Theorem negsubd 11577

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11508	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113   − cmin 11444  -cneg 11445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  mulsub  11657  mulsubaddmulsub  11678  divsubdir  11908  divsubdiv  11930  ofnegsub  12210  icoshftf1o  13451  fzosubel  13691  modsub12d  13893  expaddzlem  14071  binom2sub  14183  discr  14203  cjreb  15070  recj  15071  remullem  15075  imcj  15079  sqreulem  15306  subcn2  15539  lo1sub  15575  iseraltlem2  15629  iseraltlem3  15630  fsumshftm  15727  fsumsub  15734  incexclem  15782  incexc  15783  bpoly3  16002  efmival  16096  cosadd  16108  sinsub  16111  sincossq  16119  moddvds  16208  dvdsadd2b  16249  bitsres  16414  pythagtriplem4  16752  mulgdirlem  18985  mulgmodid  18993  mulgsubdir  18994  cnsubrg  21005  zringlpirlem3  21034  cphipval  24760  pjthlem1  24954  mbfsub  25179  mbfmulc2  25180  itg2monolem1  25268  itgcnlem  25307  iblsub  25339  itgsub  25343  itgmulc2  25351  dvmptsub  25484  dvmptdiv  25491  dvexp3  25495  dvsincos  25498  dvlipcn  25511  ftc2  25561  aaliou3lem6  25861  logdiv2  26125  tanarg  26127  advlogexp  26163  cxpsub  26190  abscxpbnd  26261  relogbdiv  26284  isosctrlem2  26324  angpieqvdlem  26333  quad2  26344  dcubic1lem  26348  dcubic2  26349  dcubic  26351  mcubic  26352  dquartlem2  26357  dquart  26358  quart1lem  26360  quartlem1  26362  quart  26366  asinlem2  26374  cosasin  26409  atanlogsublem  26420  atantan  26428  atantayl2  26443  ftalem5  26581  basellem9  26593  lgseisenlem1  26878  2sqlem4  26924  rpvmasum2  27015  log2sumbnd  27047  chpdifbndlem1  27056  pntpbnd1  27089  axsegconlem9  28183  axeuclidlem  28220  smcnlem  29950  ipval2  29960  ipasslem2  30085  dipsubdir  30101  his2sub  30345  pjhthlem1  30644  circlemeth  33652  logdivsqrle  33662  fwddifnp1  35137  knoppndvlem2  35389  irrdiff  36207  itg2gt0cn  36543  iblsubnc  36549  itgsubnc  36550  itgmulc2nc  36556  ftc1anclem8  36568  ftc2nc  36570  areacirclem1  36576  dffltz  41376  3cubeslem3r  41425  mzpsubmpt  41481  pellexlem6  41572  pell1234qrreccl  41592  pellfund14  41636  rmxyneg  41659  rmxm1  41673  rmym1  41674  congsub  41709  jm2.19lem1  41728  jm2.19lem4  41731  jm2.19  41732  jm2.26lem3  41740  sqrtcval  42392  sineq0ALT  43698  sub2times  43982  fzisoeu  44010  supsubc  44063  sublimc  44368  reclimc  44369  itgsincmulx  44690  itgsbtaddcnst  44698  stoweidlem10  44726  stoweidlem13  44729  stoweidlem22  44738  stoweidlem23  44739  stoweidlem26  44742  stoweidlem42  44758  stoweidlem47  44763  stirlinglem5  44794  dirkertrigeqlem2  44815  fourierdlem26  44849  fourierdlem36  44859  fourierdlem40  44863  fourierdlem41  44864  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem64  44886  fourierdlem78  44900  fourierdlem92  44914  fourierdlem97  44919  fourierdlem101  44923  fourierdlem107  44929  etransclem17  44967  etransclem46  44996  sigarperm  45576  quad1  46288  requad1  46290  requad2  46291  dignn0flhalflem1  47301  1subrec1sub  47391  eenglngeehlnmlem1  47423  eenglngeehlnmlem2  47424  rrx2linest2  47430  itscnhlc0yqe  47445  itschlc0yqe  47446  itsclc0yqsol  47450  itsclinecirc0b  47460  itsclquadb  47462