Theorem addlidd 11420

Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addlidd	⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addlidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addlid 11402	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  0cc0 11114   + caddc 11117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258

This theorem is referenced by:  negeu  11455  subge0  11732  sublt0d  11845  un0addcl  12510  lincmb01cmp  13477  ico01fl0  13789  discr  14208  ccatlid  14541  swrdfv0  14604  swrdpfx  14662  pfxpfx  14663  cats1un  14676  swrdccatin2  14684  cshwidx0mod  14760  cshw1  14777  relexpaddg  15005  rennim  15191  max0add  15262  fsumsplit  15692  sumsplit  15719  isumsplit  15791  arisum2  15812  binomfallfaclem2  15989  efaddlem  16041  eftlub  16057  ef4p  16061  rpnnen2lem11  16172  moddvds  16213  divalglem9  16349  sadadd2lem2  16396  sadcaddlem  16403  gcdmultipled  16481  pcmpt  16830  4sqlem11  16893  vdwlem6  16924  gsumsgrpccat  18758  mulgnn0dir  19021  sylow1lem1  19508  efgsval2  19643  efgsp1  19647  zaddablx  19782  pgpfaclem1  19993  regsumfsum  21214  regsumsupp  21395  mplcoe5  21815  nrmmetd  24304  blcvx  24535  xrsxmet  24546  reparphti  24744  reparphtiOLD  24745  nulmbl  25285  itg2splitlem  25499  itg2split  25500  itg2monolem1  25501  itgsplitioo  25588  ditgsplit  25611  dvcnp2  25670  dvcnp2OLD  25671  dvcmul  25696  dvcmulf  25697  dvmptcmul  25717  dveflem  25732  dvef  25733  dvlipcn  25747  dvlt0  25758  plymullem1  25964  coeeulem  25974  dgradd2  26019  dgrmulc  26022  plydivlem3  26045  aareccl  26076  taylthlem1  26122  sin2kpi  26230  cos2kpi  26231  coshalfpim  26242  sinkpi  26268  chordthmlem3  26576  chordthmlem5  26578  dcubic1lem  26585  dcubic  26588  atancj  26652  atanlogaddlem  26655  atanlogsublem  26657  scvxcvx  26727  zetacvg  26756  ftalem5  26818  ftalem7  26820  basellem3  26824  chtublem  26951  2sqn0  27174  2sqnn  27179  rplogsumlem2  27225  dchrisumlem1  27229  pntrlog2bndlem2  27318  brbtwn2  28431  axlowdimlem16  28483  axeuclidlem  28488  elntg2  28511  eucrct2eupth  29766  2clwwlk2clwwlk  29871  bcm1n  32274  wrdt2ind  32385  esumpfinvallem  33371  signsplypnf  33860  fsum2dsub  33918  logdivsqrle  33961  revpfxsfxrev  34405  cvxpconn  34532  cvxsconn  34533  fwddifnp1  35442  tan2h  36784  poimirlem16  36808  mbfposadd  36839  itg2addnc  36846  ftc1anclem5  36869  bfplem2  36995  aks4d1p1p4  41243  aks4d1p7d1  41254  sticksstones10  41278  sticksstones22  41291  dffltz  41679  3cubeslem3r  41728  pellexlem6  41875  jm2.18  42030  sqrtcval  42695  relexpaddss  42772  int-add02d  43240  sub2times  44281  fzisoeu  44309  xralrple2  44363  cosknegpi  44884  dvsinax  44928  dvasinbx  44935  dvnxpaek  44957  dvnmul  44958  stoweidlem1  45016  stoweidlem13  45028  stoweidlem42  45057  stirlinglem5  45093  stirlinglem11  45099  fourierdlem42  45164  fourierdlem51  45172  fourierdlem88  45209  fourierdlem103  45224  fourierdlem104  45225  fourierdlem107  45228  sqwvfoura  45243  sqwvfourb  45244  fouriersw  45246  elaa2lem  45248  hspmbllem1  45641  cnambpcma  46301  readdcnnred  46310  nn0mnd  46856  altgsumbcALT  47118  nn0sumshdiglemA  47393  line2xlem  47527  line2x  47528  itschlc0yqe  47534  itsclc0yqsollem1  47536  itschlc0xyqsol1  47540  itschlc0xyqsol  47541  2itscp  47555