Theorem negsubd 11682

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11613	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℂcc 11205   + caddc 11210   − cmin 11548   -cneg 11549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-sub 11550  df-neg 11551

This theorem is used by:  mulsub  11766  mulsubaddmulsub  11787  divsubdir  12017  divsubdiv  12040  ofnegsub  12325  icoshftf1o  13612  fzosubel  13866  modaddb  14056  modsub12d  14078  expaddzlem  14255  binom2sub  14371  discr  14391  cjreb  15299  recj  15300  remullem  15304  imcj  15308  sqreulem  15536  subcn2  15771  lo1sub  15807  iseraltlem2  15859  iseraltlem3  15860  fsumshftm  15956  fsumsub  15963  incexclem  16014  incexc  16015  bpoly3  16233  efmival  16330  cosadd  16342  sinsub  16345  sincossq  16353  moddvds  16442  dvdsadd2b  16485  bitsres  16652  pythagtriplem4  17006  mulgdirlem  19324  mulgmodid  19332  mulgsubdir  19333  cnsubrg  21742  zringlpirlem3  21779  cphipval  25573  pjthlem1  25767  mbfsub  25992  mbfmulc2  25993  itg2monolem1  26080  itgcnlem  26119  iblsub  26151  itgsub  26155  itgmulc2  26163  dvmptsub  26296  dvmptdiv  26303  dvexp3  26307  dvsincos  26310  dvlipcn  26323  ftc2  26373  aaliou3lem6  26684  logdiv2  26954  tanarg  26956  advlogexp  26992  cxpsub  27019  abscxpbnd  27090  relogbdiv  27116  isosctrlem2  27156  angpieqvdlem  27165  quad2  27176  dcubic1lem  27180  dcubic2  27181  dcubic  27183  mcubic  27184  dquartlem2  27189  dquart  27190  quart1lem  27192  quartlem1  27194  quart  27198  asinlem2  27206  cosasin  27241  atanlogsublem  27252  atantan  27260  atantayl2  27275  ftalem5  27413  basellem9  27425  lgseisenlem1  27711  2sqlem4  27757  rpvmasum2  27848  log2sumbnd  27880  chpdifbndlem1  27889  pntpbnd1  27922  axsegconlem9  29512  axeuclidlem  29549  smcnlem  31308  ipval2  31318  ipasslem2  31443  dipsubdir  31459  his2sub  31703  pjhthlem1  32002  quad3d  33391  constrrtlc1  34414  constrrtcc  34417  constrremulcl  34449  constrimcl  34452  constrreinvcl  34454  constrresqrtcl  34459  2sqr3minply  34462  cos9thpiminplylem1  34464  cos9thpiminplylem2  34465  circlemeth  35319  logdivsqrle  35329  fwddifnp1  37026  knoppndvlem2  37475  irrdiff  38356  itg2gt0cn  38702  iblsubnc  38708  itgsubnc  38709  itgmulc2nc  38715  ftc1anclem8  38727  ftc2nc  38729  areacirclem1  38735  primrootscoprbij  43261  bcle2d  43338  aks6d1c7lem1  43339  dffltz  43779  3cubeslem3r  43806  mzpsubmpt  43863  pellexlem6  43950  pell1234qrreccl  43970  pellfund14  44014  rmxyneg  44036  rmxm1  44050  rmym1  44051  congsub  44086  jm2.19lem1  44105  jm2.19lem4  44108  jm2.19  44109  jm2.26lem3  44117  sqrtcval  44750  sineq0ALT  46027  sub2times  46397  fzisoeu  46424  supsubc  46473  sublimc  46770  reclimc  46771  itgsincmulx  47092  itgsbtaddcnst  47100  stoweidlem10  47128  stoweidlem13  47131  stoweidlem22  47140  stoweidlem23  47141  stoweidlem26  47144  stoweidlem42  47160  stoweidlem47  47165  stirlinglem5  47196  dirkertrigeqlem2  47217  fourierdlem26  47251  fourierdlem36  47261  fourierdlem40  47265  fourierdlem41  47266  fourierdlem48  47272  fourierdlem49  47273  fourierdlem64  47288  fourierdlem78  47302  fourierdlem92  47316  fourierdlem97  47321  fourierdlem101  47325  fourierdlem107  47331  etransclem17  47369  etransclem46  47398  sigarperm  47978  modm2nep1  48550  modm1nep2  48552  modm1nem2  48553  quad1  48826  requad1  48828  requad2  48829  dignn0flhalflem1  49835  1subrec1sub  49925  eenglngeehlnmlem1  49958  eenglngeehlnmlem2  49959  rrx2linest2  49964  itscnhlc0yqe  49979  itschlc0yqe  49980  itsclc0yqsol  49984  itsclinecirc0b  49994  itsclquadb  49996