Theorem negsubd 11498

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364  -cneg 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  mulsub  11580  mulsubaddmulsub  11601  divsubdir  11835  divsubdiv  11857  ofnegsub  12143  icoshftf1o  13390  fzosubel  13640  modaddb  13829  modsub12d  13851  expaddzlem  14028  binom2sub  14143  discr  14163  cjreb  15046  recj  15047  remullem  15051  imcj  15055  sqreulem  15283  subcn2  15518  lo1sub  15554  iseraltlem2  15606  iseraltlem3  15607  fsumshftm  15704  fsumsub  15711  incexclem  15759  incexc  15760  bpoly3  15981  efmival  16078  cosadd  16090  sinsub  16093  sincossq  16101  moddvds  16190  dvdsadd2b  16233  bitsres  16400  pythagtriplem4  16747  mulgdirlem  19035  mulgmodid  19043  mulgsubdir  19044  cnsubrg  21382  zringlpirlem3  21419  cphipval  25199  pjthlem1  25393  mbfsub  25619  mbfmulc2  25620  itg2monolem1  25707  itgcnlem  25747  iblsub  25779  itgsub  25783  itgmulc2  25791  dvmptsub  25927  dvmptdiv  25934  dvexp3  25938  dvsincos  25941  dvlipcn  25955  ftc2  26007  aaliou3lem6  26312  logdiv2  26582  tanarg  26584  advlogexp  26620  cxpsub  26647  abscxpbnd  26719  relogbdiv  26745  isosctrlem2  26785  angpieqvdlem  26794  quad2  26805  dcubic1lem  26809  dcubic2  26810  dcubic  26812  mcubic  26813  dquartlem2  26818  dquart  26819  quart1lem  26821  quartlem1  26823  quart  26827  asinlem2  26835  cosasin  26870  atanlogsublem  26881  atantan  26889  atantayl2  26904  ftalem5  27043  basellem9  27055  lgseisenlem1  27342  2sqlem4  27388  rpvmasum2  27479  log2sumbnd  27511  chpdifbndlem1  27520  pntpbnd1  27553  axsegconlem9  28998  axeuclidlem  29035  smcnlem  30772  ipval2  30782  ipasslem2  30907  dipsubdir  30923  his2sub  31167  pjhthlem1  31466  quad3d  32829  constrrtlc1  33889  constrrtcc  33892  constrremulcl  33924  constrimcl  33927  constrreinvcl  33929  constrresqrtcl  33934  2sqr3minply  33937  cos9thpiminplylem1  33939  cos9thpiminplylem2  33940  circlemeth  34797  logdivsqrle  34807  fwddifnp1  36359  knoppndvlem2  36713  irrdiff  37531  itg2gt0cn  37876  iblsubnc  37882  itgsubnc  37883  itgmulc2nc  37889  ftc1anclem8  37901  ftc2nc  37903  areacirclem1  37909  primrootscoprbij  42356  bcle2d  42433  aks6d1c7lem1  42434  dffltz  42877  3cubeslem3r  42929  mzpsubmpt  42985  pellexlem6  43076  pell1234qrreccl  43096  pellfund14  43140  rmxyneg  43162  rmxm1  43176  rmym1  43177  congsub  43212  jm2.19lem1  43231  jm2.19lem4  43234  jm2.19  43235  jm2.26lem3  43243  sqrtcval  43882  sineq0ALT  45177  sub2times  45521  fzisoeu  45548  supsubc  45598  sublimc  45896  reclimc  45897  itgsincmulx  46218  itgsbtaddcnst  46226  stoweidlem10  46254  stoweidlem13  46257  stoweidlem22  46266  stoweidlem23  46267  stoweidlem26  46270  stoweidlem42  46286  stoweidlem47  46291  stirlinglem5  46322  dirkertrigeqlem2  46343  fourierdlem26  46377  fourierdlem36  46387  fourierdlem40  46391  fourierdlem41  46392  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem64  46414  fourierdlem78  46428  fourierdlem92  46442  fourierdlem97  46447  fourierdlem101  46451  fourierdlem107  46457  etransclem17  46495  etransclem46  46524  sigarperm  47104  modm2nep1  47612  modm1nep2  47614  modm1nem2  47615  quad1  47866  requad1  47868  requad2  47869  dignn0flhalflem1  48861  1subrec1sub  48951  eenglngeehlnmlem1  48983  eenglngeehlnmlem2  48984  rrx2linest2  48990  itscnhlc0yqe  49005  itschlc0yqe  49006  itsclc0yqsol  49010  itsclinecirc0b  49020  itsclquadb  49022