Theorem negsubd 11515

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042   + caddc 11047   − cmin 11381  -cneg 11382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  mulsub  11597  mulsubaddmulsub  11618  divsubdir  11852  divsubdiv  11874  ofnegsub  12160  icoshftf1o  13411  fzosubel  13661  modaddb  13847  modsub12d  13869  expaddzlem  14046  binom2sub  14161  discr  14181  cjreb  15065  recj  15066  remullem  15070  imcj  15074  sqreulem  15302  subcn2  15537  lo1sub  15573  iseraltlem2  15625  iseraltlem3  15626  fsumshftm  15723  fsumsub  15730  incexclem  15778  incexc  15779  bpoly3  16000  efmival  16097  cosadd  16109  sinsub  16112  sincossq  16120  moddvds  16209  dvdsadd2b  16252  bitsres  16419  pythagtriplem4  16766  mulgdirlem  19013  mulgmodid  19021  mulgsubdir  19022  cnsubrg  21320  zringlpirlem3  21350  cphipval  25119  pjthlem1  25313  mbfsub  25539  mbfmulc2  25540  itg2monolem1  25627  itgcnlem  25667  iblsub  25699  itgsub  25703  itgmulc2  25711  dvmptsub  25847  dvmptdiv  25854  dvexp3  25858  dvsincos  25861  dvlipcn  25875  ftc2  25927  aaliou3lem6  26232  logdiv2  26502  tanarg  26504  advlogexp  26540  cxpsub  26567  abscxpbnd  26639  relogbdiv  26665  isosctrlem2  26705  angpieqvdlem  26714  quad2  26725  dcubic1lem  26729  dcubic2  26730  dcubic  26732  mcubic  26733  dquartlem2  26738  dquart  26739  quart1lem  26741  quartlem1  26743  quart  26747  asinlem2  26755  cosasin  26790  atanlogsublem  26801  atantan  26809  atantayl2  26824  ftalem5  26963  basellem9  26975  lgseisenlem1  27262  2sqlem4  27308  rpvmasum2  27399  log2sumbnd  27431  chpdifbndlem1  27440  pntpbnd1  27473  axsegconlem9  28828  axeuclidlem  28865  smcnlem  30599  ipval2  30609  ipasslem2  30734  dipsubdir  30750  his2sub  30994  pjhthlem1  31293  quad3d  32646  constrrtlc1  33695  constrrtcc  33698  constrremulcl  33730  constrimcl  33733  constrreinvcl  33735  constrresqrtcl  33740  2sqr3minply  33743  cos9thpiminplylem1  33745  cos9thpiminplylem2  33746  circlemeth  34604  logdivsqrle  34614  fwddifnp1  36126  knoppndvlem2  36474  irrdiff  37287  itg2gt0cn  37642  iblsubnc  37648  itgsubnc  37649  itgmulc2nc  37655  ftc1anclem8  37667  ftc2nc  37669  areacirclem1  37675  primrootscoprbij  42063  bcle2d  42140  aks6d1c7lem1  42141  dffltz  42595  3cubeslem3r  42648  mzpsubmpt  42704  pellexlem6  42795  pell1234qrreccl  42815  pellfund14  42859  rmxyneg  42882  rmxm1  42896  rmym1  42897  congsub  42932  jm2.19lem1  42951  jm2.19lem4  42954  jm2.19  42955  jm2.26lem3  42963  sqrtcval  43603  sineq0ALT  44899  sub2times  45244  fzisoeu  45271  supsubc  45322  sublimc  45623  reclimc  45624  itgsincmulx  45945  itgsbtaddcnst  45953  stoweidlem10  45981  stoweidlem13  45984  stoweidlem22  45993  stoweidlem23  45994  stoweidlem26  45997  stoweidlem42  46013  stoweidlem47  46018  stirlinglem5  46049  dirkertrigeqlem2  46070  fourierdlem26  46104  fourierdlem36  46114  fourierdlem40  46118  fourierdlem41  46119  fourierdlem48  46125  fourierdlem49  46126  fourierdlem64  46141  fourierdlem78  46155  fourierdlem92  46169  fourierdlem97  46174  fourierdlem101  46178  fourierdlem107  46184  etransclem17  46222  etransclem46  46251  sigarperm  46831  modm2nep1  47340  modm1nep2  47342  modm1nem2  47343  quad1  47594  requad1  47596  requad2  47597  dignn0flhalflem1  48577  1subrec1sub  48667  eenglngeehlnmlem1  48699  eenglngeehlnmlem2  48700  rrx2linest2  48706  itscnhlc0yqe  48721  itschlc0yqe  48722  itsclc0yqsol  48726  itsclinecirc0b  48736  itsclquadb  48738