Theorem addlidd 11414

Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addlidd	⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addlidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addlid 11396	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252

This theorem is referenced by:  negeu  11449  subge0  11726  sublt0d  11839  un0addcl  12504  lincmb01cmp  13471  ico01fl0  13783  discr  14202  ccatlid  14535  swrdfv0  14598  swrdpfx  14656  pfxpfx  14657  cats1un  14670  swrdccatin2  14678  cshwidx0mod  14754  cshw1  14771  relexpaddg  14999  rennim  15185  max0add  15256  fsumsplit  15686  sumsplit  15713  isumsplit  15785  arisum2  15806  binomfallfaclem2  15983  efaddlem  16035  eftlub  16051  ef4p  16055  rpnnen2lem11  16166  moddvds  16207  divalglem9  16343  sadadd2lem2  16390  sadcaddlem  16397  gcdmultipled  16475  pcmpt  16824  4sqlem11  16887  vdwlem6  16918  gsumsgrpccat  18720  mulgnn0dir  18983  sylow1lem1  19465  efgsval2  19600  efgsp1  19604  zaddablx  19739  pgpfaclem1  19950  regsumfsum  21012  regsumsupp  21174  mplcoe5  21594  nrmmetd  24082  blcvx  24313  xrsxmet  24324  reparphti  24512  nulmbl  25051  itg2splitlem  25265  itg2split  25266  itg2monolem1  25267  itgsplitioo  25354  ditgsplit  25377  dvcnp2  25436  dvcmul  25460  dvcmulf  25461  dvmptcmul  25480  dveflem  25495  dvef  25496  dvlipcn  25510  dvlt0  25521  plymullem1  25727  coeeulem  25737  dgradd2  25781  dgrmulc  25784  plydivlem3  25807  aareccl  25838  taylthlem1  25884  sin2kpi  25992  cos2kpi  25993  coshalfpim  26004  sinkpi  26030  chordthmlem3  26336  chordthmlem5  26338  dcubic1lem  26345  dcubic  26348  atancj  26412  atanlogaddlem  26415  atanlogsublem  26417  scvxcvx  26487  zetacvg  26516  ftalem5  26578  ftalem7  26580  basellem3  26584  chtublem  26711  2sqn0  26934  2sqnn  26939  rplogsumlem2  26985  dchrisumlem1  26989  pntrlog2bndlem2  27078  brbtwn2  28160  axlowdimlem16  28212  axeuclidlem  28217  elntg2  28240  eucrct2eupth  29495  2clwwlk2clwwlk  29600  bcm1n  32001  wrdt2ind  32112  esumpfinvallem  33067  signsplypnf  33556  fsum2dsub  33614  logdivsqrle  33657  revpfxsfxrev  34101  cvxpconn  34228  cvxsconn  34229  fwddifnp1  35132  gg-reparphti  35167  gg-dvcnp2  35169  tan2h  36475  poimirlem16  36499  mbfposadd  36530  itg2addnc  36537  ftc1anclem5  36560  bfplem2  36686  aks4d1p1p4  40931  aks4d1p7d1  40942  sticksstones10  40966  sticksstones22  40979  dffltz  41377  3cubeslem3r  41415  pellexlem6  41562  jm2.18  41717  sqrtcval  42382  relexpaddss  42459  int-add02d  42927  sub2times  43972  fzisoeu  44000  xralrple2  44054  cosknegpi  44575  dvsinax  44619  dvasinbx  44626  dvnxpaek  44648  dvnmul  44649  stoweidlem1  44707  stoweidlem13  44719  stoweidlem42  44748  stirlinglem5  44784  stirlinglem11  44790  fourierdlem42  44855  fourierdlem51  44863  fourierdlem88  44900  fourierdlem103  44915  fourierdlem104  44916  fourierdlem107  44919  sqwvfoura  44934  sqwvfourb  44935  fouriersw  44937  elaa2lem  44939  hspmbllem1  45332  cnambpcma  45992  readdcnnred  46001  nn0mnd  46579  altgsumbcALT  47019  nn0sumshdiglemA  47295  line2xlem  47429  line2x  47430  itschlc0yqe  47436  itsclc0yqsollem1  47438  itschlc0xyqsol1  47442  itschlc0xyqsol  47443  2itscp  47457