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Theorem volcn 24206
Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
volcn.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
Assertion
Ref Expression
volcn ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem volcn
Dummy variables 𝑢 𝑒 𝑣 𝑦 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2 iccmbl 24166 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
32adantll 713 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
4 inmbl 24142 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
51, 3, 4syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
6 mblvol 24130 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
8 inss2 4190 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥)
9 mblss 24131 . . . . . 6 ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
103, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
11 mblvol 24130 . . . . . . 7 ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
123, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
13 iccvolcl 24167 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
1413adantll 713 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
1512, 14eqeltrrd 2917 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
16 ovolsscl 24086 . . . . 5 (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥) ∧ (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
178, 10, 15, 16mp3an2i 1463 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
187, 17eqeltrd 2916 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
19 volcn.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
2018, 19fmptd 6866 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
21 simprr 772 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
22 oveq12 7154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 = 𝑧𝑢 = 𝑦) → (𝑣𝑢) = (𝑧𝑦))
2322ancoms 462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (𝑣𝑢) = (𝑧𝑦))
2423fveq2d 6662 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (abs‘(𝑣𝑢)) = (abs‘(𝑧𝑦)))
2524breq1d 5062 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → ((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒))
26 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑧 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑧))
27 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑦 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑦))
2826, 27oveqan12rd 7165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → ((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)))
2928fveq2d 6662 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))))
3029breq1d 5062 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → ((abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
3125, 30imbi12d 348 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
32 oveq12 7154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 = 𝑦𝑢 = 𝑧) → (𝑣𝑢) = (𝑦𝑧))
3332ancoms 462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (𝑣𝑢) = (𝑦𝑧))
3433fveq2d 6662 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (abs‘(𝑣𝑢)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
3534breq1d 5062 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → ((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒))
36 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑦 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑦))
37 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑧 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑧))
3836, 37oveqan12rd 7165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → ((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)))
3938fveq2d 6662 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
4039breq1d 5062 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒))
4135, 40imbi12d 348 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒)))
42 ssidd 3975 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ℝ ⊆ ℝ)
43 recn 10619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
44 recn 10619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
45 abssub 14682 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
4643, 44, 45syl2anr 599 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
4746adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
4847breq1d 5062 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒))
4920adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
50 ffvelrn 6837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
51 ffvelrn 6837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
5250, 51anim12dan 621 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ))
5349, 52sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ))
54 recn 10619 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
55 recn 10619 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) ∈ ℝ → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
56 abssub 14682 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
5754, 55, 56syl2anr 599 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
5853, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
5958breq1d 5062 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒))
6048, 59imbi12d 348 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒)))
61 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
62 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑧))
6362ineq2d 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
6463fveq2d 6662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
65 fvex 6671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ V
6664, 19, 65fvmpt 6756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
6761, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
68 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐴 ∈ dom vol)
69 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7069adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
71 iccmbl 24166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
7270, 61, 71syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
73 inmbl 24142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
7468, 72, 73syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
75 mblvol 24130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
7767, 76eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
78 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦 ∈ ℝ)
79 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑦))
8079ineq2d 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))
8180fveq2d 6662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
82 fvex 6671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ V
8381, 19, 82fvmpt 6756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
8478, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
85 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
86 iccmbl 24166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
8769, 85, 86syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
88 inmbl 24142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
8968, 87, 88syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
90 mblvol 24130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
9284, 91eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
9377, 92oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) = ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))))
9449adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9594, 61ffvelrnd 6840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
9677, 95eqeltrrd 2917 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ ℝ)
9770leidd 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐵𝐵)
98 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦𝑧)
99 iccss 12798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐵𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
10070, 61, 97, 98, 99syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
101 sslin 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
103 mblss 24131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
10474, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
105102, 104sstrd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ)
106 iccssre 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
10778, 61, 106syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
108105, 107unssd 4147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
10994, 78ffvelrnd 6840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
11092, 109eqeltrrd 2917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ)
11161, 78resubcld 11060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑧𝑦) ∈ ℝ)
112110, 111readdcld 10662 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)) ∈ ℝ)
113 ovolicc 24123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
114113adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
115114, 111eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)
116 ovolun 24099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
117105, 110, 107, 115, 116syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
118114oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)))
119117, 118breqtrd 5078 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)))
120 ovollecl 24083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦))) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
121108, 112, 119, 120syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
12270adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
12361adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑧 ∈ ℝ)
12478adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
125 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝐵𝑦)
12698adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑦𝑧)
127 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
128 elicc2 12795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑦𝑦𝑧)))
12969, 127, 128syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑦𝑦𝑧)))
130129adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑦𝑦𝑧)))
131124, 125, 126, 130mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧))
132 iccsplit 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
133122, 123, 131, 132syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
134 eqimss 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
13678adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
13761adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
138 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
139137leidd 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝑧)
140 iccss 12798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
141136, 137, 138, 139, 140syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
142 ssun4 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
14470, 78, 135, 143lecasei 10738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
145 sslin 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
147 indi 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) = ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)))
148 inss2 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
149 unss2 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
151147, 150eqsstri 3986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
152146, 151sstrdi 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
153 ovolss 24085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
154152, 108, 153syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
15596, 121, 112, 154, 119letrd 10789 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)))
15696, 110, 111lesubadd2d 11231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧𝑦) ↔ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦))))
157155, 156mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧𝑦))
15893, 157eqbrtrd 5074 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ≤ (𝑧𝑦))
15995, 109resubcld 11060 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
160 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
161160rpred 12424 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ)
162 lelttr 10723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ≤ (𝑧𝑦) ∧ (𝑧𝑦) < 𝑒) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
163159, 111, 161, 162syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ≤ (𝑧𝑦) ∧ (𝑧𝑦) < 𝑒) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
164158, 163mpand 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝑧𝑦) < 𝑒 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
165 abssubge0 14683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (𝑧𝑦))
166165adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (𝑧𝑦))
167166breq1d 5062 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑧𝑦) < 𝑒))
168 ovolss 24085 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∧ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
169102, 104, 168syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
170169, 92, 773brtr4d 5084 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧))
171109, 95, 170abssubge0d 14787 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)))
172171breq1d 5062 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
173164, 167, 1723imtr4d 297 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
17431, 41, 42, 60, 173wlogle 11165 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
175174anassrs 471 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
176175ralrimiva 3177 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
177176anasss 470 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
178177ancom2s 649 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
179 breq2 5056 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒))
180179rspceaimv 3614 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
18121, 178, 180syl2anc 587 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
182181ralrimivva 3186 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
183 ax-resscn 10586 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
184 elcncf2 23491 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))))
185183, 183, 184mp2an 691 . 2 (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
18620, 182, 185sylanbrc 586 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  cun 3917  cin 3918  wss 3919   class class class wbr 5052  cmpt 5132  dom cdm 5542  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7145  cc 10527  cr 10528   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  +crp 12382  [,]cicc 12734  abscabs 14589  cnccncf 23477  vol*covol 24062  volcvol 24063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-dju 9321  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-fl 13162  df-seq 13370  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-rest 16692  df-topgen 16713  df-psmet 20530  df-xmet 20531  df-met 20532  df-bl 20533  df-mopn 20534  df-top 21495  df-topon 21512  df-bases 21547  df-cmp 21988  df-cncf 23479  df-ovol 24064  df-vol 24065
This theorem is referenced by:  volivth  24207
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