Theorem addlidd 11339

Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addlidd	⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addlidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addlid 11321	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℂcc 11029  0cc0 11031   + caddc 11034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-ltxr 11176

This theorem is referenced by:  negeu  11375  subge0  11655  sublt0d  11768  un0addcl  12439  lincmb01cmp  13416  ico01fl0  13744  muladdmod  13840  discr  14168  ccatlid  14515  swrdfv0  14578  swrdpfx  14635  pfxpfx  14636  cats1un  14649  swrdccatin2  14657  cshwidx0mod  14733  cshw1  14750  relexpaddg  14981  rennim  15167  max0add  15238  fsumsplit  15669  sumsplit  15696  isumsplit  15768  arisum2  15789  binomfallfaclem2  15968  efaddlem  16021  eftlub  16039  ef4p  16043  rpnnen2lem11  16154  moddvds  16195  divalglem9  16333  sadadd2lem2  16382  sadcaddlem  16389  gcdmultipled  16466  pcmpt  16825  4sqlem11  16888  vdwlem6  16919  gsumsgrpccat  18770  mulgnn0dir  19039  sylow1lem1  19532  efgsval2  19667  efgsp1  19671  zaddablx  19806  pgpfaclem1  20017  regsumfsum  21395  regsumsupp  21582  mplcoe5  22000  nrmmetd  24523  blcvx  24747  xrsxmet  24759  reparphti  24957  reparphtiOLD  24958  nulmbl  25497  itg2splitlem  25710  itg2split  25711  itg2monolem1  25712  itgsplitioo  25800  ditgsplit  25823  dvcnp2  25882  dvcnp2OLD  25883  dvcmul  25908  dvcmulf  25909  dvmptcmul  25929  dveflem  25944  dvef  25945  dvlipcn  25960  dvlt0  25971  plymullem1  26180  coeeulem  26190  dgradd2  26235  dgrmulc  26238  plydivlem3  26264  aareccl  26295  taylthlem1  26342  sin2kpi  26453  cos2kpi  26454  coshalfpim  26465  sinkpi  26492  chordthmlem3  26805  chordthmlem5  26807  dcubic1lem  26814  dcubic  26817  atancj  26881  atanlogaddlem  26884  atanlogsublem  26886  scvxcvx  26957  zetacvg  26986  ftalem5  27048  ftalem7  27050  basellem3  27054  chtublem  27183  2sqn0  27406  2sqnn  27411  rplogsumlem2  27457  dchrisumlem1  27461  pntrlog2bndlem2  27550  brbtwn2  28983  axlowdimlem16  29035  axeuclidlem  29040  elntg2  29063  eucrct2eupth  30325  2clwwlk2clwwlk  30430  re0cj  32826  bcm1n  32878  wrdt2ind  33038  nn0constr  33931  constraddcl  33932  constrnegcl  33933  constrdircl  33935  constrremulcl  33937  constrrecl  33939  constrimcl  33940  constrmulcl  33941  constrreinvcl  33942  constrinvcl  33943  constrresqrtcl  33947  constrabscl  33948  2sqr3minply  33950  cos9thpiminplylem1  33952  cos9thpiminply  33958  cos9thpinconstrlem1  33959  esumpfinvallem  34244  signsplypnf  34720  fsum2dsub  34777  logdivsqrle  34820  revpfxsfxrev  35323  cvxpconn  35449  cvxsconn  35450  fwddifnp1  36372  tan2h  37826  poimirlem16  37850  mbfposadd  37881  itg2addnc  37888  ftc1anclem5  37911  bfplem2  38037  aks4d1p1p4  42404  aks4d1p7d1  42415  primrootspoweq0  42439  aks6d1c1  42449  aks6d1c5lem1  42469  sticksstones10  42488  sticksstones22  42501  bcle2d  42512  dffltz  42955  3cubeslem3r  43007  pellexlem6  43154  jm2.18  43308  sqrtcval  43960  relexpaddss  44037  int-add02d  44504  sub2times  45598  fzisoeu  45625  xralrple2  45676  cosknegpi  46190  dvsinax  46234  dvasinbx  46241  dvnxpaek  46263  dvnmul  46264  stoweidlem1  46322  stoweidlem13  46334  stoweidlem42  46363  stirlinglem5  46399  stirlinglem11  46405  fourierdlem42  46470  fourierdlem51  46478  fourierdlem88  46515  fourierdlem103  46530  fourierdlem104  46531  fourierdlem107  46534  sqwvfoura  46549  sqwvfourb  46550  fouriersw  46552  elaa2lem  46554  hspmbllem1  46947  cnambpcma  47617  readdcnnred  47626  gpg3kgrtriex  48412  nn0mnd  48502  altgsumbcALT  48676  nn0sumshdiglemA  48942  line2xlem  49076  line2x  49077  itschlc0yqe  49083  itsclc0yqsollem1  49085  itschlc0xyqsol1  49089  itschlc0xyqsol  49090  2itscp  49104