Theorem addlidd 11414

Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addlidd	⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addlidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addlid 11396	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  0cc0 11107   + caddc 11110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252

This theorem is referenced by:  negeu  11449  subge0  11726  sublt0d  11839  un0addcl  12504  lincmb01cmp  13473  ico01fl0  13785  discr  14204  ccatlid  14538  swrdfv0  14601  swrdpfx  14659  pfxpfx  14660  cats1un  14673  swrdccatin2  14681  cshwidx0mod  14757  cshw1  14774  relexpaddg  15002  rennim  15188  max0add  15259  fsumsplit  15689  sumsplit  15716  isumsplit  15788  arisum2  15809  binomfallfaclem2  15986  efaddlem  16039  eftlub  16055  ef4p  16059  rpnnen2lem11  16170  moddvds  16211  divalglem9  16347  sadadd2lem2  16394  sadcaddlem  16401  gcdmultipled  16479  pcmpt  16830  4sqlem11  16893  vdwlem6  16924  gsumsgrpccat  18761  mulgnn0dir  19027  sylow1lem1  19514  efgsval2  19649  efgsp1  19653  zaddablx  19788  pgpfaclem1  19999  regsumfsum  21318  regsumsupp  21504  mplcoe5  21926  nrmmetd  24427  blcvx  24658  xrsxmet  24669  reparphti  24867  reparphtiOLD  24868  nulmbl  25408  itg2splitlem  25622  itg2split  25623  itg2monolem1  25624  itgsplitioo  25711  ditgsplit  25734  dvcnp2  25793  dvcnp2OLD  25794  dvcmul  25819  dvcmulf  25820  dvmptcmul  25840  dveflem  25855  dvef  25856  dvlipcn  25871  dvlt0  25882  plymullem1  26091  coeeulem  26101  dgradd2  26146  dgrmulc  26149  plydivlem3  26172  aareccl  26203  taylthlem1  26249  sin2kpi  26358  cos2kpi  26359  coshalfpim  26370  sinkpi  26396  chordthmlem3  26706  chordthmlem5  26708  dcubic1lem  26715  dcubic  26718  atancj  26782  atanlogaddlem  26785  atanlogsublem  26787  scvxcvx  26858  zetacvg  26887  ftalem5  26949  ftalem7  26951  basellem3  26955  chtublem  27084  2sqn0  27307  2sqnn  27312  rplogsumlem2  27358  dchrisumlem1  27362  pntrlog2bndlem2  27451  brbtwn2  28656  axlowdimlem16  28708  axeuclidlem  28713  elntg2  28736  eucrct2eupth  29992  2clwwlk2clwwlk  30097  bcm1n  32500  wrdt2ind  32609  esumpfinvallem  33591  signsplypnf  34080  fsum2dsub  34137  logdivsqrle  34180  revpfxsfxrev  34623  cvxpconn  34750  cvxsconn  34751  fwddifnp1  35659  tan2h  36983  poimirlem16  37007  mbfposadd  37038  itg2addnc  37045  ftc1anclem5  37068  bfplem2  37194  aks4d1p1p4  41442  aks4d1p7d1  41453  aks6d1c1  41483  sticksstones10  41504  sticksstones22  41517  dffltz  41926  3cubeslem3r  41975  pellexlem6  42122  jm2.18  42277  sqrtcval  42941  relexpaddss  43018  int-add02d  43486  sub2times  44527  fzisoeu  44555  xralrple2  44609  cosknegpi  45130  dvsinax  45174  dvasinbx  45181  dvnxpaek  45203  dvnmul  45204  stoweidlem1  45262  stoweidlem13  45274  stoweidlem42  45303  stirlinglem5  45339  stirlinglem11  45345  fourierdlem42  45410  fourierdlem51  45418  fourierdlem88  45455  fourierdlem103  45470  fourierdlem104  45471  fourierdlem107  45474  sqwvfoura  45489  sqwvfourb  45490  fouriersw  45492  elaa2lem  45494  hspmbllem1  45887  cnambpcma  46547  readdcnnred  46556  nn0mnd  47102  altgsumbcALT  47278  nn0sumshdiglemA  47553  line2xlem  47687  line2x  47688  itschlc0yqe  47694  itsclc0yqsollem1  47696  itschlc0xyqsol1  47700  itschlc0xyqsol  47701  2itscp  47715