Theorem dstregt0 45253

Description: A complex number 𝐴 that is not real, has a distance from the reals that is strictly larger than 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
dstregt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))

Assertion

Ref	Expression
dstregt0	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem dstregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstregt0.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifad 3923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	imcld 15137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	1	eldifbd 3924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
6		reim0b 15061	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
8	5, 7	mtbid 324	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (ℑ‘𝐴) = 0)
9	8	neqned 2932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
10	4, 9	absrpcld 15393	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
11	10	rphalfcld 12983	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
12	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		recn 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
15	12, 14	imsubd 15159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)))
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	reim0d 15167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = 0)
18	17	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − 0))
19	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
20	19	subid1d 11498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
21	15, 18, 20	3eqtrrd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)))
22	21	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
23	22	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) = ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2))
24	21, 19	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ ℂ)
25	24	abscld 15381	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ)
26	25	rehalfcld 12405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) ∈ ℝ)
27	12, 14	subcld 11509	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15381	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)
29	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
30	21, 29	eqnetrrd 2993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) ≠ 0)
31	24, 30	absrpcld 15393	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ+)
32		rphalflt 12958	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ+ → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
34		absimle 15251	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
35	27, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
36	26, 25, 28, 33, 35	ltletrd 11310	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
37	23, 36	eqbrtrd 5124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
38	37	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
39		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))))
40	39	ralbidv 3156	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))))
41	40	rspcev 3585	. 2 ⊢ ((((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
42	11, 38, 41	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3908   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381   / cdiv 11811  2c2 12217  ℝ⁺crp 12927  ℑcim 15040  abscabs 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178

This theorem is referenced by:  limcrecl  45600