Theorem addlidd 11417

Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addlidd	⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addlidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addlid 11399	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254

This theorem is used by:  negeu  11453  subge0  11733  sublt0d  11846  un0addcl  12543  lincmb01cmp  13528  ico01fl0  13859  muladdmod  13955  discr  14283  ccatlid  14631  swrdfv0  14694  swrdpfx  14751  pfxpfx  14752  cats1un  14765  swrdccatin2  14773  cshwidx0mod  14849  cshw1  14866  relexpaddg  15097  rennim  15297  max0add  15368  fsumsplit  15799  sumsplit  15826  isumsplit  15901  arisum2  15922  binomfallfaclem2  16100  efaddlem  16153  eftlub  16171  ef4p  16175  rpnnen2lem11  16286  moddvds  16327  divalglem9  16465  sadadd2lem2  16514  sadcaddlem  16521  gcdmultipled  16598  pcmpt  16958  4sqlem11  17021  vdwlem6  17052  gsumsgrpccat  18905  mulgnn0dir  19176  sylow1lem1  19674  efgsval2  19809  efgsp1  19813  zaddablx  19948  pgpfaclem1  20159  regsumfsum  21596  regsumsupp  21783  mplcoe5  22202  nrmmetd  24742  blcvx  24966  xrsxmet  24978  reparphti  25167  nulmbl  25705  itg2splitlem  25918  itg2split  25919  itg2monolem1  25920  itgsplitioo  26008  ditgsplit  26031  dvcnp2  26090  dvcmul  26114  dvcmulf  26115  dvmptcmul  26134  dveflem  26149  dvef  26150  dvlipcn  26164  dvlt0  26175  plymullem1  26382  coeeulem  26392  dgradd2  26436  dgrmulc  26439  plydivlem3  26467  aareccl  26500  taylthlem1  26547  sin2kpi  26659  cos2kpi  26660  coshalfpim  26671  sinkpi  26698  chordthmlem3  27010  chordthmlem5  27012  dcubic1lem  27019  dcubic  27022  atancj  27086  atanlogaddlem  27089  atanlogsublem  27091  scvxcvx  27161  zetacvg  27190  ftalem5  27252  ftalem7  27254  basellem3  27258  chtublem  27386  2sqn0  27609  2sqnn  27614  rplogsumlem2  27660  dchrisumlem1  27664  pntrlog2bndlem2  27753  brbtwn2  29266  axlowdimlem16  29318  axeuclidlem  29323  elntg2  29346  eucrct2eupth  30607  2clwwlk2clwwlk  30712  re0cj  33099  bcm1n  33151  wrdt2ind  33282  nn0constr  34160  constraddcl  34161  constrnegcl  34162  constrdircl  34164  constrremulcl  34166  constrrecl  34168  constrimcl  34169  constrmulcl  34170  constrreinvcl  34171  constrinvcl  34172  constrresqrtcl  34176  constrabscl  34177  2sqr3minply  34179  cos9thpiminplylem1  34181  cos9thpiminply  34187  cos9thpinconstrlem1  34188  esumpfinvallem  34473  signsplypnf  34946  fsum2dsub  35003  logdivsqrle  35046  revpfxsfxrev  35615  cvxpconn  35742  cvxsconn  35743  fwddifnp1  36665  tan2h  38291  poimirlem16  38315  mbfposadd  38346  itg2addnc  38353  ftc1anclem5  38376  bfplem2  38502  aks4d1p1p4  42866  aks4d1p7d1  42877  primrootspoweq0  42901  aks6d1c1  42911  aks6d1c5lem1  42931  sticksstones10  42950  sticksstones22  42963  bcle2d  42974  dffltz  43394  3cubeslem3r  43446  pellexlem6  43589  jm2.18  43743  sqrtcval  44395  relexpaddss  44472  int-add02d  44939  sub2times  46020  fzisoeu  46047  xralrple2  46098  cosknegpi  46611  dvsinax  46655  dvasinbx  46662  dvnxpaek  46684  dvnmul  46685  stoweidlem1  46743  stoweidlem13  46755  stoweidlem42  46784  stirlinglem5  46820  stirlinglem11  46826  fourierdlem42  46891  fourierdlem51  46899  fourierdlem88  46936  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fourierdlem107  46955  sqwvfoura  46970  sqwvfourb  46971  fouriersw  46973  elaa2lem  46975  hspmbllem1  47368  cnambpcma  48059  readdcnnred  48068  gpg3kgrtriex  48882  nn0mnd  48972  altgsumbcALT  49161  nn0sumshdiglemA  49427  line2xlem  49561  line2x  49562  itschlc0yqe  49568  itsclc0yqsollem1  49570  itschlc0xyqsol1  49574  itschlc0xyqsol  49575  2itscp  49589