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Theorem volcn 25559

Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
volcn.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))

**Assertion**
Ref	Expression
volcn	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑥)

Proof of Theorem volcn Dummy variables 𝑢 𝑒 𝑣 𝑦 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2		iccmbl 25519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
3	2	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
4		inmbl 25495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
6		mblvol 25483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
8		inss2 4213	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥)
9		mblss 25484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
10	3, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
11		mblvol 25483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
12	3, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
13		iccvolcl 25520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
14	13	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
15	12, 14	eqeltrrd 2835	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
16		ovolsscl 25439	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥) ∧ (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ ∧ (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
17	8, 10, 15, 16	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
18	7, 17	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
19		volcn.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
20	18, 19	fmptd 7104	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
21		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
22		oveq12 7414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 = 𝑧 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (𝑣 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑦))
23	22	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → (𝑣 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑦))
24	23	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → (abs‘(𝑣 − 𝑢)) = (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
25	24	breq1d 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → ((abs‘(𝑣 − 𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒))
26		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑧))
27		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑦))
28	26, 27	oveqan12rd 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → ((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)))
29	28	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))))
30	29	breq1d 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → ((abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
31	25, 30	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) → (((abs‘(𝑣 − 𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒)))
32		oveq12 7414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 = 𝑦 ∧ 𝑢 = 𝑧) → (𝑣 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑧))
33	32	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → (𝑣 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑧))
34	33	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → (abs‘(𝑣 − 𝑢)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
35	34	breq1d 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → ((abs‘(𝑣 − 𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑒))
36		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑦))
37		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑧))
38	36, 37	oveqan12rd 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → ((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧)))
39	38	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) = (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))))
40	39	breq1d 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
41	35, 40	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) → (((abs‘(𝑣 − 𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑣) − (𝐹‘𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑒)))
42		ssidd 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ℝ ⊆ ℝ)
43		recn 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
44		recn 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
45		abssub 15345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
46	43, 44, 45	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
48	47	breq1d 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑒))
49	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
50		ffvelcdm 7071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
51		ffvelcdm 7071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
52	50, 51	anim12dan 619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ))
53	49, 52	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ))
54		recn 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
55		recn 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
56		abssub 15345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))))
57	54, 55, 56	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))))
58	53, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))))
59	58	breq1d 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
60	48, 59	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑧))) < 𝑒)))
61		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
62		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑧))
63	62	ineq2d 4195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
64	63	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
65		fvex 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ V
66	64, 19, 65	fvmpt 6986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
67	61, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
68		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐴 ∈ dom vol)
69		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
71		iccmbl 25519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
72	70, 61, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
73		inmbl 25495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
74	68, 72, 73	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
75		mblvol 25483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
77	67, 76	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑧) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
78		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ∈ ℝ)
79		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑦))
80	79	ineq2d 4195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))
81	80	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
82		fvex 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ V
83	81, 19, 82	fvmpt 6986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
84	78, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
85		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
86		iccmbl 25519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
87	69, 85, 86	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
88		inmbl 25495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
89	68, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
90		mblvol 25483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
92	84, 91	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑦) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
93	77, 92	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) = ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))))
94	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
95	94, 61	ffvelcdmd 7075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
96	77, 95	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ ℝ)
97	70	leidd 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ≤ 𝐵)
98		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ≤ 𝑧)
99		iccss 13431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≤ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
100	70, 61, 97, 98, 99	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
101		sslin 4218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
103		mblss 25484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
104	74, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
105	102, 104	sstrd 3969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ)
106		iccssre 13446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
107	78, 61, 106	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
108	105, 107	unssd 4167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
109	94, 78	ffvelcdmd 7075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
110	92, 109	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ)
111	61, 78	resubcld 11665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ)
112	110, 111	readdcld 11264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)) ∈ ℝ)
113		ovolicc 25476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
114	113	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
115	114, 111	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)
116		ovolun 25452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ ∧ (vol‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
117	105, 110, 107, 115, 116	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
118	114	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol‘(𝑦[,]𝑧))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)))
119	117, 118	breqtrd 5145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)))
120		ovollecl 25436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦))) → (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
121	108, 112, 119, 120	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
122	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
123	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ ℝ)
124	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
125		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝐵 ≤ 𝑦)
126	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ 𝑧)
127		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
128		elicc2 13428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)))
129	69, 127, 128	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)))
130	129	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)))
131	124, 125, 126, 130	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧))
132		iccsplit 13502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
133	122, 123, 131, 132	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
134		eqimss 4017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
136	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
137	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
138		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ≤ 𝐵)
139	137	leidd 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝑧)
140		iccss 13431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝑧 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
141	136, 137, 138, 139, 140	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
142		ssun4 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
143	141, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
144	70, 78, 135, 143	lecasei 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
145		sslin 4218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
147		indi 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) = ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)))
148		inss2 4213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
149		unss2 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
150	148, 149	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
151	147, 150	eqsstri 4005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
152	146, 151	sstrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
153		ovolss 25438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
154	152, 108, 153	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
155	96, 121, 112, 154, 119	letrd 11392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦)))
156	96, 110, 111	lesubadd2d 11836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧 − 𝑦) ↔ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧 − 𝑦))))
157	155, 156	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧 − 𝑦))
158	93, 157	eqbrtrd 5141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ≤ (𝑧 − 𝑦))
159	95, 109	resubcld 11665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ)
160		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
161	160	rpred 13051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ)
162		lelttr 11325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ≤ (𝑧 − 𝑦) ∧ (𝑧 − 𝑦) < 𝑒) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) < 𝑒))
163	159, 111, 161, 162	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) ≤ (𝑧 − 𝑦) ∧ (𝑧 − 𝑦) < 𝑒) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) < 𝑒))
164	158, 163	mpand 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝑧 − 𝑦) < 𝑒 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) < 𝑒))
165		abssubge0 15346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (𝑧 − 𝑦))
166	165	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (𝑧 − 𝑦))
167	166	breq1d 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑧 − 𝑦) < 𝑒))
168		ovolss 25438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∧ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
169	102, 104, 168	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
170	169, 92, 77	3brtr4d 5151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑧))
171	109, 95, 170	abssubge0d 15450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)))
172	171	breq1d 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦)) < 𝑒))
173	164, 167, 172	3imtr4d 294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
174	31, 41, 42, 60, 173	wlogle 11770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
175	174	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
176	175	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
177	176	anasss 466	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
178	177	ancom2s 650	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
179		breq2 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒))
180	179	rspceaimv 3607	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
181	21, 178, 180	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
182	181	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))
183		ax-resscn 11186	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
184		elcncf2 24834	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒))))
185	183, 183, 184	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑒)))
186	20, 182, 185	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ∀wral 3051 ∃wrex 3060 ∪ cun 3924 ∩ cin 3925 ⊆ wss 3926 class class class wbr 5119 ↦ cmpt 5201 dom cdm 5654 ⟶wf 6527 ‘cfv 6531 (class class class)co 7405 ℂcc 11127 ℝcr 11128 + caddc 11132 < clt 11269 ≤ cle 11270 − cmin 11466 ℝ⁺crp 13008 [,]cicc 13365 abscabs 15253 –cn→ccncf 24820 vol*covol 25415 volcvol 25416

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2707 ax-rep 5249 ax-sep 5266 ax-nul 5276 ax-pow 5335 ax-pr 5402 ax-un 7729 ax-inf2 9655 ax-cnex 11185 ax-resscn 11186 ax-1cn 11187 ax-icn 11188 ax-addcl 11189 ax-addrcl 11190 ax-mulcl 11191 ax-mulrcl 11192 ax-mulcom 11193 ax-addass 11194 ax-mulass 11195 ax-distr 11196 ax-i2m1 11197 ax-1ne0 11198 ax-1rid 11199 ax-rnegex 11200 ax-rrecex 11201 ax-cnre 11202 ax-pre-lttri 11203 ax-pre-lttrn 11204 ax-pre-ltadd 11205 ax-pre-mulgt0 11206 ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2727 df-clel 2809 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3359 df-reu 3360 df-rab 3416 df-v 3461 df-sbc 3766 df-csb 3875 df-dif 3929 df-un 3931 df-in 3933 df-ss 3943 df-pss 3946 df-nul 4309 df-if 4501 df-pw 4577 df-sn 4602 df-pr 4604 df-op 4608 df-uni 4884 df-int 4923 df-iun 4969 df-br 5120 df-opab 5182 df-mpt 5202 df-tr 5230 df-id 5548 df-eprel 5553 df-po 5561 df-so 5562 df-fr 5606 df-se 5607 df-we 5608 df-xp 5660 df-rel 5661 df-cnv 5662 df-co 5663 df-dm 5664 df-rn 5665 df-res 5666 df-ima 5667 df-pred 6290 df-ord 6355 df-on 6356 df-lim 6357 df-suc 6358 df-iota 6484 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-isom 6540 df-riota 7362 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7671 df-om 7862 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-er 8719 df-map 8842 df-pm 8843 df-en 8960 df-dom 8961 df-sdom 8962 df-fin 8963 df-fi 9423 df-sup 9454 df-inf 9455 df-oi 9524 df-dju 9915 df-card 9953 df-pnf 11271 df-mnf 11272 df-xr 11273 df-ltxr 11274 df-le 11275 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11895 df-nn 12241 df-2 12303 df-3 12304 df-n0 12502 df-z 12589 df-uz 12853 df-q 12965 df-rp 13009 df-xneg 13128 df-xadd 13129 df-xmul 13130 df-ioo 13366 df-ico 13368 df-icc 13369 df-fz 13525 df-fzo 13672 df-fl 13809 df-seq 14020 df-exp 14080 df-hash 14349 df-cj 15118 df-re 15119 df-im 15120 df-sqrt 15254 df-abs 15255 df-clim 15504 df-rlim 15505 df-sum 15703 df-rest 17436 df-topgen 17457 df-psmet 21307 df-xmet 21308 df-met 21309 df-bl 21310 df-mopn 21311 df-top 22832 df-topon 22849 df-bases 22884 df-cmp 23325 df-cncf 24822 df-ovol 25417 df-vol 25418

This theorem is referenced by: volivth 25560

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