Theorem addlidd 11375

Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addlidd	⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addlidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addlid 11357	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   + caddc 11071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213

This theorem is referenced by:  negeu  11411  subge0  11691  sublt0d  11804  un0addcl  12475  lincmb01cmp  13456  ico01fl0  13781  muladdmod  13877  discr  14205  ccatlid  14551  swrdfv0  14614  swrdpfx  14672  pfxpfx  14673  cats1un  14686  swrdccatin2  14694  cshwidx0mod  14770  cshw1  14787  relexpaddg  15019  rennim  15205  max0add  15276  fsumsplit  15707  sumsplit  15734  isumsplit  15806  arisum2  15827  binomfallfaclem2  16006  efaddlem  16059  eftlub  16077  ef4p  16081  rpnnen2lem11  16192  moddvds  16233  divalglem9  16371  sadadd2lem2  16420  sadcaddlem  16427  gcdmultipled  16504  pcmpt  16863  4sqlem11  16926  vdwlem6  16957  gsumsgrpccat  18767  mulgnn0dir  19036  sylow1lem1  19528  efgsval2  19663  efgsp1  19667  zaddablx  19802  pgpfaclem1  20013  regsumfsum  21352  regsumsupp  21531  mplcoe5  21947  nrmmetd  24462  blcvx  24686  xrsxmet  24698  reparphti  24896  reparphtiOLD  24897  nulmbl  25436  itg2splitlem  25649  itg2split  25650  itg2monolem1  25651  itgsplitioo  25739  ditgsplit  25762  dvcnp2  25821  dvcnp2OLD  25822  dvcmul  25847  dvcmulf  25848  dvmptcmul  25868  dveflem  25883  dvef  25884  dvlipcn  25899  dvlt0  25910  plymullem1  26119  coeeulem  26129  dgradd2  26174  dgrmulc  26177  plydivlem3  26203  aareccl  26234  taylthlem1  26281  sin2kpi  26392  cos2kpi  26393  coshalfpim  26404  sinkpi  26431  chordthmlem3  26744  chordthmlem5  26746  dcubic1lem  26753  dcubic  26756  atancj  26820  atanlogaddlem  26823  atanlogsublem  26825  scvxcvx  26896  zetacvg  26925  ftalem5  26987  ftalem7  26989  basellem3  26993  chtublem  27122  2sqn0  27345  2sqnn  27350  rplogsumlem2  27396  dchrisumlem1  27400  pntrlog2bndlem2  27489  brbtwn2  28832  axlowdimlem16  28884  axeuclidlem  28889  elntg2  28912  eucrct2eupth  30174  2clwwlk2clwwlk  30279  re0cj  32667  bcm1n  32718  wrdt2ind  32875  nn0constr  33751  constraddcl  33752  constrnegcl  33753  constrdircl  33755  constrremulcl  33757  constrrecl  33759  constrimcl  33760  constrmulcl  33761  constrreinvcl  33762  constrinvcl  33763  constrresqrtcl  33767  constrabscl  33768  2sqr3minply  33770  cos9thpiminplylem1  33772  cos9thpiminply  33778  cos9thpinconstrlem1  33779  esumpfinvallem  34064  signsplypnf  34541  fsum2dsub  34598  logdivsqrle  34641  revpfxsfxrev  35103  cvxpconn  35229  cvxsconn  35230  fwddifnp1  36153  tan2h  37606  poimirlem16  37630  mbfposadd  37661  itg2addnc  37668  ftc1anclem5  37691  bfplem2  37817  aks4d1p1p4  42059  aks4d1p7d1  42070  primrootspoweq0  42094  aks6d1c1  42104  aks6d1c5lem1  42124  sticksstones10  42143  sticksstones22  42156  bcle2d  42167  dffltz  42622  3cubeslem3r  42675  pellexlem6  42822  jm2.18  42977  sqrtcval  43630  relexpaddss  43707  int-add02d  44174  sub2times  45271  fzisoeu  45298  xralrple2  45350  cosknegpi  45867  dvsinax  45911  dvasinbx  45918  dvnxpaek  45940  dvnmul  45941  stoweidlem1  45999  stoweidlem13  46011  stoweidlem42  46040  stirlinglem5  46076  stirlinglem11  46082  fourierdlem42  46147  fourierdlem51  46155  fourierdlem88  46192  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem107  46211  sqwvfoura  46226  sqwvfourb  46227  fouriersw  46229  elaa2lem  46231  hspmbllem1  46624  cnambpcma  47295  readdcnnred  47304  gpg3kgrtriex  48080  nn0mnd  48167  altgsumbcALT  48341  nn0sumshdiglemA  48608  line2xlem  48742  line2x  48743  itschlc0yqe  48749  itsclc0yqsollem1  48751  itschlc0xyqsol1  48755  itschlc0xyqsol  48756  2itscp  48770