Theorem negsubd 11502

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11433	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  mulsub  11584  mulsubaddmulsub  11605  divsubdir  11839  divsubdiv  11862  ofnegsub  12148  icoshftf1o  13418  fzosubel  13670  modaddb  13859  modsub12d  13881  expaddzlem  14058  binom2sub  14173  discr  14193  cjreb  15076  recj  15077  remullem  15081  imcj  15085  sqreulem  15313  subcn2  15548  lo1sub  15584  iseraltlem2  15636  iseraltlem3  15637  fsumshftm  15734  fsumsub  15741  incexclem  15792  incexc  15793  bpoly3  16014  efmival  16111  cosadd  16123  sinsub  16126  sincossq  16134  moddvds  16223  dvdsadd2b  16266  bitsres  16433  pythagtriplem4  16781  mulgdirlem  19072  mulgmodid  19080  mulgsubdir  19081  cnsubrg  21402  zringlpirlem3  21439  cphipval  25228  pjthlem1  25422  mbfsub  25647  mbfmulc2  25648  itg2monolem1  25735  itgcnlem  25775  iblsub  25807  itgsub  25811  itgmulc2  25819  dvmptsub  25952  dvmptdiv  25959  dvexp3  25963  dvsincos  25966  dvlipcn  25979  ftc2  26029  aaliou3lem6  26332  logdiv2  26599  tanarg  26601  advlogexp  26637  cxpsub  26664  abscxpbnd  26735  relogbdiv  26761  isosctrlem2  26801  angpieqvdlem  26810  quad2  26821  dcubic1lem  26825  dcubic2  26826  dcubic  26828  mcubic  26829  dquartlem2  26834  dquart  26835  quart1lem  26837  quartlem1  26839  quart  26843  asinlem2  26851  cosasin  26886  atanlogsublem  26897  atantan  26905  atantayl2  26920  ftalem5  27058  basellem9  27070  lgseisenlem1  27356  2sqlem4  27402  rpvmasum2  27493  log2sumbnd  27525  chpdifbndlem1  27534  pntpbnd1  27567  axsegconlem9  29012  axeuclidlem  29049  smcnlem  30786  ipval2  30796  ipasslem2  30921  dipsubdir  30937  his2sub  31181  pjhthlem1  31480  quad3d  32841  constrrtlc1  33916  constrrtcc  33919  constrremulcl  33951  constrimcl  33954  constrreinvcl  33956  constrresqrtcl  33961  2sqr3minply  33964  cos9thpiminplylem1  33966  cos9thpiminplylem2  33967  circlemeth  34824  logdivsqrle  34834  fwddifnp1  36393  knoppndvlem2  36819  irrdiff  37686  itg2gt0cn  38042  iblsubnc  38048  itgsubnc  38049  itgmulc2nc  38055  ftc1anclem8  38067  ftc2nc  38069  areacirclem1  38075  primrootscoprbij  42587  bcle2d  42664  aks6d1c7lem1  42665  dffltz  43084  3cubeslem3r  43136  mzpsubmpt  43192  pellexlem6  43279  pell1234qrreccl  43299  pellfund14  43343  rmxyneg  43365  rmxm1  43379  rmym1  43380  congsub  43415  jm2.19lem1  43434  jm2.19lem4  43437  jm2.19  43438  jm2.26lem3  43446  sqrtcval  44085  sineq0ALT  45380  sub2times  45721  fzisoeu  45748  supsubc  45798  sublimc  46095  reclimc  46096  itgsincmulx  46417  itgsbtaddcnst  46425  stoweidlem10  46453  stoweidlem13  46456  stoweidlem22  46465  stoweidlem23  46466  stoweidlem26  46469  stoweidlem42  46485  stoweidlem47  46490  stirlinglem5  46521  dirkertrigeqlem2  46542  fourierdlem26  46576  fourierdlem36  46586  fourierdlem40  46590  fourierdlem41  46591  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem64  46613  fourierdlem78  46627  fourierdlem92  46641  fourierdlem97  46646  fourierdlem101  46650  fourierdlem107  46656  etransclem17  46694  etransclem46  46723  sigarperm  47303  modm2nep1  47835  modm1nep2  47837  modm1nem2  47838  quad1  48111  requad1  48113  requad2  48114  dignn0flhalflem1  49106  1subrec1sub  49196  eenglngeehlnmlem1  49228  eenglngeehlnmlem2  49229  rrx2linest2  49235  itscnhlc0yqe  49250  itschlc0yqe  49251  itsclc0yqsol  49255  itsclinecirc0b  49265  itsclquadb  49267