Theorem negsubd 11546

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   + caddc 11078   − cmin 11412  -cneg 11413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  mulsub  11628  mulsubaddmulsub  11649  divsubdir  11883  divsubdiv  11905  ofnegsub  12191  icoshftf1o  13442  fzosubel  13692  modaddb  13878  modsub12d  13900  expaddzlem  14077  binom2sub  14192  discr  14212  cjreb  15096  recj  15097  remullem  15101  imcj  15105  sqreulem  15333  subcn2  15568  lo1sub  15604  iseraltlem2  15656  iseraltlem3  15657  fsumshftm  15754  fsumsub  15761  incexclem  15809  incexc  15810  bpoly3  16031  efmival  16128  cosadd  16140  sinsub  16143  sincossq  16151  moddvds  16240  dvdsadd2b  16283  bitsres  16450  pythagtriplem4  16797  mulgdirlem  19044  mulgmodid  19052  mulgsubdir  19053  cnsubrg  21351  zringlpirlem3  21381  cphipval  25150  pjthlem1  25344  mbfsub  25570  mbfmulc2  25571  itg2monolem1  25658  itgcnlem  25698  iblsub  25730  itgsub  25734  itgmulc2  25742  dvmptsub  25878  dvmptdiv  25885  dvexp3  25889  dvsincos  25892  dvlipcn  25906  ftc2  25958  aaliou3lem6  26263  logdiv2  26533  tanarg  26535  advlogexp  26571  cxpsub  26598  abscxpbnd  26670  relogbdiv  26696  isosctrlem2  26736  angpieqvdlem  26745  quad2  26756  dcubic1lem  26760  dcubic2  26761  dcubic  26763  mcubic  26764  dquartlem2  26769  dquart  26770  quart1lem  26772  quartlem1  26774  quart  26778  asinlem2  26786  cosasin  26821  atanlogsublem  26832  atantan  26840  atantayl2  26855  ftalem5  26994  basellem9  27006  lgseisenlem1  27293  2sqlem4  27339  rpvmasum2  27430  log2sumbnd  27462  chpdifbndlem1  27471  pntpbnd1  27504  axsegconlem9  28859  axeuclidlem  28896  smcnlem  30633  ipval2  30643  ipasslem2  30768  dipsubdir  30784  his2sub  31028  pjhthlem1  31327  quad3d  32680  constrrtlc1  33729  constrrtcc  33732  constrremulcl  33764  constrimcl  33767  constrreinvcl  33769  constrresqrtcl  33774  2sqr3minply  33777  cos9thpiminplylem1  33779  cos9thpiminplylem2  33780  circlemeth  34638  logdivsqrle  34648  fwddifnp1  36160  knoppndvlem2  36508  irrdiff  37321  itg2gt0cn  37676  iblsubnc  37682  itgsubnc  37683  itgmulc2nc  37689  ftc1anclem8  37701  ftc2nc  37703  areacirclem1  37709  primrootscoprbij  42097  bcle2d  42174  aks6d1c7lem1  42175  dffltz  42629  3cubeslem3r  42682  mzpsubmpt  42738  pellexlem6  42829  pell1234qrreccl  42849  pellfund14  42893  rmxyneg  42916  rmxm1  42930  rmym1  42931  congsub  42966  jm2.19lem1  42985  jm2.19lem4  42988  jm2.19  42989  jm2.26lem3  42997  sqrtcval  43637  sineq0ALT  44933  sub2times  45278  fzisoeu  45305  supsubc  45356  sublimc  45657  reclimc  45658  itgsincmulx  45979  itgsbtaddcnst  45987  stoweidlem10  46015  stoweidlem13  46018  stoweidlem22  46027  stoweidlem23  46028  stoweidlem26  46031  stoweidlem42  46047  stoweidlem47  46052  stirlinglem5  46083  dirkertrigeqlem2  46104  fourierdlem26  46138  fourierdlem36  46148  fourierdlem40  46152  fourierdlem41  46153  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem64  46175  fourierdlem78  46189  fourierdlem92  46203  fourierdlem97  46208  fourierdlem101  46212  fourierdlem107  46218  etransclem17  46256  etransclem46  46285  sigarperm  46865  modm2nep1  47371  modm1nep2  47373  modm1nem2  47374  quad1  47625  requad1  47627  requad2  47628  dignn0flhalflem1  48608  1subrec1sub  48698  eenglngeehlnmlem1  48730  eenglngeehlnmlem2  48731  rrx2linest2  48737  itscnhlc0yqe  48752  itschlc0yqe  48753  itsclc0yqsol  48757  itsclinecirc0b  48767  itsclquadb  48769