Theorem negsubd 11600

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11531	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   + caddc 11132   − cmin 11466  -cneg 11467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  mulsub  11680  mulsubaddmulsub  11701  divsubdir  11935  divsubdiv  11957  ofnegsub  12238  icoshftf1o  13491  fzosubel  13740  modsub12d  13946  expaddzlem  14123  binom2sub  14238  discr  14258  cjreb  15142  recj  15143  remullem  15147  imcj  15151  sqreulem  15378  subcn2  15611  lo1sub  15647  iseraltlem2  15699  iseraltlem3  15700  fsumshftm  15797  fsumsub  15804  incexclem  15852  incexc  15853  bpoly3  16074  efmival  16171  cosadd  16183  sinsub  16186  sincossq  16194  moddvds  16283  dvdsadd2b  16325  bitsres  16492  pythagtriplem4  16839  mulgdirlem  19088  mulgmodid  19096  mulgsubdir  19097  cnsubrg  21395  zringlpirlem3  21425  cphipval  25195  pjthlem1  25389  mbfsub  25615  mbfmulc2  25616  itg2monolem1  25703  itgcnlem  25743  iblsub  25775  itgsub  25779  itgmulc2  25787  dvmptsub  25923  dvmptdiv  25930  dvexp3  25934  dvsincos  25937  dvlipcn  25951  ftc2  26003  aaliou3lem6  26308  logdiv2  26578  tanarg  26580  advlogexp  26616  cxpsub  26643  abscxpbnd  26715  relogbdiv  26741  isosctrlem2  26781  angpieqvdlem  26790  quad2  26801  dcubic1lem  26805  dcubic2  26806  dcubic  26808  mcubic  26809  dquartlem2  26814  dquart  26815  quart1lem  26817  quartlem1  26819  quart  26823  asinlem2  26831  cosasin  26866  atanlogsublem  26877  atantan  26885  atantayl2  26900  ftalem5  27039  basellem9  27051  lgseisenlem1  27338  2sqlem4  27384  rpvmasum2  27475  log2sumbnd  27507  chpdifbndlem1  27516  pntpbnd1  27549  axsegconlem9  28904  axeuclidlem  28941  smcnlem  30678  ipval2  30688  ipasslem2  30813  dipsubdir  30829  his2sub  31073  pjhthlem1  31372  quad3d  32727  constrrtlc1  33766  constrrtcc  33769  constrremulcl  33801  constrimcl  33804  constrreinvcl  33806  constrresqrtcl  33811  2sqr3minply  33814  cos9thpiminplylem1  33816  cos9thpiminplylem2  33817  circlemeth  34672  logdivsqrle  34682  fwddifnp1  36183  knoppndvlem2  36531  irrdiff  37344  itg2gt0cn  37699  iblsubnc  37705  itgsubnc  37706  itgmulc2nc  37712  ftc1anclem8  37724  ftc2nc  37726  areacirclem1  37732  primrootscoprbij  42115  bcle2d  42192  aks6d1c7lem1  42193  dffltz  42657  3cubeslem3r  42710  mzpsubmpt  42766  pellexlem6  42857  pell1234qrreccl  42877  pellfund14  42921  rmxyneg  42944  rmxm1  42958  rmym1  42959  congsub  42994  jm2.19lem1  43013  jm2.19lem4  43016  jm2.19  43017  jm2.26lem3  43025  sqrtcval  43665  sineq0ALT  44961  sub2times  45301  fzisoeu  45329  supsubc  45380  sublimc  45681  reclimc  45682  itgsincmulx  46003  itgsbtaddcnst  46011  stoweidlem10  46039  stoweidlem13  46042  stoweidlem22  46051  stoweidlem23  46052  stoweidlem26  46055  stoweidlem42  46071  stoweidlem47  46076  stirlinglem5  46107  dirkertrigeqlem2  46128  fourierdlem26  46162  fourierdlem36  46172  fourierdlem40  46176  fourierdlem41  46177  fourierdlem48  46183  fourierdlem49  46184  fourierdlem64  46199  fourierdlem78  46213  fourierdlem92  46227  fourierdlem97  46232  fourierdlem101  46236  fourierdlem107  46242  etransclem17  46280  etransclem46  46309  sigarperm  46889  quad1  47634  requad1  47636  requad2  47637  dignn0flhalflem1  48595  1subrec1sub  48685  eenglngeehlnmlem1  48717  eenglngeehlnmlem2  48718  rrx2linest2  48724  itscnhlc0yqe  48739  itschlc0yqe  48740  itsclc0yqsol  48744  itsclinecirc0b  48754  itsclquadb  48756