Theorem addlidd 11434

Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addlidd	⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addlidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addlid 11416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  0cc0 11127   + caddc 11130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272

This theorem is referenced by:  negeu  11470  subge0  11748  sublt0d  11861  un0addcl  12532  lincmb01cmp  13510  ico01fl0  13834  muladdmod  13928  discr  14256  ccatlid  14602  swrdfv0  14665  swrdpfx  14723  pfxpfx  14724  cats1un  14737  swrdccatin2  14745  cshwidx0mod  14821  cshw1  14838  relexpaddg  15070  rennim  15256  max0add  15327  fsumsplit  15755  sumsplit  15782  isumsplit  15854  arisum2  15875  binomfallfaclem2  16054  efaddlem  16107  eftlub  16125  ef4p  16129  rpnnen2lem11  16240  moddvds  16281  divalglem9  16418  sadadd2lem2  16467  sadcaddlem  16474  gcdmultipled  16551  pcmpt  16910  4sqlem11  16973  vdwlem6  17004  gsumsgrpccat  18816  mulgnn0dir  19085  sylow1lem1  19577  efgsval2  19712  efgsp1  19716  zaddablx  19851  pgpfaclem1  20062  regsumfsum  21401  regsumsupp  21580  mplcoe5  21996  nrmmetd  24511  blcvx  24735  xrsxmet  24747  reparphti  24945  reparphtiOLD  24946  nulmbl  25486  itg2splitlem  25699  itg2split  25700  itg2monolem1  25701  itgsplitioo  25789  ditgsplit  25812  dvcnp2  25871  dvcnp2OLD  25872  dvcmul  25897  dvcmulf  25898  dvmptcmul  25918  dveflem  25933  dvef  25934  dvlipcn  25949  dvlt0  25960  plymullem1  26169  coeeulem  26179  dgradd2  26224  dgrmulc  26227  plydivlem3  26253  aareccl  26284  taylthlem1  26331  sin2kpi  26442  cos2kpi  26443  coshalfpim  26454  sinkpi  26481  chordthmlem3  26794  chordthmlem5  26796  dcubic1lem  26803  dcubic  26806  atancj  26870  atanlogaddlem  26873  atanlogsublem  26875  scvxcvx  26946  zetacvg  26975  ftalem5  27037  ftalem7  27039  basellem3  27043  chtublem  27172  2sqn0  27395  2sqnn  27400  rplogsumlem2  27446  dchrisumlem1  27450  pntrlog2bndlem2  27539  brbtwn2  28830  axlowdimlem16  28882  axeuclidlem  28887  elntg2  28910  eucrct2eupth  30172  2clwwlk2clwwlk  30277  re0cj  32667  bcm1n  32718  wrdt2ind  32875  nn0constr  33741  constraddcl  33742  constrnegcl  33743  constrdircl  33745  constrremulcl  33747  constrrecl  33749  constrimcl  33750  constrmulcl  33751  constrreinvcl  33752  constrinvcl  33753  constrresqrtcl  33757  constrabscl  33758  2sqr3minply  33760  cos9thpiminplylem1  33762  cos9thpiminply  33768  cos9thpinconstrlem1  33769  esumpfinvallem  34051  signsplypnf  34528  fsum2dsub  34585  logdivsqrle  34628  revpfxsfxrev  35084  cvxpconn  35210  cvxsconn  35211  fwddifnp1  36129  tan2h  37582  poimirlem16  37606  mbfposadd  37637  itg2addnc  37644  ftc1anclem5  37667  bfplem2  37793  aks4d1p1p4  42030  aks4d1p7d1  42041  primrootspoweq0  42065  aks6d1c1  42075  aks6d1c5lem1  42095  sticksstones10  42114  sticksstones22  42127  bcle2d  42138  dffltz  42604  3cubeslem3r  42657  pellexlem6  42804  jm2.18  42959  sqrtcval  43612  relexpaddss  43689  int-add02d  44156  sub2times  45249  fzisoeu  45277  xralrple2  45329  cosknegpi  45846  dvsinax  45890  dvasinbx  45897  dvnxpaek  45919  dvnmul  45920  stoweidlem1  45978  stoweidlem13  45990  stoweidlem42  46019  stirlinglem5  46055  stirlinglem11  46061  fourierdlem42  46126  fourierdlem51  46134  fourierdlem88  46171  fourierdlem103  46186  fourierdlem104  46187  fourierdlem107  46190  sqwvfoura  46205  sqwvfourb  46206  fouriersw  46208  elaa2lem  46210  hspmbllem1  46603  cnambpcma  47271  readdcnnred  47280  gpg3kgrtriex  48039  nn0mnd  48102  altgsumbcALT  48276  nn0sumshdiglemA  48547  line2xlem  48681  line2x  48682  itschlc0yqe  48688  itsclc0yqsollem1  48690  itschlc0xyqsol1  48694  itschlc0xyqsol  48695  2itscp  48709