MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsubd 11517
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negsubd (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 negsub 11448 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7356  cc 11048   + caddc 11053  cmin 11384  -cneg 11385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-ltxr 11193  df-sub 11386  df-neg 11387
This theorem is referenced by:  mulsub  11597  mulsubaddmulsub  11618  divsubdir  11848  divsubdiv  11870  ofnegsub  12150  icoshftf1o  13390  fzosubel  13630  modsub12d  13832  expaddzlem  14010  binom2sub  14122  discr  14142  cjreb  15007  recj  15008  remullem  15012  imcj  15016  sqreulem  15243  subcn2  15476  lo1sub  15512  iseraltlem2  15566  iseraltlem3  15567  fsumshftm  15665  fsumsub  15672  incexclem  15720  incexc  15721  bpoly3  15940  efmival  16034  cosadd  16046  sinsub  16049  sincossq  16057  moddvds  16146  dvdsadd2b  16187  bitsres  16352  pythagtriplem4  16690  mulgdirlem  18905  mulgmodid  18913  mulgsubdir  18914  cnsubrg  20855  zringlpirlem3  20883  cphipval  24605  pjthlem1  24799  mbfsub  25024  mbfmulc2  25025  itg2monolem1  25113  itgcnlem  25152  iblsub  25184  itgsub  25188  itgmulc2  25196  dvmptsub  25329  dvmptdiv  25336  dvexp3  25340  dvsincos  25343  dvlipcn  25356  ftc2  25406  aaliou3lem6  25706  logdiv2  25970  tanarg  25972  advlogexp  26008  cxpsub  26035  abscxpbnd  26104  relogbdiv  26127  isosctrlem2  26167  angpieqvdlem  26176  quad2  26187  dcubic1lem  26191  dcubic2  26192  dcubic  26194  mcubic  26195  dquartlem2  26200  dquart  26201  quart1lem  26203  quartlem1  26205  quart  26209  asinlem2  26217  cosasin  26252  atanlogsublem  26263  atantan  26271  atantayl2  26286  ftalem5  26424  basellem9  26436  lgseisenlem1  26721  2sqlem4  26767  rpvmasum2  26858  log2sumbnd  26890  chpdifbndlem1  26899  pntpbnd1  26932  axsegconlem9  27821  axeuclidlem  27858  smcnlem  29586  ipval2  29596  ipasslem2  29721  dipsubdir  29737  his2sub  29981  pjhthlem1  30280  circlemeth  33193  logdivsqrle  33203  fwddifnp1  34740  knoppndvlem2  34966  irrdiff  35787  itg2gt0cn  36123  iblsubnc  36129  itgsubnc  36130  itgmulc2nc  36136  ftc1anclem8  36148  ftc2nc  36150  areacirclem1  36156  dffltz  40949  3cubeslem3r  40987  mzpsubmpt  41043  pellexlem6  41134  pell1234qrreccl  41154  pellfund14  41198  rmxyneg  41221  rmxm1  41235  rmym1  41236  congsub  41271  jm2.19lem1  41290  jm2.19lem4  41293  jm2.19  41294  jm2.26lem3  41302  sqrtcval  41894  sineq0ALT  43200  sub2times  43481  fzisoeu  43509  supsubc  43562  sublimc  43864  reclimc  43865  itgsincmulx  44186  itgsbtaddcnst  44194  stoweidlem10  44222  stoweidlem13  44225  stoweidlem22  44234  stoweidlem23  44235  stoweidlem26  44238  stoweidlem42  44254  stoweidlem47  44259  stirlinglem5  44290  dirkertrigeqlem2  44311  fourierdlem26  44345  fourierdlem36  44355  fourierdlem40  44359  fourierdlem41  44360  fourierdlem48  44366  fourierdlem49  44367  fourierdlem64  44382  fourierdlem78  44396  fourierdlem92  44410  fourierdlem97  44415  fourierdlem101  44419  fourierdlem107  44425  etransclem17  44463  etransclem46  44492  sigarperm  45072  quad1  45783  requad1  45785  requad2  45786  dignn0flhalflem1  46672  1subrec1sub  46762  eenglngeehlnmlem1  46794  eenglngeehlnmlem2  46795  rrx2linest2  46801  itscnhlc0yqe  46816  itschlc0yqe  46817  itsclc0yqsol  46821  itsclinecirc0b  46831  itsclquadb  46833
  Copyright terms: Public domain W3C validator