Theorem negsubd 11626

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11557	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492  -cneg 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  mulsub  11706  mulsubaddmulsub  11727  divsubdir  11961  divsubdiv  11983  ofnegsub  12264  icoshftf1o  13514  fzosubel  13763  modsub12d  13969  expaddzlem  14146  binom2sub  14259  discr  14279  cjreb  15162  recj  15163  remullem  15167  imcj  15171  sqreulem  15398  subcn2  15631  lo1sub  15667  iseraltlem2  15719  iseraltlem3  15720  fsumshftm  15817  fsumsub  15824  incexclem  15872  incexc  15873  bpoly3  16094  efmival  16189  cosadd  16201  sinsub  16204  sincossq  16212  moddvds  16301  dvdsadd2b  16343  bitsres  16510  pythagtriplem4  16857  mulgdirlem  19123  mulgmodid  19131  mulgsubdir  19132  cnsubrg  21445  zringlpirlem3  21475  cphipval  25277  pjthlem1  25471  mbfsub  25697  mbfmulc2  25698  itg2monolem1  25785  itgcnlem  25825  iblsub  25857  itgsub  25861  itgmulc2  25869  dvmptsub  26005  dvmptdiv  26012  dvexp3  26016  dvsincos  26019  dvlipcn  26033  ftc2  26085  aaliou3lem6  26390  logdiv2  26659  tanarg  26661  advlogexp  26697  cxpsub  26724  abscxpbnd  26796  relogbdiv  26822  isosctrlem2  26862  angpieqvdlem  26871  quad2  26882  dcubic1lem  26886  dcubic2  26887  dcubic  26889  mcubic  26890  dquartlem2  26895  dquart  26896  quart1lem  26898  quartlem1  26900  quart  26904  asinlem2  26912  cosasin  26947  atanlogsublem  26958  atantan  26966  atantayl2  26981  ftalem5  27120  basellem9  27132  lgseisenlem1  27419  2sqlem4  27465  rpvmasum2  27556  log2sumbnd  27588  chpdifbndlem1  27597  pntpbnd1  27630  axsegconlem9  28940  axeuclidlem  28977  smcnlem  30716  ipval2  30726  ipasslem2  30851  dipsubdir  30867  his2sub  31111  pjhthlem1  31410  quad3d  32754  constrrtlc1  33773  constrrtcc  33776  2sqr3minply  33791  circlemeth  34655  logdivsqrle  34665  fwddifnp1  36166  knoppndvlem2  36514  irrdiff  37327  itg2gt0cn  37682  iblsubnc  37688  itgsubnc  37689  itgmulc2nc  37695  ftc1anclem8  37707  ftc2nc  37709  areacirclem1  37715  primrootscoprbij  42103  bcle2d  42180  aks6d1c7lem1  42181  dffltz  42644  3cubeslem3r  42698  mzpsubmpt  42754  pellexlem6  42845  pell1234qrreccl  42865  pellfund14  42909  rmxyneg  42932  rmxm1  42946  rmym1  42947  congsub  42982  jm2.19lem1  43001  jm2.19lem4  43004  jm2.19  43005  jm2.26lem3  43013  sqrtcval  43654  sineq0ALT  44957  sub2times  45284  fzisoeu  45312  supsubc  45364  sublimc  45667  reclimc  45668  itgsincmulx  45989  itgsbtaddcnst  45997  stoweidlem10  46025  stoweidlem13  46028  stoweidlem22  46037  stoweidlem23  46038  stoweidlem26  46041  stoweidlem42  46057  stoweidlem47  46062  stirlinglem5  46093  dirkertrigeqlem2  46114  fourierdlem26  46148  fourierdlem36  46158  fourierdlem40  46162  fourierdlem41  46163  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem64  46185  fourierdlem78  46199  fourierdlem92  46213  fourierdlem97  46218  fourierdlem101  46222  fourierdlem107  46228  etransclem17  46266  etransclem46  46295  sigarperm  46875  quad1  47607  requad1  47609  requad2  47610  dignn0flhalflem1  48536  1subrec1sub  48626  eenglngeehlnmlem1  48658  eenglngeehlnmlem2  48659  rrx2linest2  48665  itscnhlc0yqe  48680  itschlc0yqe  48681  itsclc0yqsol  48685  itsclinecirc0b  48695  itsclquadb  48697