Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstregt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstregt0 43602
Description: A complex number 𝐴 that is not real, has a distance from the reals that is strictly larger than 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
dstregt0.1 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
Assertion
Ref Expression
dstregt0 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem dstregt0
StepHypRef Expression
1 dstregt0.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
21eldifad 3923 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32imcld 15086 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 11188 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
51eldifbd 3924 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
6 reim0b 15010 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
72, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
85, 7mtbid 324 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (ℑ‘𝐴) = 0)
98neqned 2947 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
104, 9absrpcld 15339 . . 3 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1110rphalfcld 12974 . 2 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
122adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13 recn 11146 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
1413adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
1512, 14imsubd 15108 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)))
16 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1716reim0d 15116 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = 0)
1817oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − 0))
194adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
2019subid1d 11506 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
2115, 18, 203eqtrrd 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘(𝐴𝑦)))
2221fveq2d 6847 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))))
2322oveq1d 7373 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) = ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) / 2))
2421, 19eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴𝑦)) ∈ ℂ)
2524abscld 15327 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) ∈ ℝ)
2625rehalfcld 12405 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) / 2) ∈ ℝ)
2712, 14subcld 11517 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴𝑦) ∈ ℂ)
2827abscld 15327 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴𝑦)) ∈ ℝ)
299adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
3021, 29eqnetrrd 3009 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴𝑦)) ≠ 0)
3124, 30absrpcld 15339 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) ∈ ℝ+)
32 rphalflt 12949 . . . . . 6 ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) ∈ ℝ+ → ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))))
3331, 32syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))))
34 absimle 15200 . . . . . 6 ((𝐴𝑦) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴𝑦)))
3527, 34syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴𝑦)))
3626, 25, 28, 33, 35ltletrd 11320 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) / 2) < (abs‘(𝐴𝑦)))
3723, 36eqbrtrd 5128 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴𝑦)))
3837ralrimiva 3140 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴𝑦)))
39 breq1 5109 . . . 4 (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (𝑥 < (abs‘(𝐴𝑦)) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴𝑦))))
4039ralbidv 3171 . . 3 (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴𝑦))))
4140rspcev 3580 . 2 ((((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴𝑦)))
4211, 38, 41syl2anc 585 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3908   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11054  cr 11055  0cc0 11056   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390   / cdiv 11817  2c2 12213  +crp 12920  cim 14989  abscabs 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127
This theorem is referenced by:  limcrecl  43956
  Copyright terms: Public domain W3C validator