Theorem addlidd 11511

Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addlidd	⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addlidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addlid 11493	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   + caddc 11203

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348

This theorem is used by:  negeu  11547  subge0  11829  sublt0d  11942  un0addcl  12639  lincmb01cmp  13626  ico01fl0  13959  muladdmod  14055  discr  14384  ccatlid  14732  swrdfv0  14797  swrdpfx  14856  pfxpfx  14857  cats1un  14870  swrdccatin2  14878  revpfxsfxrev  14917  cshwidx0mod  14956  cshw1  14973  relexpaddg  15206  rennim  15406  max0add  15477  fsumsplit  15907  sumsplit  15934  isumsplit  16009  arisum2  16030  binomfallfaclem2  16206  efaddlem  16259  eftlub  16277  ef4p  16281  rpnnen2lem11  16392  moddvds  16433  divalglem9  16571  sadadd2lem2  16620  sadcaddlem  16627  gcdmultipled  16707  pcmpt  17070  4sqlem11  17133  vdwlem6  17164  gsumsgrpccat  19036  mulgnn0dir  19314  sylow1lem1  19812  efgsval2  19947  efgsp1  19951  zaddablx  20086  pgpfaclem1  20297  regsumfsum  21741  regsumsupp  21928  mplcoe5  22349  nrmmetd  24893  blcvx  25117  xrsxmet  25129  reparphti  25318  nulmbl  25856  itg2splitlem  26069  itg2split  26070  itg2monolem1  26071  itgsplitioo  26158  ditgsplit  26181  dvcnp2  26240  dvcmul  26264  dvcmulf  26265  dvmptcmul  26284  dveflem  26299  dvef  26300  dvlipcn  26314  dvlt0  26325  plymullem1  26533  coeeulem  26543  dgradd2  26587  dgrmulc  26590  plydivlem3  26616  aareccl  26653  taylthlem1  26700  sin2kpi  26812  cos2kpi  26813  coshalfpim  26824  sinkpi  26850  chordthmlem3  27162  chordthmlem5  27164  dcubic1lem  27171  dcubic  27174  atancj  27238  atanlogaddlem  27241  atanlogsublem  27243  scvxcvx  27313  zetacvg  27342  ftalem5  27404  ftalem7  27406  basellem3  27410  chtublem  27538  2sqn0  27761  2sqnn  27766  rplogsumlem2  27812  dchrisumlem1  27816  pntrlog2bndlem2  27905  brbtwn2  29483  axlowdimlem16  29535  axeuclidlem  29540  elntg2  29563  eucrct2eupth  30846  2clwwlk2clwwlk  30951  re0cj  33377  bcm1n  33429  wrdt2ind  33558  nn0constr  34435  constraddcl  34436  constrnegcl  34437  constrdircl  34439  constrremulcl  34441  constrrecl  34443  constrimcl  34444  constrmulcl  34445  constrreinvcl  34446  constrinvcl  34447  constrresqrtcl  34451  constrabscl  34452  2sqr3minply  34454  cos9thpiminplylem1  34456  cos9thpiminply  34462  cos9thpinconstrlem1  34463  esumpfinvallem  34748  signsplypnf  35221  fsum2dsub  35278  logdivsqrle  35321  cvxpconn  36049  cvxsconn  36050  fwddifnp1  36972  tan2h  38578  poimirlem16  38597  mbfposadd  38628  itg2addnc  38635  ftc1anclem5  38658  bfplem2  38800  aks4d1p1p4  43164  aks4d1p7d1  43175  primrootspoweq0  43199  aks6d1c1  43209  aks6d1c5lem1  43229  sticksstones10  43248  sticksstones22  43261  bcle2d  43272  dffltz  43713  3cubeslem3r  43740  pellexlem6  43884  jm2.18  44038  sqrtcval  44684  relexpaddss  44761  int-add02d  45228  sub2times  46332  fzisoeu  46359  xralrple2  46409  cosknegpi  46922  dvsinax  46966  dvasinbx  46973  dvnxpaek  46995  dvnmul  46996  stoweidlem1  47054  stoweidlem13  47066  stoweidlem42  47095  stirlinglem5  47131  stirlinglem11  47137  fourierdlem42  47202  fourierdlem51  47210  fourierdlem88  47247  fourierdlem103  47262  fourierdlem104  47263  fourierdlem107  47266  sqwvfoura  47281  sqwvfourb  47282  fouriersw  47284  elaa2lem  47286  hspmbllem1  47679  cnambpcma  48407  readdcnnred  48416  gpg3kgrtriex  49230  nn0mnd  49319  altgsumbcALT  49508  nn0sumshdiglemA  49774  line2xlem  49908  line2x  49909  itschlc0yqe  49915  itsclc0yqsollem1  49917  itschlc0xyqsol1  49921  itschlc0xyqsol  49922  2itscp  49936  veronesev2lem  51017  veronesev3lem  51018  veronesev4lem  51019  veronesev5lem  51020  veronesev6lem  51021