Theorem negsubd 11668

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   + caddc 11196   − cmin 11534  -cneg 11535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536  df-neg 11537

This theorem is used by:  mulsub  11752  mulsubaddmulsub  11773  divsubdir  12003  divsubdiv  12026  ofnegsub  12311  icoshftf1o  13598  fzosubel  13852  modaddb  14042  modsub12d  14064  expaddzlem  14241  binom2sub  14357  discr  14377  cjreb  15283  recj  15284  remullem  15288  imcj  15292  sqreulem  15520  subcn2  15755  lo1sub  15791  iseraltlem2  15843  iseraltlem3  15844  fsumshftm  15940  fsumsub  15947  incexclem  15998  incexc  15999  bpoly3  16217  efmival  16314  cosadd  16326  sinsub  16329  sincossq  16337  moddvds  16426  dvdsadd2b  16469  bitsres  16636  pythagtriplem4  16990  mulgdirlem  19308  mulgmodid  19316  mulgsubdir  19317  cnsubrg  21726  zringlpirlem3  21763  cphipval  25557  pjthlem1  25751  mbfsub  25976  mbfmulc2  25977  itg2monolem1  26064  itgcnlem  26103  iblsub  26135  itgsub  26139  itgmulc2  26147  dvmptsub  26280  dvmptdiv  26287  dvexp3  26291  dvsincos  26294  dvlipcn  26307  ftc2  26357  aaliou3lem6  26668  logdiv2  26938  tanarg  26940  advlogexp  26976  cxpsub  27003  abscxpbnd  27074  relogbdiv  27100  isosctrlem2  27140  angpieqvdlem  27149  quad2  27160  dcubic1lem  27164  dcubic2  27165  dcubic  27167  mcubic  27168  dquartlem2  27173  dquart  27174  quart1lem  27176  quartlem1  27178  quart  27182  asinlem2  27190  cosasin  27225  atanlogsublem  27236  atantan  27244  atantayl2  27259  ftalem5  27397  basellem9  27409  lgseisenlem1  27695  2sqlem4  27741  rpvmasum2  27832  log2sumbnd  27864  chpdifbndlem1  27873  pntpbnd1  27906  axsegconlem9  29496  axeuclidlem  29533  smcnlem  31292  ipval2  31302  ipasslem2  31427  dipsubdir  31443  his2sub  31687  pjhthlem1  31986  quad3d  33334  constrrtlc1  34357  constrrtcc  34360  constrremulcl  34392  constrimcl  34395  constrreinvcl  34397  constrresqrtcl  34402  2sqr3minply  34405  cos9thpiminplylem1  34407  cos9thpiminplylem2  34408  circlemeth  35262  logdivsqrle  35272  fwddifnp1  36910  knoppndvlem2  37359  irrdiff  38227  itg2gt0cn  38573  iblsubnc  38579  itgsubnc  38580  itgmulc2nc  38586  ftc1anclem8  38598  ftc2nc  38600  areacirclem1  38606  primrootscoprbij  43132  bcle2d  43209  aks6d1c7lem1  43210  dffltz  43650  3cubeslem3r  43677  mzpsubmpt  43733  pellexlem6  43820  pell1234qrreccl  43840  pellfund14  43884  rmxyneg  43906  rmxm1  43920  rmym1  43921  congsub  43956  jm2.19lem1  43975  jm2.19lem4  43978  jm2.19  43979  jm2.26lem3  43987  sqrtcval  44626  sineq0ALT  45904  sub2times  46258  fzisoeu  46285  supsubc  46334  sublimc  46631  reclimc  46632  itgsincmulx  46953  itgsbtaddcnst  46961  stoweidlem10  46989  stoweidlem13  46992  stoweidlem22  47001  stoweidlem23  47002  stoweidlem26  47005  stoweidlem42  47021  stoweidlem47  47026  stirlinglem5  47057  dirkertrigeqlem2  47078  fourierdlem26  47112  fourierdlem36  47122  fourierdlem40  47126  fourierdlem41  47127  fourierdlem48  47133  fourierdlem49  47134  fourierdlem64  47149  fourierdlem78  47163  fourierdlem92  47177  fourierdlem97  47182  fourierdlem101  47186  fourierdlem107  47192  etransclem17  47230  etransclem46  47259  sigarperm  47839  modm2nep1  48411  modm1nep2  48413  modm1nem2  48414  quad1  48687  requad1  48689  requad2  48690  dignn0flhalflem1  49696  1subrec1sub  49786  eenglngeehlnmlem1  49818  eenglngeehlnmlem2  49819  rrx2linest2  49825  itscnhlc0yqe  49840  itschlc0yqe  49841  itsclc0yqsol  49845  itsclinecirc0b  49855  itsclquadb  49857