Theorem negsubd 11599

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11530	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   + caddc 11127   − cmin 11465  -cneg 11466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467  df-neg 11468

This theorem is used by:  mulsub  11681  mulsubaddmulsub  11702  divsubdir  11932  divsubdiv  11955  ofnegsub  12240  icoshftf1o  13527  fzosubel  13780  modaddb  13970  modsub12d  13992  expaddzlem  14169  binom2sub  14284  discr  14304  cjreb  15210  recj  15211  remullem  15215  imcj  15219  sqreulem  15447  subcn2  15682  lo1sub  15718  iseraltlem2  15770  iseraltlem3  15771  fsumshftm  15867  fsumsub  15874  incexclem  15925  incexc  15926  bpoly3  16144  efmival  16241  cosadd  16253  sinsub  16256  sincossq  16264  moddvds  16353  dvdsadd2b  16396  bitsres  16563  pythagtriplem4  16911  mulgdirlem  19228  mulgmodid  19236  mulgsubdir  19237  cnsubrg  21640  zringlpirlem3  21677  cphipval  25471  pjthlem1  25665  mbfsub  25890  mbfmulc2  25891  itg2monolem1  25978  itgcnlem  26017  iblsub  26049  itgsub  26053  itgmulc2  26061  dvmptsub  26194  dvmptdiv  26201  dvexp3  26205  dvsincos  26208  dvlipcn  26221  ftc2  26271  aaliou3lem6  26584  logdiv2  26854  tanarg  26856  advlogexp  26892  cxpsub  26919  abscxpbnd  26990  relogbdiv  27016  isosctrlem2  27056  angpieqvdlem  27065  quad2  27076  dcubic1lem  27080  dcubic2  27081  dcubic  27083  mcubic  27084  dquartlem2  27089  dquart  27090  quart1lem  27092  quartlem1  27094  quart  27098  asinlem2  27106  cosasin  27141  atanlogsublem  27152  atantan  27160  atantayl2  27175  ftalem5  27313  basellem9  27325  lgseisenlem1  27611  2sqlem4  27657  rpvmasum2  27748  log2sumbnd  27780  chpdifbndlem1  27789  pntpbnd1  27822  axsegconlem9  29382  axeuclidlem  29419  smcnlem  31178  ipval2  31188  ipasslem2  31313  dipsubdir  31329  his2sub  31573  pjhthlem1  31872  quad3d  33220  constrrtlc1  34242  constrrtcc  34245  constrremulcl  34277  constrimcl  34280  constrreinvcl  34282  constrresqrtcl  34287  2sqr3minply  34290  cos9thpiminplylem1  34292  cos9thpiminplylem2  34293  circlemeth  35148  logdivsqrle  35158  fwddifnp1  36745  knoppndvlem2  37210  irrdiff  38078  itg2gt0cn  38424  iblsubnc  38430  itgsubnc  38431  itgmulc2nc  38437  ftc1anclem8  38449  ftc2nc  38451  areacirclem1  38457  primrootscoprbij  42968  bcle2d  43045  aks6d1c7lem1  43046  dffltz  43480  3cubeslem3r  43532  mzpsubmpt  43588  pellexlem6  43675  pell1234qrreccl  43695  pellfund14  43739  rmxyneg  43761  rmxm1  43775  rmym1  43776  congsub  43811  jm2.19lem1  43830  jm2.19lem4  43833  jm2.19  43834  jm2.26lem3  43842  sqrtcval  44481  sineq0ALT  45759  sub2times  46106  fzisoeu  46133  supsubc  46183  sublimc  46480  reclimc  46481  itgsincmulx  46802  itgsbtaddcnst  46810  stoweidlem10  46838  stoweidlem13  46841  stoweidlem22  46850  stoweidlem23  46851  stoweidlem26  46854  stoweidlem42  46870  stoweidlem47  46875  stirlinglem5  46906  dirkertrigeqlem2  46927  fourierdlem26  46961  fourierdlem36  46971  fourierdlem40  46975  fourierdlem41  46976  fourierdlem48  46982  fourierdlem49  46983  fourierdlem64  46998  fourierdlem78  47012  fourierdlem92  47026  fourierdlem97  47031  fourierdlem101  47035  fourierdlem107  47041  etransclem17  47079  etransclem46  47108  sigarperm  47688  modm2nep1  48260  modm1nep2  48262  modm1nem2  48263  quad1  48536  requad1  48538  requad2  48539  dignn0flhalflem1  49545  1subrec1sub  49635  eenglngeehlnmlem1  49667  eenglngeehlnmlem2  49668  rrx2linest2  49674  itscnhlc0yqe  49689  itschlc0yqe  49690  itsclc0yqsol  49694  itsclinecirc0b  49704  itsclquadb  49706