MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsubd 10992
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negsubd (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 negsub 10923 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  (class class class)co 7135  cc 10524   + caddc 10529  cmin 10859  -cneg 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862
This theorem is referenced by:  mulsub  11072  mulsubaddmulsub  11093  divsubdir  11323  divsubdiv  11345  ofnegsub  11623  icoshftf1o  12852  fzosubel  13091  modsub12d  13291  expaddzlem  13468  binom2sub  13577  discr  13597  cjreb  14474  recj  14475  remullem  14479  imcj  14483  sqreulem  14711  subcn2  14943  lo1sub  14979  iseraltlem2  15031  iseraltlem3  15032  fsumshftm  15128  fsumsub  15135  incexclem  15183  incexc  15184  bpoly3  15404  efmival  15498  cosadd  15510  sinsub  15513  sincossq  15521  moddvds  15610  dvdsadd2b  15648  bitsres  15812  pythagtriplem4  16146  mulgdirlem  18250  mulgmodid  18258  mulgsubdir  18259  cnsubrg  20151  zringlpirlem3  20179  cphipval  23847  pjthlem1  24041  mbfsub  24266  mbfmulc2  24267  itg2monolem1  24354  itgcnlem  24393  iblsub  24425  itgsub  24429  itgmulc2  24437  dvmptsub  24570  dvmptdiv  24577  dvexp3  24581  dvsincos  24584  dvlipcn  24597  ftc2  24647  aaliou3lem6  24944  logdiv2  25208  tanarg  25210  advlogexp  25246  cxpsub  25273  abscxpbnd  25342  relogbdiv  25365  isosctrlem2  25405  angpieqvdlem  25414  quad2  25425  dcubic1lem  25429  dcubic2  25430  dcubic  25432  mcubic  25433  dquartlem2  25438  dquart  25439  quart1lem  25441  quartlem1  25443  quart  25447  asinlem2  25455  cosasin  25490  atanlogsublem  25501  atantan  25509  atantayl2  25524  ftalem5  25662  basellem9  25674  lgseisenlem1  25959  2sqlem4  26005  rpvmasum2  26096  log2sumbnd  26128  chpdifbndlem1  26137  pntpbnd1  26170  axsegconlem9  26719  axeuclidlem  26756  smcnlem  28480  ipval2  28490  ipasslem2  28615  dipsubdir  28631  his2sub  28875  pjhthlem1  29174  circlemeth  32021  logdivsqrle  32031  fwddifnp1  33739  knoppndvlem2  33965  irrdiff  34740  itg2gt0cn  35112  iblsubnc  35118  itgsubnc  35119  itgmulc2nc  35125  ftc1anclem8  35137  ftc2nc  35139  areacirclem1  35145  dffltz  39613  3cubeslem3r  39626  mzpsubmpt  39682  pellexlem6  39773  pell1234qrreccl  39793  pellfund14  39837  rmxyneg  39859  rmxm1  39873  rmym1  39874  congsub  39909  jm2.19lem1  39928  jm2.19lem4  39931  jm2.19  39932  jm2.26lem3  39940  sqrtcval  40339  sineq0ALT  41641  sub2times  41903  fzisoeu  41930  supsubc  41983  sublimc  42292  reclimc  42293  itgsincmulx  42614  itgsbtaddcnst  42622  stoweidlem10  42650  stoweidlem13  42653  stoweidlem22  42662  stoweidlem23  42663  stoweidlem26  42666  stoweidlem42  42682  stoweidlem47  42687  stirlinglem5  42718  dirkertrigeqlem2  42739  fourierdlem26  42773  fourierdlem36  42783  fourierdlem40  42787  fourierdlem41  42788  fourierdlem48  42794  fourierdlem49  42795  fourierdlem64  42810  fourierdlem78  42824  fourierdlem92  42838  fourierdlem97  42843  fourierdlem101  42847  fourierdlem107  42853  etransclem17  42891  etransclem46  42920  sigarperm  43472  quad1  44136  requad1  44138  requad2  44139  dignn0flhalflem1  45027  1subrec1sub  45117  eenglngeehlnmlem1  45149  eenglngeehlnmlem2  45150  rrx2linest2  45156  itscnhlc0yqe  45171  itschlc0yqe  45172  itsclc0yqsol  45176  itsclinecirc0b  45186  itsclquadb  45188
  Copyright terms: Public domain W3C validator