Theorem dstregt0 44070

Description: A complex number 𝐴 that is not real, has a distance from the reals that is strictly larger than 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
dstregt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))

Assertion

Ref	Expression
dstregt0	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem dstregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstregt0.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifad 3960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	imcld 15144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	1	eldifbd 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
6		reim0b 15068	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
8	5, 7	mtbid 323	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (ℑ‘𝐴) = 0)
9	8	neqned 2947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
10	4, 9	absrpcld 15397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
11	10	rphalfcld 13030	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
12	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		recn 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
14	13	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
15	12, 14	imsubd 15166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)))
16		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	reim0d 15174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = 0)
18	17	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − 0))
19	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
20	19	subid1d 11562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
21	15, 18, 20	3eqtrrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)))
22	21	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
23	22	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) = ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2))
24	21, 19	eqeltrrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ ℂ)
25	24	abscld 15385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ)
26	25	rehalfcld 12461	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) ∈ ℝ)
27	12, 14	subcld 11573	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15385	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)
29	9	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
30	21, 29	eqnetrrd 3009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) ≠ 0)
31	24, 30	absrpcld 15397	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ+)
32		rphalflt 13005	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ+ → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
34		absimle 15258	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
35	27, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
36	26, 25, 28, 33, 35	ltletrd 11376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
37	23, 36	eqbrtrd 5170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
38	37	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
39		breq1 5151	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))))
40	39	ralbidv 3177	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))))
41	40	rspcev 3612	. 2 ⊢ ((((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
42	11, 38, 41	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3945   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   < clt 11250   ≤ cle 11251   − cmin 11446   / cdiv 11873  2c2 12269  ℝ⁺crp 12976  ℑcim 15047  abscabs 15183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185

This theorem is referenced by:  limcrecl  44424