, 152	syl6ss 3839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
154		ovolss 23651	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
155	153, 109, 154	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
156	97, 122, 113, 155, 120	letrd 10513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)))
157	97, 111, 112	lesubadd2d 10951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧 − 𝑦) ↔ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦))))
158	156, 157	mpbird 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧 − 𝑦))
159	94, 158	eqbrtrd 4895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ≤ (𝑧 − 𝑦))
160	96, 110	resubcld 10782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ)
161		simplr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
162	161	rpred 12156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ)
163		lelttr 10447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ≤ (𝑧 − 𝑦) ∧ (𝑧 − 𝑦) < 𝑒) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) < 𝑒))
164	160, 112, 162, 163	syl3anc 1496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ≤ (𝑧 − 𝑦) ∧ (𝑧 − 𝑦) < 𝑒) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) < 𝑒))
165	159, 164	mpand 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝑧 − 𝑦) < 𝑒 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) < 𝑒))
166		abssubge0 14444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (𝑧 − 𝑦))
167	166	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (𝑧 − 𝑦))
168	167	breq1d 4883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑧 − 𝑦) < 𝑒))
169		ovolss 23651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∧ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
170	103, 105, 169	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
171	170, 93, 78	3brtr4d 4905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑧))
172	110, 96, 171	abssubge0d 14547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)))
173	172	breq1d 4883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) < 𝑒))
174	165, 168, 173	3imtr4d 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
175	32, 42, 43, 61, 174	wlogle 10885	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
176	175	anassrs 461	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
177	176	ralrimiva 3175	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
178	177	anasss 460	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
179	178	ancom2s 642	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
180		breq2 4877	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒))
181	180	rspceaimv 3534	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
182	22, 179, 181	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
183	182	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
184		ax-resscn 10309	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
185		elcncf2 23063	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))))
186	184, 184, 185	mp2an 685	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒)))
187	21, 183, 186	sylanbrc 580	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 386 ∧ w3a 1113 = wceq 1658 ∈ wcel 2166 ∀wral 3117 ∃wrex 3118 ∪ cun 3796 ∩ cin 3797 ⊆ wss 3798 class class class wbr 4873 ↦ cmpt 4952 dom cdm 5342 ⟶wf 6119 ‘cfv 6123 (class class class)co 6905 ℂcc 10250 ℝcr 10251 + caddc 10255 < clt 10391 ≤ cle 10392 − cmin 10585 ℝ⁺crp 12112 [,]cicc 12466 abscabs 14351 –cn→ccncf 23049 vol*covol 23628 volcvol 23629

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1896 ax-4 1910 ax-5 2011 ax-6 2077 ax-7 2114 ax-8 2168 ax-9 2175 ax-10 2194 ax-11 2209 ax-12 2222 ax-13 2391 ax-ext 2803 ax-rep 4994 ax-sep 5005 ax-nul 5013 ax-pow 5065 ax-pr 5127 ax-un 7209 ax-inf2 8815 ax-cnex 10308 ax-resscn 10309 ax-1cn 10310 ax-icn 10311 ax-addcl 10312 ax-addrcl 10313 ax-mulcl 10314 ax-mulrcl 10315 ax-mulcom 10316 ax-addass 10317 ax-mulass 10318 ax-distr 10319 ax-i2m1 10320 ax-1ne0 10321 ax-1rid 10322 ax-rnegex 10323 ax-rrecex 10324 ax-cnre 10325 ax-pre-lttri 10326 ax-pre-lttrn 10327 ax-pre-ltadd 10328 ax-pre-mulgt0 10329 ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 387 df-or 881 df-3or 1114 df-3an 1115 df-tru 1662 df-fal 1672 df-ex 1881 df-nf 1885 df-sb 2070 df-mo 2605 df-eu 2640 df-clab 2812 df-cleq 2818 df-clel 2821 df-nfc 2958 df-ne 3000 df-nel 3103 df-ral 3122 df-rex 3123 df-reu 3124 df-rmo 3125 df-rab 3126 df-v 3416 df-sbc 3663 df-csb 3758 df-dif 3801 df-un 3803 df-in 3805 df-ss 3812 df-pss 3814 df-nul 4145 df-if 4307 df-pw 4380 df-sn 4398 df-pr 4400 df-tp 4402 df-op 4404 df-uni 4659 df-int 4698 df-iun 4742 df-br 4874 df-opab 4936 df-mpt 4953 df-tr 4976 df-id 5250 df-eprel 5255 df-po 5263 df-so 5264 df-fr 5301 df-se 5302 df-we 5303 df-xp 5348 df-rel 5349 df-cnv 5350 df-co 5351 df-dm 5352 df-rn 5353 df-res 5354 df-ima 5355 df-pred 5920 df-ord 5966 df-on 5967 df-lim 5968 df-suc 5969 df-iota 6086 df-fun 6125 df-fn 6126 df-f 6127 df-f1 6128 df-fo 6129 df-f1o 6130 df-fv 6131 df-isom 6132 df-riota 6866 df-ov 6908 df-oprab 6909 df-mpt2 6910 df-of 7157 df-om 7327 df-1st 7428 df-2nd 7429 df-wrecs 7672 df-recs 7734 df-rdg 7772 df-1o 7826 df-2o 7827 df-oadd 7830 df-er 8009 df-map 8124 df-pm 8125 df-en 8223 df-dom 8224 df-sdom 8225 df-fin 8226 df-fi 8586 df-sup 8617 df-inf 8618 df-oi 8684 df-card 9078 df-cda 9305 df-pnf 10393 df-mnf 10394 df-xr 10395 df-ltxr 10396 df-le 10397 df-sub 10587 df-neg 10588 df-div 11010 df-nn 11351 df-2 11414 df-3 11415 df-n0 11619 df-z 11705 df-uz 11969 df-q 12072 df-rp 12113 df-xneg 12232 df-xadd 12233 df-xmul 12234 df-ioo 12467 df-ico 12469 df-icc 12470 df-fz 12620 df-fzo 12761 df-fl 12888 df-seq 13096 df-exp 13155 df-hash 13411 df-cj 14216 df-re 14217 df-im 14218 df-sqrt 14352 df-abs 14353 df-clim 14596 df-rlim 14597 df-sum 14794 df-rest 16436 df-topgen 16457 df-psmet 20098 df-xmet 20099 df-met 20100 df-bl 20101 df-mopn 20102 df-top 21069 df-topon 21086 df-bases 21121 df-cmp 21561 df-cncf 23051 df-ovol 23630 df-vol 23631

This theorem is referenced by: volivth 23773

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