Theorem negsubd 11581

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  ℂcc 11110   + caddc 11115   − cmin 11448  -cneg 11449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  mulsub  11661  mulsubaddmulsub  11682  divsubdir  11912  divsubdiv  11934  ofnegsub  12214  icoshftf1o  13455  fzosubel  13695  modsub12d  13897  expaddzlem  14075  binom2sub  14187  discr  14207  cjreb  15074  recj  15075  remullem  15079  imcj  15083  sqreulem  15310  subcn2  15543  lo1sub  15579  iseraltlem2  15633  iseraltlem3  15634  fsumshftm  15731  fsumsub  15738  incexclem  15786  incexc  15787  bpoly3  16006  efmival  16100  cosadd  16112  sinsub  16115  sincossq  16123  moddvds  16212  dvdsadd2b  16253  bitsres  16418  pythagtriplem4  16756  mulgdirlem  19021  mulgmodid  19029  mulgsubdir  19030  cnsubrg  21205  zringlpirlem3  21235  cphipval  24984  pjthlem1  25178  mbfsub  25403  mbfmulc2  25404  itg2monolem1  25492  itgcnlem  25531  iblsub  25563  itgsub  25567  itgmulc2  25575  dvmptsub  25708  dvmptdiv  25715  dvexp3  25719  dvsincos  25722  dvlipcn  25735  ftc2  25785  aaliou3lem6  26085  logdiv2  26349  tanarg  26351  advlogexp  26387  cxpsub  26414  abscxpbnd  26485  relogbdiv  26508  isosctrlem2  26548  angpieqvdlem  26557  quad2  26568  dcubic1lem  26572  dcubic2  26573  dcubic  26575  mcubic  26576  dquartlem2  26581  dquart  26582  quart1lem  26584  quartlem1  26586  quart  26590  asinlem2  26598  cosasin  26633  atanlogsublem  26644  atantan  26652  atantayl2  26667  ftalem5  26805  basellem9  26817  lgseisenlem1  27102  2sqlem4  27148  rpvmasum2  27239  log2sumbnd  27271  chpdifbndlem1  27280  pntpbnd1  27313  axsegconlem9  28438  axeuclidlem  28475  smcnlem  30205  ipval2  30215  ipasslem2  30340  dipsubdir  30356  his2sub  30600  pjhthlem1  30899  circlemeth  33938  logdivsqrle  33948  fwddifnp1  35429  knoppndvlem2  35692  irrdiff  36510  itg2gt0cn  36846  iblsubnc  36852  itgsubnc  36853  itgmulc2nc  36859  ftc1anclem8  36871  ftc2nc  36873  areacirclem1  36879  dffltz  41678  3cubeslem3r  41727  mzpsubmpt  41783  pellexlem6  41874  pell1234qrreccl  41894  pellfund14  41938  rmxyneg  41961  rmxm1  41975  rmym1  41976  congsub  42011  jm2.19lem1  42030  jm2.19lem4  42033  jm2.19  42034  jm2.26lem3  42042  sqrtcval  42694  sineq0ALT  44000  sub2times  44281  fzisoeu  44309  supsubc  44362  sublimc  44667  reclimc  44668  itgsincmulx  44989  itgsbtaddcnst  44997  stoweidlem10  45025  stoweidlem13  45028  stoweidlem22  45037  stoweidlem23  45038  stoweidlem26  45041  stoweidlem42  45057  stoweidlem47  45062  stirlinglem5  45093  dirkertrigeqlem2  45114  fourierdlem26  45148  fourierdlem36  45158  fourierdlem40  45162  fourierdlem41  45163  fourierdlem48  45169  fourierdlem49  45170  fourierdlem64  45185  fourierdlem78  45199  fourierdlem92  45213  fourierdlem97  45218  fourierdlem101  45222  fourierdlem107  45228  etransclem17  45266  etransclem46  45295  sigarperm  45875  quad1  46587  requad1  46589  requad2  46590  dignn0flhalflem1  47389  1subrec1sub  47479  eenglngeehlnmlem1  47511  eenglngeehlnmlem2  47512  rrx2linest2  47518  itscnhlc0yqe  47533  itschlc0yqe  47534  itsclc0yqsol  47538  itsclinecirc0b  47548  itsclquadb  47550