MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volcn 25122
Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
volcn.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
volcn ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem volcn
Dummy variables 𝑒 𝑒 𝑣 𝑦 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
2 iccmbl 25082 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐡[,]π‘₯) ∈ dom vol)
32adantll 712 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐡[,]π‘₯) ∈ dom vol)
4 inmbl 25058 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐡[,]π‘₯) ∈ dom vol) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯)) ∈ dom vol)
51, 3, 4syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯)) ∈ dom vol)
6 mblvol 25046 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯)) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯))) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯))))
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯))) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯))))
8 inss2 4229 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯)) βŠ† (𝐡[,]π‘₯)
9 mblss 25047 . . . . . 6 ((𝐡[,]π‘₯) ∈ dom vol β†’ (𝐡[,]π‘₯) βŠ† ℝ)
103, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐡[,]π‘₯) βŠ† ℝ)
11 mblvol 25046 . . . . . . 7 ((𝐡[,]π‘₯) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(𝐡[,]π‘₯)) = (vol*β€˜(𝐡[,]π‘₯)))
123, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(𝐡[,]π‘₯)) = (vol*β€˜(𝐡[,]π‘₯)))
13 iccvolcl 25083 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(𝐡[,]π‘₯)) ∈ ℝ)
1413adantll 712 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(𝐡[,]π‘₯)) ∈ ℝ)
1512, 14eqeltrrd 2834 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐡[,]π‘₯)) ∈ ℝ)
16 ovolsscl 25002 . . . . 5 (((𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯)) βŠ† (𝐡[,]π‘₯) ∧ (𝐡[,]π‘₯) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(𝐡[,]π‘₯)) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯))) ∈ ℝ)
178, 10, 15, 16mp3an2i 1466 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯))) ∈ ℝ)
187, 17eqeltrd 2833 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯))) ∈ ℝ)
19 volcn.1 . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯))))
2018, 19fmptd 7113 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21 simprr 771 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
22 oveq12 7417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 = 𝑧 ∧ 𝑒 = 𝑦) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑒) = (𝑧 βˆ’ 𝑦))
2322ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑒) = (𝑧 βˆ’ 𝑦))
2423fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑒)) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)))
2524breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) β†’ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑒)) < 𝑒 ↔ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑒))
26 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘§))
27 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘¦))
2826, 27oveqan12rd 7428 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ (πΉβ€˜π‘’)) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)))
2928fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ (πΉβ€˜π‘’))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))))
3029breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ (πΉβ€˜π‘’))) < 𝑒 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒))
3125, 30imbi12d 344 . . . . . . . . 9 ((𝑒 = 𝑦 ∧ 𝑣 = 𝑧) β†’ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑒)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ (πΉβ€˜π‘’))) < 𝑒) ↔ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒)))
32 oveq12 7417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 = 𝑦 ∧ 𝑒 = 𝑧) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑒) = (𝑦 βˆ’ 𝑧))
3332ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑒) = (𝑦 βˆ’ 𝑧))
3433fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑒)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
3534breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) β†’ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑒)) < 𝑒 ↔ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝑒))
36 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘¦))
37 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘§))
3836, 37oveqan12rd 7428 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) β†’ ((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ (πΉβ€˜π‘’)) = ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘§)))
3938fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ (πΉβ€˜π‘’))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))))
4039breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ (πΉβ€˜π‘’))) < 𝑒 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))) < 𝑒))
4135, 40imbi12d 344 . . . . . . . . 9 ((𝑒 = 𝑧 ∧ 𝑣 = 𝑦) β†’ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑒)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ (πΉβ€˜π‘’))) < 𝑒) ↔ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))) < 𝑒)))
42 ssidd 4005 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ ℝ βŠ† ℝ)
43 recn 11199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
44 recn 11199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
45 abssub 15272 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
4643, 44, 45syl2anr 597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
4847breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 ↔ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝑒))
4920adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
50 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
51 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
5250, 51anim12dan 619 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ))
5349, 52sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ))
54 recn 11199 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
55 recn 11199 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
56 abssub 15272 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))))
5754, 55, 56syl2anr 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))))
5853, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))))
5958breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))) < 𝑒))
6048, 59imbi12d 344 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒) ↔ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))) < 𝑒)))
61 simpr2 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
62 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐡[,]π‘₯) = (𝐡[,]𝑧))
6362ineq2d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯)) = (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)))
6463fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯))) = (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))))
65 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))) ∈ V
6664, 19, 65fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))))
6761, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))))
68 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
69 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
71 iccmbl 25082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝐡[,]𝑧) ∈ dom vol)
7270, 61, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝐡[,]𝑧) ∈ dom vol)
73 inmbl 25058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐡[,]𝑧) ∈ dom vol) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)) ∈ dom vol)
7468, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)) ∈ dom vol)
75 mblvol 25046 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))))
7767, 76eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))))
78 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
79 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐡[,]π‘₯) = (𝐡[,]𝑦))
8079ineq2d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯)) = (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)))
8180fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]π‘₯))) = (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))))
82 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) ∈ V
8381, 19, 82fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))))
8478, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))))
85 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
86 iccmbl 25082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐡[,]𝑦) ∈ dom vol)
8769, 85, 86syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝐡[,]𝑦) ∈ dom vol)
88 inmbl 25058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐡[,]𝑦) ∈ dom vol) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) ∈ dom vol)
8968, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) ∈ dom vol)
90 mblvol 25046 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (volβ€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))))
9284, 91eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))))
9377, 92oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) = ((vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))) βˆ’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)))))
9449adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
9594, 61ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
9677, 95eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))) ∈ ℝ)
9770leidd 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐡)
98 simpr3 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ 𝑦 ≀ 𝑧)
99 iccss 13391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝐡 ≀ 𝐡 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝐡[,]𝑦) βŠ† (𝐡[,]𝑧))
10070, 61, 97, 98, 99syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝐡[,]𝑦) βŠ† (𝐡[,]𝑧))
101 sslin 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐡[,]𝑦) βŠ† (𝐡[,]𝑧) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βŠ† (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)))
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βŠ† (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)))
103 mblss 25047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)) ∈ dom vol β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)) βŠ† ℝ)
10474, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)) βŠ† ℝ)
105102, 104sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βŠ† ℝ)
106 iccssre 13405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝑦[,]𝑧) βŠ† ℝ)
10778, 61, 106syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝑦[,]𝑧) βŠ† ℝ)
108105, 107unssd 4186 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ ((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)) βŠ† ℝ)
10994, 78ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
11092, 109eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) ∈ ℝ)
11161, 78resubcld 11641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ)
112110, 111readdcld 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ ((vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) + (𝑧 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
113 ovolicc 25039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ (vol*β€˜(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 βˆ’ 𝑦))
114113adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (vol*β€˜(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 βˆ’ 𝑦))
115114, 111eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (vol*β€˜(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)
116 ovolun 25015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦[,]𝑧) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))) ≀ ((vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) + (vol*β€˜(𝑦[,]𝑧))))
117105, 110, 107, 115, 116syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (vol*β€˜((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))) ≀ ((vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) + (vol*β€˜(𝑦[,]𝑧))))
118114oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ ((vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) + (vol*β€˜(𝑦[,]𝑧))) = ((vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) + (𝑧 βˆ’ 𝑦)))
119117, 118breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (vol*β€˜((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))) ≀ ((vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) + (𝑧 βˆ’ 𝑦)))
120 ovollecl 24999 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)) βŠ† ℝ ∧ ((vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) + (𝑧 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))) ≀ ((vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) + (𝑧 βˆ’ 𝑦))) β†’ (vol*β€˜((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
121108, 112, 119, 120syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (vol*β€˜((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
12270adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝐡 ≀ 𝑦) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
12361adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝐡 ≀ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
12478adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝐡 ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
125 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝐡 ≀ 𝑦) β†’ 𝐡 ≀ 𝑦)
12698adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝐡 ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ≀ 𝑧)
127 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
128 elicc2 13388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
12969, 127, 128syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
130129adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝐡 ≀ 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)))
131124, 125, 126, 130mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝐡 ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝑧))
132 iccsplit 13461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡[,]𝑧)) β†’ (𝐡[,]𝑧) = ((𝐡[,]𝑦) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)))
133122, 123, 131, 132syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝐡 ≀ 𝑦) β†’ (𝐡[,]𝑧) = ((𝐡[,]𝑦) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)))
134 eqimss 4040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐡[,]𝑧) = ((𝐡[,]𝑦) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)) β†’ (𝐡[,]𝑧) βŠ† ((𝐡[,]𝑦) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝐡 ≀ 𝑦) β†’ (𝐡[,]𝑧) βŠ† ((𝐡[,]𝑦) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)))
13678adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
13761adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
138 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
139137leidd 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) β†’ 𝑧 ≀ 𝑧)
140 iccss 13391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ≀ 𝐡 ∧ 𝑧 ≀ 𝑧)) β†’ (𝐡[,]𝑧) βŠ† (𝑦[,]𝑧))
141136, 137, 138, 139, 140syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) β†’ (𝐡[,]𝑧) βŠ† (𝑦[,]𝑧))
142 ssun4 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐡[,]𝑧) βŠ† (𝑦[,]𝑧) β†’ (𝐡[,]𝑧) βŠ† ((𝐡[,]𝑦) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)))
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≀ 𝐡) β†’ (𝐡[,]𝑧) βŠ† ((𝐡[,]𝑦) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)))
14470, 78, 135, 143lecasei 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝐡[,]𝑧) βŠ† ((𝐡[,]𝑦) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)))
145 sslin 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐡[,]𝑧) βŠ† ((𝐡[,]𝑦) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)) βŠ† (𝐴 ∩ ((𝐡[,]𝑦) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))))
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)) βŠ† (𝐴 ∩ ((𝐡[,]𝑦) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))))
147 indi 4273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∩ ((𝐡[,]𝑦) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))) = ((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)))
148 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) βŠ† (𝑦[,]𝑧)
149 unss2 4181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) βŠ† (𝑦[,]𝑧) β†’ ((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) βŠ† ((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)))
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) βŠ† ((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))
151147, 150eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∩ ((𝐡[,]𝑦) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))) βŠ† ((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))
152146, 151sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)) βŠ† ((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)))
153 ovolss 25001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)) βŠ† ((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧)) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))) ≀ (vol*β€˜((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))))
154152, 108, 153syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))) ≀ (vol*β€˜((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βˆͺ (𝑦[,]𝑧))))
15596, 121, 112, 154, 119letrd 11370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))) ≀ ((vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) + (𝑧 βˆ’ 𝑦)))
15696, 110, 111lesubadd2d 11812 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (((vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))) βˆ’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)))) ≀ (𝑧 βˆ’ 𝑦) ↔ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))) ≀ ((vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) + (𝑧 βˆ’ 𝑦))))
157155, 156mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ ((vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))) βˆ’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)))) ≀ (𝑧 βˆ’ 𝑦))
15893, 157eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝑧 βˆ’ 𝑦))
15995, 109resubcld 11641 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
160 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
161160rpred 13015 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
162 lelttr 11303 . . . . . . . . . . . 12 ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (𝑧 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝑧 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑧 βˆ’ 𝑦) < 𝑒) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑒))
163159, 111, 161, 162syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝑧 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑧 βˆ’ 𝑦) < 𝑒) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑒))
164158, 163mpand 693 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ ((𝑧 βˆ’ 𝑦) < 𝑒 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑒))
165 abssubge0 15273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) = (𝑧 βˆ’ 𝑦))
166165adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) = (𝑧 βˆ’ 𝑦))
167166breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑧 βˆ’ 𝑦) < 𝑒))
168 ovolss 25001 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦)) βŠ† (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)) ∧ (𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧)) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) ≀ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))))
169102, 104, 168syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑦))) ≀ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (𝐡[,]𝑧))))
170169, 92, 773brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘§))
171109, 95, 170abssubge0d 15377 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)))
172171breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒 ↔ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑒))
173164, 167, 1723imtr4d 293 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≀ 𝑧)) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒))
17431, 41, 42, 60, 173wlogle 11746 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒))
175174anassrs 468 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒))
176175ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒))
177176anasss 467 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒))
178177ancom2s 648 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒))
179 breq2 5152 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑑 ↔ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑒))
180179rspceaimv 3617 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒))
18121, 178, 180syl2anc 584 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒))
182181ralrimivva 3200 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒))
183 ax-resscn 11166 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
184 elcncf2 24405 . . 3 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒))))
185183, 183, 184mp2an 690 . 2 (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ ℝ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑒)))
18620, 182, 185sylanbrc 583 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108   + caddc 11112   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  β„+crp 12973  [,]cicc 13326  abscabs 15180  β€“cnβ†’ccncf 24391  vol*covol 24978  volcvol 24979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-cncf 24393  df-ovol 24980  df-vol 24981
This theorem is referenced by:  volivth  25123
  Copyright terms: Public domain W3C validator