Theorem addlidd 11459

Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addlidd	⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addlidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addlid 11441	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   + caddc 11155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297

This theorem is referenced by:  negeu  11495  subge0  11773  sublt0d  11886  un0addcl  12556  lincmb01cmp  13531  ico01fl0  13855  muladdmod  13949  discr  14275  ccatlid  14620  swrdfv0  14683  swrdpfx  14741  pfxpfx  14742  cats1un  14755  swrdccatin2  14763  cshwidx0mod  14839  cshw1  14856  relexpaddg  15088  rennim  15274  max0add  15345  fsumsplit  15773  sumsplit  15800  isumsplit  15872  arisum2  15893  binomfallfaclem2  16072  efaddlem  16125  eftlub  16141  ef4p  16145  rpnnen2lem11  16256  moddvds  16297  divalglem9  16434  sadadd2lem2  16483  sadcaddlem  16490  gcdmultipled  16567  pcmpt  16925  4sqlem11  16988  vdwlem6  17019  gsumsgrpccat  18865  mulgnn0dir  19134  sylow1lem1  19630  efgsval2  19765  efgsp1  19769  zaddablx  19904  pgpfaclem1  20115  regsumfsum  21470  regsumsupp  21657  mplcoe5  22075  nrmmetd  24602  blcvx  24833  xrsxmet  24844  reparphti  25042  reparphtiOLD  25043  nulmbl  25583  itg2splitlem  25797  itg2split  25798  itg2monolem1  25799  itgsplitioo  25887  ditgsplit  25910  dvcnp2  25969  dvcnp2OLD  25970  dvcmul  25995  dvcmulf  25996  dvmptcmul  26016  dveflem  26031  dvef  26032  dvlipcn  26047  dvlt0  26058  plymullem1  26267  coeeulem  26277  dgradd2  26322  dgrmulc  26325  plydivlem3  26351  aareccl  26382  taylthlem1  26429  sin2kpi  26539  cos2kpi  26540  coshalfpim  26551  sinkpi  26578  chordthmlem3  26891  chordthmlem5  26893  dcubic1lem  26900  dcubic  26903  atancj  26967  atanlogaddlem  26970  atanlogsublem  26972  scvxcvx  27043  zetacvg  27072  ftalem5  27134  ftalem7  27136  basellem3  27140  chtublem  27269  2sqn0  27492  2sqnn  27497  rplogsumlem2  27543  dchrisumlem1  27547  pntrlog2bndlem2  27636  brbtwn2  28934  axlowdimlem16  28986  axeuclidlem  28991  elntg2  29014  eucrct2eupth  30273  2clwwlk2clwwlk  30378  re0cj  32759  bcm1n  32802  wrdt2ind  32922  2sqr3minply  33752  esumpfinvallem  34054  signsplypnf  34543  fsum2dsub  34600  logdivsqrle  34643  revpfxsfxrev  35099  cvxpconn  35226  cvxsconn  35227  fwddifnp1  36146  tan2h  37598  poimirlem16  37622  mbfposadd  37653  itg2addnc  37660  ftc1anclem5  37683  bfplem2  37809  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p7d1  42063  primrootspoweq0  42087  aks6d1c1  42097  aks6d1c5lem1  42117  sticksstones10  42136  sticksstones22  42149  bcle2d  42160  dffltz  42620  3cubeslem3r  42674  pellexlem6  42821  jm2.18  42976  sqrtcval  43630  relexpaddss  43707  int-add02d  44174  sub2times  45222  fzisoeu  45250  xralrple2  45303  cosknegpi  45824  dvsinax  45868  dvasinbx  45875  dvnxpaek  45897  dvnmul  45898  stoweidlem1  45956  stoweidlem13  45968  stoweidlem42  45997  stirlinglem5  46033  stirlinglem11  46039  fourierdlem42  46104  fourierdlem51  46112  fourierdlem88  46149  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  fourierdlem107  46168  sqwvfoura  46183  sqwvfourb  46184  fouriersw  46186  elaa2lem  46188  hspmbllem1  46581  cnambpcma  47243  readdcnnred  47252  nn0mnd  48022  altgsumbcALT  48197  nn0sumshdiglemA  48468  line2xlem  48602  line2x  48603  itschlc0yqe  48609  itsclc0yqsollem1  48611  itschlc0xyqsol1  48615  itschlc0xyqsol  48616  2itscp  48630