Theorem negsubd 11511

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11442	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377  -cneg 11378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  mulsub  11593  mulsubaddmulsub  11614  divsubdir  11848  divsubdiv  11871  ofnegsub  12157  icoshftf1o  13427  fzosubel  13679  modaddb  13868  modsub12d  13890  expaddzlem  14067  binom2sub  14182  discr  14202  cjreb  15085  recj  15086  remullem  15090  imcj  15094  sqreulem  15322  subcn2  15557  lo1sub  15593  iseraltlem2  15645  iseraltlem3  15646  fsumshftm  15743  fsumsub  15750  incexclem  15801  incexc  15802  bpoly3  16023  efmival  16120  cosadd  16132  sinsub  16135  sincossq  16143  moddvds  16232  dvdsadd2b  16275  bitsres  16442  pythagtriplem4  16790  mulgdirlem  19081  mulgmodid  19089  mulgsubdir  19090  cnsubrg  21407  zringlpirlem3  21444  cphipval  25210  pjthlem1  25404  mbfsub  25629  mbfmulc2  25630  itg2monolem1  25717  itgcnlem  25757  iblsub  25789  itgsub  25793  itgmulc2  25801  dvmptsub  25934  dvmptdiv  25941  dvexp3  25945  dvsincos  25948  dvlipcn  25961  ftc2  26011  aaliou3lem6  26314  logdiv2  26581  tanarg  26583  advlogexp  26619  cxpsub  26646  abscxpbnd  26717  relogbdiv  26743  isosctrlem2  26783  angpieqvdlem  26792  quad2  26803  dcubic1lem  26807  dcubic2  26808  dcubic  26810  mcubic  26811  dquartlem2  26816  dquart  26817  quart1lem  26819  quartlem1  26821  quart  26825  asinlem2  26833  cosasin  26868  atanlogsublem  26879  atantan  26887  atantayl2  26902  ftalem5  27040  basellem9  27052  lgseisenlem1  27338  2sqlem4  27384  rpvmasum2  27475  log2sumbnd  27507  chpdifbndlem1  27516  pntpbnd1  27549  axsegconlem9  28994  axeuclidlem  29031  smcnlem  30768  ipval2  30778  ipasslem2  30903  dipsubdir  30919  his2sub  31163  pjhthlem1  31462  quad3d  32822  constrrtlc1  33876  constrrtcc  33879  constrremulcl  33911  constrimcl  33914  constrreinvcl  33916  constrresqrtcl  33921  2sqr3minply  33924  cos9thpiminplylem1  33926  cos9thpiminplylem2  33927  circlemeth  34784  logdivsqrle  34794  fwddifnp1  36347  knoppndvlem2  36773  irrdiff  37640  itg2gt0cn  37996  iblsubnc  38002  itgsubnc  38003  itgmulc2nc  38009  ftc1anclem8  38021  ftc2nc  38023  areacirclem1  38029  primrootscoprbij  42541  bcle2d  42618  aks6d1c7lem1  42619  dffltz  43067  3cubeslem3r  43119  mzpsubmpt  43175  pellexlem6  43262  pell1234qrreccl  43282  pellfund14  43326  rmxyneg  43348  rmxm1  43362  rmym1  43363  congsub  43398  jm2.19lem1  43417  jm2.19lem4  43420  jm2.19  43421  jm2.26lem3  43429  sqrtcval  44068  sineq0ALT  45363  sub2times  45706  fzisoeu  45733  supsubc  45783  sublimc  46080  reclimc  46081  itgsincmulx  46402  itgsbtaddcnst  46410  stoweidlem10  46438  stoweidlem13  46441  stoweidlem22  46450  stoweidlem23  46451  stoweidlem26  46454  stoweidlem42  46470  stoweidlem47  46475  stirlinglem5  46506  dirkertrigeqlem2  46527  fourierdlem26  46561  fourierdlem36  46571  fourierdlem40  46575  fourierdlem41  46576  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem64  46598  fourierdlem78  46612  fourierdlem92  46626  fourierdlem97  46631  fourierdlem101  46635  fourierdlem107  46641  etransclem17  46679  etransclem46  46708  sigarperm  47288  modm2nep1  47820  modm1nep2  47822  modm1nem2  47823  quad1  48096  requad1  48098  requad2  48099  dignn0flhalflem1  49091  1subrec1sub  49181  eenglngeehlnmlem1  49213  eenglngeehlnmlem2  49214  rrx2linest2  49220  itscnhlc0yqe  49235  itschlc0yqe  49236  itsclc0yqsol  49240  itsclinecirc0b  49250  itsclquadb  49252