Theorem negsubd 11160

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11091	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7191  ℂcc 10692   + caddc 10697   − cmin 11027  -cneg 11028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837  df-sub 11029  df-neg 11030

This theorem is referenced by:  mulsub  11240  mulsubaddmulsub  11261  divsubdir  11491  divsubdiv  11513  ofnegsub  11793  icoshftf1o  13027  fzosubel  13266  modsub12d  13466  expaddzlem  13643  binom2sub  13752  discr  13772  cjreb  14651  recj  14652  remullem  14656  imcj  14660  sqreulem  14888  subcn2  15121  lo1sub  15157  iseraltlem2  15211  iseraltlem3  15212  fsumshftm  15308  fsumsub  15315  incexclem  15363  incexc  15364  bpoly3  15583  efmival  15677  cosadd  15689  sinsub  15692  sincossq  15700  moddvds  15789  dvdsadd2b  15830  bitsres  15995  pythagtriplem4  16335  mulgdirlem  18476  mulgmodid  18484  mulgsubdir  18485  cnsubrg  20377  zringlpirlem3  20405  cphipval  24094  pjthlem1  24288  mbfsub  24513  mbfmulc2  24514  itg2monolem1  24602  itgcnlem  24641  iblsub  24673  itgsub  24677  itgmulc2  24685  dvmptsub  24818  dvmptdiv  24825  dvexp3  24829  dvsincos  24832  dvlipcn  24845  ftc2  24895  aaliou3lem6  25195  logdiv2  25459  tanarg  25461  advlogexp  25497  cxpsub  25524  abscxpbnd  25593  relogbdiv  25616  isosctrlem2  25656  angpieqvdlem  25665  quad2  25676  dcubic1lem  25680  dcubic2  25681  dcubic  25683  mcubic  25684  dquartlem2  25689  dquart  25690  quart1lem  25692  quartlem1  25694  quart  25698  asinlem2  25706  cosasin  25741  atanlogsublem  25752  atantan  25760  atantayl2  25775  ftalem5  25913  basellem9  25925  lgseisenlem1  26210  2sqlem4  26256  rpvmasum2  26347  log2sumbnd  26379  chpdifbndlem1  26388  pntpbnd1  26421  axsegconlem9  26970  axeuclidlem  27007  smcnlem  28732  ipval2  28742  ipasslem2  28867  dipsubdir  28883  his2sub  29127  pjhthlem1  29426  circlemeth  32286  logdivsqrle  32296  fwddifnp1  34153  knoppndvlem2  34379  irrdiff  35180  itg2gt0cn  35518  iblsubnc  35524  itgsubnc  35525  itgmulc2nc  35531  ftc1anclem8  35543  ftc2nc  35545  areacirclem1  35551  dffltz  40115  3cubeslem3r  40153  mzpsubmpt  40209  pellexlem6  40300  pell1234qrreccl  40320  pellfund14  40364  rmxyneg  40386  rmxm1  40400  rmym1  40401  congsub  40436  jm2.19lem1  40455  jm2.19lem4  40458  jm2.19  40459  jm2.26lem3  40467  sqrtcval  40866  sineq0ALT  42171  sub2times  42426  fzisoeu  42453  supsubc  42506  sublimc  42811  reclimc  42812  itgsincmulx  43133  itgsbtaddcnst  43141  stoweidlem10  43169  stoweidlem13  43172  stoweidlem22  43181  stoweidlem23  43182  stoweidlem26  43185  stoweidlem42  43201  stoweidlem47  43206  stirlinglem5  43237  dirkertrigeqlem2  43258  fourierdlem26  43292  fourierdlem36  43302  fourierdlem40  43306  fourierdlem41  43307  fourierdlem48  43313  fourierdlem49  43314  fourierdlem64  43329  fourierdlem78  43343  fourierdlem92  43357  fourierdlem97  43362  fourierdlem101  43366  fourierdlem107  43372  etransclem17  43410  etransclem46  43439  sigarperm  43991  quad1  44688  requad1  44690  requad2  44691  dignn0flhalflem1  45577  1subrec1sub  45667  eenglngeehlnmlem1  45699  eenglngeehlnmlem2  45700  rrx2linest2  45706  itscnhlc0yqe  45721  itschlc0yqe  45722  itsclc0yqsol  45726  itsclinecirc0b  45736  itsclquadb  45738