Theorem dstregt0 45715

Description: A complex number 𝐴 that is not real, has a distance from the reals that is strictly larger than 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
dstregt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))

Assertion

Ref	Expression
dstregt0	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem dstregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstregt0.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifad 3901	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	imcld 15157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	1	eldifbd 3902	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
6		reim0b 15081	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
8	5, 7	mtbid 324	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (ℑ‘𝐴) = 0)
9	8	neqned 2939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
10	4, 9	absrpcld 15413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
11	10	rphalfcld 12998	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
12	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		recn 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
15	12, 14	imsubd 15179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)))
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	reim0d 15187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = 0)
18	17	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − 0))
19	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
20	19	subid1d 11494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
21	15, 18, 20	3eqtrrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)))
22	21	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
23	22	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) = ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2))
24	21, 19	eqeltrrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ ℂ)
25	24	abscld 15401	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ)
26	25	rehalfcld 12424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) ∈ ℝ)
27	12, 14	subcld 11505	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15401	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)
29	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
30	21, 29	eqnetrrd 3000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝑦)) ≠ 0)
31	24, 30	absrpcld 15413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ+)
32		rphalflt 12973	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ∈ ℝ+ → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))))
34		absimle 15271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
35	27, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
36	26, 25, 28, 33, 35	ltletrd 11306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝑦))) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
37	23, 36	eqbrtrd 5107	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
38	37	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
39		breq1 5088	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))))
40	39	ralbidv 3160	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))))
41	40	rspcev 3564	. 2 ⊢ ((((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))
42	11, 38, 41	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴 − 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3886   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  ℝ⁺crp 12942  ℑcim 15060  abscabs 15196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198

This theorem is referenced by:  limcrecl  46059