Theorem negsubd 11502

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11433	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  mulsub  11584  mulsubaddmulsub  11605  divsubdir  11839  divsubdiv  11862  ofnegsub  12148  icoshftf1o  13418  fzosubel  13670  modaddb  13859  modsub12d  13881  expaddzlem  14058  binom2sub  14173  discr  14193  cjreb  15076  recj  15077  remullem  15081  imcj  15085  sqreulem  15313  subcn2  15548  lo1sub  15584  iseraltlem2  15636  iseraltlem3  15637  fsumshftm  15734  fsumsub  15741  incexclem  15792  incexc  15793  bpoly3  16014  efmival  16111  cosadd  16123  sinsub  16126  sincossq  16134  moddvds  16223  dvdsadd2b  16266  bitsres  16433  pythagtriplem4  16781  mulgdirlem  19072  mulgmodid  19080  mulgsubdir  19081  cnsubrg  21417  zringlpirlem3  21454  cphipval  25220  pjthlem1  25414  mbfsub  25639  mbfmulc2  25640  itg2monolem1  25727  itgcnlem  25767  iblsub  25799  itgsub  25803  itgmulc2  25811  dvmptsub  25944  dvmptdiv  25951  dvexp3  25955  dvsincos  25958  dvlipcn  25971  ftc2  26021  aaliou3lem6  26325  logdiv2  26594  tanarg  26596  advlogexp  26632  cxpsub  26659  abscxpbnd  26730  relogbdiv  26756  isosctrlem2  26796  angpieqvdlem  26805  quad2  26816  dcubic1lem  26820  dcubic2  26821  dcubic  26823  mcubic  26824  dquartlem2  26829  dquart  26830  quart1lem  26832  quartlem1  26834  quart  26838  asinlem2  26846  cosasin  26881  atanlogsublem  26892  atantan  26900  atantayl2  26915  ftalem5  27054  basellem9  27066  lgseisenlem1  27352  2sqlem4  27398  rpvmasum2  27489  log2sumbnd  27521  chpdifbndlem1  27530  pntpbnd1  27563  axsegconlem9  29008  axeuclidlem  29045  smcnlem  30783  ipval2  30793  ipasslem2  30918  dipsubdir  30934  his2sub  31178  pjhthlem1  31477  quad3d  32837  constrrtlc1  33892  constrrtcc  33895  constrremulcl  33927  constrimcl  33930  constrreinvcl  33932  constrresqrtcl  33937  2sqr3minply  33940  cos9thpiminplylem1  33942  cos9thpiminplylem2  33943  circlemeth  34800  logdivsqrle  34810  fwddifnp1  36363  knoppndvlem2  36789  irrdiff  37656  itg2gt0cn  38010  iblsubnc  38016  itgsubnc  38017  itgmulc2nc  38023  ftc1anclem8  38035  ftc2nc  38037  areacirclem1  38043  primrootscoprbij  42555  bcle2d  42632  aks6d1c7lem1  42633  dffltz  43081  3cubeslem3r  43133  mzpsubmpt  43189  pellexlem6  43280  pell1234qrreccl  43300  pellfund14  43344  rmxyneg  43366  rmxm1  43380  rmym1  43381  congsub  43416  jm2.19lem1  43435  jm2.19lem4  43438  jm2.19  43439  jm2.26lem3  43447  sqrtcval  44086  sineq0ALT  45381  sub2times  45724  fzisoeu  45751  supsubc  45801  sublimc  46098  reclimc  46099  itgsincmulx  46420  itgsbtaddcnst  46428  stoweidlem10  46456  stoweidlem13  46459  stoweidlem22  46468  stoweidlem23  46469  stoweidlem26  46472  stoweidlem42  46488  stoweidlem47  46493  stirlinglem5  46524  dirkertrigeqlem2  46545  fourierdlem26  46579  fourierdlem36  46589  fourierdlem40  46593  fourierdlem41  46594  fourierdlem48  46600  fourierdlem49  46601  fourierdlem64  46616  fourierdlem78  46630  fourierdlem92  46644  fourierdlem97  46649  fourierdlem101  46653  fourierdlem107  46659  etransclem17  46697  etransclem46  46726  sigarperm  47306  modm2nep1  47832  modm1nep2  47834  modm1nem2  47835  quad1  48108  requad1  48110  requad2  48111  dignn0flhalflem1  49103  1subrec1sub  49193  eenglngeehlnmlem1  49225  eenglngeehlnmlem2  49226  rrx2linest2  49232  itscnhlc0yqe  49247  itschlc0yqe  49248  itsclc0yqsol  49252  itsclinecirc0b  49262  itsclquadb  49264