Theorem dstregt0 41912

Description: A complex number 𝐴 that is not real, has a distance from the reals that is strictly larger than 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
dstregt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))

Assertion

Ref	Expression
dstregt0	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem dstregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstregt0.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifad 3893	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	imcld 14546	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 10658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	1	eldifbd 3894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
6		reim0b 14470	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
8	5, 7	mtbid 327	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (ℑ‘𝐴) = 0)
9	8	neqned 2994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
10	4, 9	absrpcld 14800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
11	10	rphalfcld 12431	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
12	2	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		recn 10616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
14	13	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
15	12, 14	imsubd 14568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)))
16		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	reim0d 14576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = 0)
18	17	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − 0))
19	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
20	19	subid1d 10975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
21	15, 18, 20	3eqtrrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)))
22	21	fveq2d 6649	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
23	22	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) = ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2))
24	21, 19	eqeltrrd 2891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ ℂ)
25	24	abscld 14788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ)
26	25	rehalfcld 11872	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) ∈ ℝ)
27	12, 14	subcld 10986	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
28	27	abscld 14788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)
29	9	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
30	21, 29	eqnetrrd 3055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) ≠ 0)
31	24, 30	absrpcld 14800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ+)
32		rphalflt 12406	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ+ → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
34		absimle 14661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
35	27, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
36	26, 25, 28, 33, 35	ltletrd 10789	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
37	23, 36	eqbrtrd 5052	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
38	37	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
39		breq1 5033	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))))
40	39	ralbidv 3162	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))))
41	40	rspcev 3571	. 2 ⊢ ((((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
42	11, 38, 41	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  ℝ⁺crp 12377  ℑcim 14449  abscabs 14585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587

This theorem is referenced by:  limcrecl  42271