Theorem negsubd 11542

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11473	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℂcc 11065   + caddc 11070   − cmin 11408  -cneg 11409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-sub 11410  df-neg 11411

This theorem is referenced by:  mulsub  11624  mulsubaddmulsub  11645  divsubdir  11878  divsubdiv  11901  ofnegsub  12187  icoshftf1o  13472  fzosubel  13724  modaddb  13913  modsub12d  13935  expaddzlem  14112  binom2sub  14227  discr  14247  cjreb  15141  recj  15142  remullem  15146  imcj  15150  sqreulem  15378  subcn2  15613  lo1sub  15649  iseraltlem2  15701  iseraltlem3  15702  fsumshftm  15799  fsumsub  15806  incexclem  15857  incexc  15858  bpoly3  16079  efmival  16176  cosadd  16188  sinsub  16191  sincossq  16199  moddvds  16288  dvdsadd2b  16331  bitsres  16498  pythagtriplem4  16846  mulgdirlem  19138  mulgmodid  19146  mulgsubdir  19147  cnsubrg  21467  zringlpirlem3  21504  cphipval  25293  pjthlem1  25487  mbfsub  25712  mbfmulc2  25713  itg2monolem1  25800  itgcnlem  25840  iblsub  25872  itgsub  25876  itgmulc2  25884  dvmptsub  26017  dvmptdiv  26024  dvexp3  26028  dvsincos  26031  dvlipcn  26044  ftc2  26094  aaliou3lem6  26400  logdiv2  26670  tanarg  26672  advlogexp  26708  cxpsub  26735  abscxpbnd  26806  relogbdiv  26832  isosctrlem2  26872  angpieqvdlem  26881  quad2  26892  dcubic1lem  26896  dcubic2  26897  dcubic  26899  mcubic  26900  dquartlem2  26905  dquart  26906  quart1lem  26908  quartlem1  26910  quart  26914  asinlem2  26922  cosasin  26957  atanlogsublem  26968  atantan  26976  atantayl2  26991  ftalem5  27129  basellem9  27141  lgseisenlem1  27427  2sqlem4  27473  rpvmasum2  27564  log2sumbnd  27596  chpdifbndlem1  27605  pntpbnd1  27638  axsegconlem9  29083  axeuclidlem  29120  smcnlem  30857  ipval2  30867  ipasslem2  30992  dipsubdir  31008  his2sub  31252  pjhthlem1  31551  quad3d  32912  constrrtlc1  33990  constrrtcc  33993  constrremulcl  34025  constrimcl  34028  constrreinvcl  34030  constrresqrtcl  34035  2sqr3minply  34038  cos9thpiminplylem1  34040  cos9thpiminplylem2  34041  circlemeth  34895  logdivsqrle  34905  fwddifnp1  36476  knoppndvlem2  36912  irrdiff  37779  itg2gt0cn  38135  iblsubnc  38141  itgsubnc  38142  itgmulc2nc  38148  ftc1anclem8  38160  ftc2nc  38162  areacirclem1  38168  primrootscoprbij  42680  bcle2d  42757  aks6d1c7lem1  42758  dffltz  43177  3cubeslem3r  43229  mzpsubmpt  43285  pellexlem6  43372  pell1234qrreccl  43392  pellfund14  43436  rmxyneg  43458  rmxm1  43472  rmym1  43473  congsub  43508  jm2.19lem1  43527  jm2.19lem4  43530  jm2.19  43531  jm2.26lem3  43539  sqrtcval  44178  sineq0ALT  45473  sub2times  45813  fzisoeu  45840  supsubc  45890  sublimc  46187  reclimc  46188  itgsincmulx  46509  itgsbtaddcnst  46517  stoweidlem10  46545  stoweidlem13  46548  stoweidlem22  46557  stoweidlem23  46558  stoweidlem26  46561  stoweidlem42  46577  stoweidlem47  46582  stirlinglem5  46613  dirkertrigeqlem2  46634  fourierdlem26  46668  fourierdlem36  46678  fourierdlem40  46682  fourierdlem41  46683  fourierdlem48  46689  fourierdlem49  46690  fourierdlem64  46705  fourierdlem78  46719  fourierdlem92  46733  fourierdlem97  46738  fourierdlem101  46742  fourierdlem107  46748  etransclem17  46786  etransclem46  46815  sigarperm  47395  modm2nep1  47927  modm1nep2  47929  modm1nem2  47930  quad1  48203  requad1  48205  requad2  48206  dignn0flhalflem1  49198  1subrec1sub  49288  eenglngeehlnmlem1  49320  eenglngeehlnmlem2  49321  rrx2linest2  49327  itscnhlc0yqe  49342  itschlc0yqe  49343  itsclc0yqsol  49347  itsclinecirc0b  49357  itsclquadb  49359