Theorem negsubd 11534

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11465	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 592	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  (class class class)co 7381  ℂcc 11057   + caddc 11062   − cmin 11400  -cneg 11401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-ltxr 11207  df-sub 11402  df-neg 11403

This theorem is referenced by:  mulsub  11616  mulsubaddmulsub  11637  divsubdir  11870  divsubdiv  11893  ofnegsub  12179  icoshftf1o  13464  fzosubel  13716  modaddb  13905  modsub12d  13927  expaddzlem  14104  binom2sub  14219  discr  14239  cjreb  15122  recj  15123  remullem  15127  imcj  15131  sqreulem  15359  subcn2  15594  lo1sub  15630  iseraltlem2  15682  iseraltlem3  15683  fsumshftm  15780  fsumsub  15787  incexclem  15838  incexc  15839  bpoly3  16060  efmival  16157  cosadd  16169  sinsub  16172  sincossq  16180  moddvds  16269  dvdsadd2b  16312  bitsres  16479  pythagtriplem4  16827  mulgdirlem  19119  mulgmodid  19127  mulgsubdir  19128  cnsubrg  21448  zringlpirlem3  21485  cphipval  25274  pjthlem1  25468  mbfsub  25693  mbfmulc2  25694  itg2monolem1  25781  itgcnlem  25821  iblsub  25853  itgsub  25857  itgmulc2  25865  dvmptsub  25998  dvmptdiv  26005  dvexp3  26009  dvsincos  26012  dvlipcn  26025  ftc2  26075  aaliou3lem6  26378  logdiv2  26648  tanarg  26650  advlogexp  26686  cxpsub  26713  abscxpbnd  26784  relogbdiv  26810  isosctrlem2  26850  angpieqvdlem  26859  quad2  26870  dcubic1lem  26874  dcubic2  26875  dcubic  26877  mcubic  26878  dquartlem2  26883  dquart  26884  quart1lem  26886  quartlem1  26888  quart  26892  asinlem2  26900  cosasin  26935  atanlogsublem  26946  atantan  26954  atantayl2  26969  ftalem5  27107  basellem9  27119  lgseisenlem1  27405  2sqlem4  27451  rpvmasum2  27542  log2sumbnd  27574  chpdifbndlem1  27583  pntpbnd1  27616  axsegconlem9  29061  axeuclidlem  29098  smcnlem  30835  ipval2  30845  ipasslem2  30970  dipsubdir  30986  his2sub  31230  pjhthlem1  31529  quad3d  32890  constrrtlc1  33973  constrrtcc  33976  constrremulcl  34008  constrimcl  34011  constrreinvcl  34013  constrresqrtcl  34018  2sqr3minply  34021  cos9thpiminplylem1  34023  cos9thpiminplylem2  34024  circlemeth  34881  logdivsqrle  34891  fwddifnp1  36453  knoppndvlem2  36889  irrdiff  37756  itg2gt0cn  38112  iblsubnc  38118  itgsubnc  38119  itgmulc2nc  38125  ftc1anclem8  38137  ftc2nc  38139  areacirclem1  38145  primrootscoprbij  42657  bcle2d  42734  aks6d1c7lem1  42735  dffltz  43154  3cubeslem3r  43206  mzpsubmpt  43262  pellexlem6  43349  pell1234qrreccl  43369  pellfund14  43413  rmxyneg  43435  rmxm1  43449  rmym1  43450  congsub  43485  jm2.19lem1  43504  jm2.19lem4  43507  jm2.19  43508  jm2.26lem3  43516  sqrtcval  44155  sineq0ALT  45450  sub2times  45790  fzisoeu  45817  supsubc  45867  sublimc  46164  reclimc  46165  itgsincmulx  46486  itgsbtaddcnst  46494  stoweidlem10  46522  stoweidlem13  46525  stoweidlem22  46534  stoweidlem23  46535  stoweidlem26  46538  stoweidlem42  46554  stoweidlem47  46559  stirlinglem5  46590  dirkertrigeqlem2  46611  fourierdlem26  46645  fourierdlem36  46655  fourierdlem40  46659  fourierdlem41  46660  fourierdlem48  46666  fourierdlem49  46667  fourierdlem64  46682  fourierdlem78  46696  fourierdlem92  46710  fourierdlem97  46715  fourierdlem101  46719  fourierdlem107  46725  etransclem17  46763  etransclem46  46792  sigarperm  47372  modm2nep1  47904  modm1nep2  47906  modm1nem2  47907  quad1  48180  requad1  48182  requad2  48183  dignn0flhalflem1  49175  1subrec1sub  49265  eenglngeehlnmlem1  49297  eenglngeehlnmlem2  49298  rrx2linest2  49304  itscnhlc0yqe  49319  itschlc0yqe  49320  itsclc0yqsol  49324  itsclinecirc0b  49334  itsclquadb  49336